Si vuole verificare la legge di conservazione della quantità di moto in un urto tra carrelli che si muovono su una rotaia a cuscino d'aria. Si vuole anche verificare che il centro di massa del sistema formato dai due carrelli che si urtano, si muove con moto rettilineo uniforme sia prima che dopo l'urto. Per lo studio del moto dei carrelli è stato utilizzato un software per l'analisi video del movimento.
Scheda sintetica delle attività
Un gruppo di alunni viene incaricato di effettuare le riprese video utilizzando telefonini o fotocamere personali in grado di salvare il filmato in uno dei formati riconoscibili dal software di analisi video (.mov, .avi, .mpeg, .....). Un altro gruppo viene incaricato di lanciare i carrelli uno contro l'altro durante la ripresa. Ogni filmato viene realizzato da due alunni, uno che riprende e l'altro che lancia i carrelli.
Nel laboratorio di fisica si effettuano le riprese video, mentre l'analisi dati può essere fatta in classe.
Tra tutti i filmati realizzati se ne selezionano due, uno relativo all'urto elastico ed uno relativo all'urto anelastico. Si selezionano i filmati in cui l'urto avviene nella zona centrale della rotaia con i carrelli che non saltano nell'impatto.
Nella fase di analisi dati si individuano le posizioni dei due carrelli ad intervalli di tempo fissati sia prima che dopo l'urto. In questa fase gli alunni operano in coppia. Alcune coppie analizzano l'urto elastico, altre quello anelastico. Il software utilizzato per l'analisi video è una applicazione a pagamento, tuttavia esistono delle valide alternative a licenza libera come ad esempio Tracker.
Si realizzano poi i grafici spazio-tempo in cui il moto dei carrelli, se uniforme, è rappresentato da serie di punti allineati su rette oblique. Dalla pendenza di queste rette si calcolano le velocità dei carrelli prima e dopo l'urto. I grafici spazio-tempo possono essere realizzati utilizzando gli strumenti disponibili all'interno del software di analisi video oppure con l'ausilio di un foglio elettronico. Nel nostro caso si è optato per il foglio elettronico.
Gli studenti calcolano, utilizzando il foglio elettronico, le posizioni del centro di massa del sistema costituito dai due carrelli (di cui sono note le posizioni), dopo averle riportate sul grafico spazio-tempo, ne analizzano il moto.
Risorse necessarie
Rotaia a cuscino d'aria;
due carrelli per rotaia di diversa massa;
due calamite in dotazione ai carrelli;
bilancia elettronica;
asta metrica;
videocamera (va bene quella di un telefonino o una fotocamera con possibilità di acquisire filmati video in formato .mov, .avi, .mpeg);
software per l'analisi video;
Pc.
Prerequisiti necessari
Saper interpretare un grafico spazio-tempo;
saper valutare la velocità di un corpo come pendenza del grafico spazio-tempo;
conoscere il concetto di quantità di moto;
conoscere la legge di conservazione della quantità di moto;
conoscere il concetto di centro di massa e le sue proprietà;
saper utilizzare il foglio elettronico per effettuare calcoli e rappresentazioni grafiche;
saper trasferire un file da una videocamera ad un PC.
Obiettivi di apprendimento
Rafforzare la capacità di interpretare un grafico spazio-tempo;
comprendere che durante un urto tra due masse il sistema risulta essere isolato;
comprendere che due valori sperimentali possono considerarsi uguali compatibili se la differenza dei valori misurati è inferiore all'incertezza della misura;
comprendere che per il centro di massa di un sistema isolato vale il principio di inerzia;
potenziare la capacità di utilizzare un foglio elettronico per effettuare calcoli e rappresentazioni grafiche.
Dotazioni di sicurezza
nessuna
Svolgimento
FASE PRELIMINARE
1. Su ognuno dei due carrelli è stata montata una fascia chiara su fondo scuro. Questa permette di individuare più agevolmente la posizione dei carrelli su ciascun fotogramma durante la riproduzione del video.
2. All'estremità di ciascun carrello è stata montata una piccola calamita in modo che durante l'urto si avvicinino polarità omonime o eteronime a seconda che si voglia realizzare un urto elastico o anelastico.
3. La massa dei due carrelli è stata misurata con la bilancia elettronica.
Figura 1: Misura della massa dei carrelli
I valori ottenuti per le due masse sono $ m_1 = 0,42468 \pm 0,00001\ Kg$ e $m_2 = 0,18571 \pm 0,00001\ Kg$ rispettivamente.
4. Sulla rotaia è stata posta un'asta metrica la cui lunghezza viene utilizzata come riferimento per valutare le distanze tra due punti di ciascun fotogramma.
Figura 2: Rotaia utilizzata per l'esperimento
5. Una fotocamera è stata posizionata di fronte alla rotaia a circa due metri, su un supporto stabile.
6. E' stata effettuata qualche prova di lancio dei carrelli in modo da individuare la velocità con cui avviare i carrelli per evitare che saltino durante l'urto.
STUDIO DI UN URTO ANELASTICO
Il carrello più grande è stato lanciato contro quello più piccolo, fermo al centro della rotaia. Le calamite sono state montate sui carrelli con le polarità eteronime affacciate tra loro in modo che nell'urto restino attaccate. L'urto, completamente anelastico, è stato filmato ad una frequenza di 30 fps e salvato nel formato MP4.
Il filmato è stato importato nel software per essere analizzato fotogramma per fotogramma.
Nel primo fotogramma utile è stato inserito un sistema di assi cartesiani. Come origine del sistema di assi cartesiani è stato scelto il centro del carrello incidente, nell'istante in cui entra nel campo del video. Nel filmato la rotaia appare leggermente inclinata perché, evidentemente, la videocamera non era perfettamente orizzontale durante la ripresa. A questo inconveniente si è rimediato ruotando il sistema di assi cartesiani in modo che l'asse x risulti parallelo alla rotaia.
Per permettere al software di calcolare correttamente le distanze, è stata effettuata la calibrazione. Questa operazione consiste nel tracciare con il mouse una linea tra le due estremità del righello (la linea verde in figura) e nel comunicare al software la lunghezza reale del righello (nel nostro caso 1,5 m). Dopo la calibrazione il software è in grado di calcolare le coordinate di un qualsiasi punto nel sistema di assi cartesiani precedentemente fissato.
Attivata la funzione di inserimento dei punti, si è proceduto all'analisi del moto fotogramma per fotogramma. Utilizzando il puntatore del mouse, è stato posto, nel primo fotogramma, un punto sul nastro bianco del carrello incidente. Dopo aver fissato un punto, il software avanza automaticamente al fotogramma successivo permettendo di fissare un altro punto. Il passo con cui avanzano i fotogrammi può essere impostato dall'operatore. Noi abbiamo proceduto con un passo di 5 fotogrammi, sicché l'intervallo di tempo tra i fotogrammi analizzati risulta di 5/30 di secondo. Le coordinate dei punti vengono via via memorizzate e mostrate sia in forma tabellare che su un grafico spazio-tempo. Poiché il moto dei carrelli è unidimensionale, delle due coordinate di ciascun punto, è stata analizzata solo l'ascissa.
Dopo aver fissato tutti i punti corrispondenti alle posizioni del carrello incidente, il video è stato riportato sul fotogramma iniziale ed una seconda serie di punti è stata fissata in corrispondenza delle posizioni del carrello bersaglio.
Figura 3: Assi cartesiani utilizzati e linea di calibrazione
Figura 4: Moto del carrello incidente fino all'istante dell'urto, i punti indicano le posizioni assunte
Figura 5: Moto dei due carrelli, i punti indicano le posizioni occupate prima e dopo l'urto
La tabella oraria relativa al moto dei due carrelli è stata esportata in Excel. Note le posizioni e le masse dei carrelli gli studenti hanno calcolato, mediante il foglio elettronico, le posizioni del centro di massa del sistema formato dai due carrelli. $$X_{cm} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1+m_2}$$
Nella figura che segue è mostrato il grafico spazio-tempo del centro di massa e dei due carrelli, prima e dopo l'urto.
Figura 6: Grafico della posizione dei carrelli e del centro di massa in funzione del tempo
Le posizioni del carrello incidente prima e dopo l'urto sono indicate con $X_1$ e $X'_1$ rispettivamente, quelle del carrello bersaglio sono indicate con $X_2$ e $X'_2$, con $ X_{cm} $ sono state indicate le posizioni del centro di massa.
Utilizzando il comando "Aggiungi linea di tendenza" del foglio di calcolo, sono state tracciate le rette che meglio approssimano i dati sperimentali nei vari tratti rettilinei, con le corrispondenti equazioni. Il coefficiente angolare di queste rette corrisponde alla velocità dei carrelli nei vari tratti. Utilizzando la funzione di regressione lineare sono state calcolate le incertezze relative alle pendenze delle rette riportate nel grafico spazio-tempo. I valori di queste incertezze sono riportati nella tabella 1. Tabella 1: Valori delle velocità dei carrelli e del centro di massa prima e dopo l'urto, determinati eseguendo una regressione lineare sulle rette di figura 6
Si osserva che prima dell'urto il carrello incidente si muove con moto rettilineo uniforme ad una velocità di 0.2866 m/s mentre, dopo l'urto, si attacca al carrello bersaglio e insieme si muovono alla velocità di 0.1951 m/s.
Le quantità di moto dei singoli carrelli e quella dell'intero sistema sono riportate nelle seguente tabella:
Tabella 2: Quantità di moto dei singoli carrelli e dell'intero sistema prima e dopo l'urto
La differenza percentuale tra le quantità di moto del sistema prima e dopo l'urto risulta essere del 2.1%. Si può concludere che la quantità di moto del sistema si è conservata entro un margine di errore del 2.1%. Questo margine di errore è molto maggiore dell'errore con cui sono state determinati i valori della quantità di moto prima e dopo l'urto (1/1000). Si deduce quindi la presenza di cause di errore non prese in considerazione; in particolare vi è da considerare la non perfetta linearità della rotaia, questa infatti presenta impercettibili dossi e avvallamenti difficili da eliminare che generano una forza decelerante complessiva agente sui due carrelli, che quindi prima e dopo l'urto non si muovono esattamente di moto rettilineo uniforme, ma presentano una piccola decelerazione, trascurata nella nostra analisi.
Il grafico della posizione del centro di massa mostra chiaramente che, nei limiti della sensibilità della misura, l'urto tra i carrelli non influenza il moto del centro di massa che si muove con moto rettilineo uniforme; la velocità del centro di massa risulta essere di 0.1960 m/s sia prima che dopo l'urto. La quantità di moto del centro di massa risulta essere: $$P_{cm} = M_{tot} \cdot V_{cm} = (0.1196 \pm 0.0001) Kg \cdot m/s $$
Questo valore è uguale, entro l'1,7%, alla quantità di moto che l'intero sistema possiede sia prima che dopo l'urto, come atteso.
Se ne conclude che durante l'urto per il centro di massa vale il principio di inerzia e che la sua quantità di moto è uguale a quella dell'intero sistema.
STUDIO DI UN URTO ELASTICO
Il carrello più grande è stato lanciato contro quello più piccolo, fermo al centro della rotaia. Le calamite sono state montate in modo che durante l'urto le polarità che si avvicinano sono omonime. Si realizza così un urto che si può approssimare come elastico che è stato filmato con una frequenza di 30 fps.
Le operazioni necessarie per individuare le posizioni dei carrelli su ciascun fotogramma sono le stesse descritte nel paragrafo precedente. La successione delle posizioni rilevate è rappresentata nella figura seguente. La corrispondente tabella oraria è riportata negli allegati. Dopo aver calcolato le posizioni del centro di massa, queste sono state riportate nel grafico spazio-tempo insieme a quelle dei due carrelli.
Figura 7: Punti relativi alle posizioni del carrello incidente fino all'istante dell'urto
Figura 8: Punti relativi alle posizioni dei due carrelli prima e dopo l'urto
Nel grafico che segue, è rappresentato il diagramma spazio-tempo dei due carrelli, prima e dopo l'urto, insieme al diagramma spazio-tempo del centro di massa.
Figura 9: Grafico della posizione dei carrelli e del centro di massa in funzione del tempo
Il significato dei simboli è lo stesso del paragrafo precedente. In questo caso la velocità dei carrelli dopo l'urto è diversa e il calcolo delle quantità di moto del sistema prima e dopo l'urto fornisce i seguenti risultati:
Tabella 3: Quantità di moto dei singoli carrelli e dell'intero sistema prima e dopo l'urto
La differenza percentuale tra le quantità di moto del sistema prima e dopo l'urto risulta essere del 2%. Anche in questo caso si può concludere che la quantità di moto del sistema si è conservata entro un margine di errore del 2%.
Si osserva che l'urto tra i carrelli non influenza il moto del centro di massa che continua a muoversi con moto rettilineo uniforme e con la stessa velocità di 0.178 m/s sia prima che dopo l'urto. La quantità di moto del centro di massa risulta essere: $$P_{cm} = M_{tot} \cdot V_{cm} = (0.1089 \pm 0.0002) Kg \cdot m/s$$
Questo valore è uguale, entro l'1,7%, alla quantità di moto che l'intero sistema possiede sia prima che dopo l'urto.
Se ne conclude che anche durante l'urto elastico, per il centro di massa vale il principio di inerzia e la sua quantità di moto è uguale a quella dell'intero sistema.
Note e storia
La scelta di utilizzare la ripresa con successiva analisi video, è motivata dalla necessità di determinare la posizione del centro di massa ad intervalli di tempo fissi. In questo modo è possibile costruire il grafico spazio-tempo e dedurre le caratteristiche del suo moto. In alternativa si potrebbero utilizzare due sensori di posizione ad ultrasuoni interfacciati ad un PC. Questa alternativa è però più dispendiosa sia sul piano economico sia in termini di tempi di realizzazione dell'esperimento.
L'applicazione informatica utilizzata è un software che gestisce un'interfaccia e diversi sensori per la realizzazione di esperimenti on line. Tra le varie funzioni di questo software vi è anche quella che consente di effettuare l'analisi di un video. Un'immagine dell'ambiente di lavoro è riportata negli allegati. La scelta di utilizzare questo software per l'analisi video è motivata dal fatto che il suo ambiente di lavoro è familiare agli studenti perché lo hanno già utilizzato in precedenti esperimenti. L'analisi video dell'esperimento proposto, può essere effettuata anche con altri software ad esempio "Tracker" che è scaricabile gratuitamente, esegue le stesse funzioni e riconosce gli stessi formati video.
La scelta di utilizzare il foglio elettronico per analizzare e rappresentare graficamente i dati, è motivata dalla convinzione che sia più utile per gli studenti imparare ad utilizzare al meglio uno strumento di uso generale piuttosto che uno strumento di uso più specifico e limitato ad ambiti particolari.
