Riassunto / Abstract

In questo esperimento si propone la misura dell’indice di rifrazione di un vetrino utilizzando un interferometro in configurazione Michelson-Morley.

Scheda sintetica delle attività

L’esperimento utilizza un interferometro in configurazione Michelson-Morley che può essere costruito a partire dalle istruzioni elaborate dall’INFN (scaricabili dal sito e riportate anche in allegato).

A partire da tale strumento, si posiziona tra il beam-splitter e uno degli specchi dell’interferometro un sottile vetrino di spessore t, perpendicolarmente alla direzione di propagazione del raggio. Si ruota il vetrino rispetto alla perpendicolare alla direzione di propagazione del raggio prima di 1°, poi di 2° e cosi via, fino a quando non è più possibile effettuare la rotazione. Per ogni rotazione, si registra in un video con uno smartphone il comportamento della figura di interferenza: in un secondo momento, guardando i video, per ogni angolo di rotazione si determina il numero di frange che scorrono in un determinato punto. A partire da questo numero e dall’angolo di rotazione, conoscendo lo spessore t del vetrino, si ricava l’indice di rifrazione dell’oggetto.

Risorse necessarie

interferometro di Michelson-Morley;
calibro;
righello;
goniometro;
vetrino;
un braccio per il vetrino;
telefono;
Newport RSX-2 Rotation Stage (base rotante): consigliato, non necessario;
supporto per il telefono (cavalletto).

Prerequisiti necessari

Riflessione;
rifrazione;
interferenza della luce;
saper utilizzare un foglio elettronico (non obbligatorio, serve per l’analisi dati);
valor medio di una grandezza.

Obiettivi di apprendimento

Vedere una modalità di generare l’interferenza tra due sorgenti di luce diversa dalla tipica interferenza alla Young;
ragionare sull’ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce;
riconoscere la sensibilità dell’interferometro e l’importanza storica nello sviluppo della fisica del ‘900 e della fisica contemporanea (applicazioni alle onde gravitazionali);
familiarizzare con il concetto di media pesata;
misurare l’indice di rifrazione di un vetrino attraverso un interferometro.

Dotazioni di sicurezza

L’interferometro utilizza una sorgente laser: un’esposizione oculare momentanea non è considerata come pericolosa, tuttavia non deve essere guardato direttamente il raggio laser e va prestata molta attenzione altresì all’eventuale luce riflessa dalle componenti metalliche dello strumento e dal vetrino che non è controllabile.

Durante l’allestimento dell’esperimento l’interferometro deve essere spento: esso dev’essere acceso solo per la presa dati e per la misura della larghezza delle frange.

Svolgimento

Introduzione

Consideriamo di interporre tra il beam-splitter (B) e uno dei due specchi (M) un vetrino di spessore t.

Figura 1: schema di montaggio del vetrino

Quando il vetrino è posto perpendicolarmente alla direzione di propagazione del fascio, il percorso del laser viene aumentato di due volte lo spessore del vetrino.

Quando invece il vetrino viene ruotato ad esempio di un angolo $\delta$ il cammino ottico subisce una variazione a causa della legge di Snell che porta il raggio di luce ad essere rifratto due volte all’interno del vetrino.

Il percorso del laser viene modificato rispetto alla precedente situazione: come conferma del progressivo cambio di cammino ottico via via che si ruota il vetrino, avremo che le frange di interferenza cominceranno a muoversi sullo schermo.

Se $\alpha$ è l’angolo del quale si è ruotato il vetrino rispetto alla direzione perpendicolare al braccio dell’interferometro BM e in corrispondenza si sono contate $N$ frange muoversi rispetto ad un punto, l’indice di rifrazione del vetrino è dato da:
$$n=\frac{(2t-N\lambda)(1-cos{\alpha})}{2t(1-\cos{\alpha})-N\lambda}$$

Possiamo allora ripetere più volte le misure, cambiando di volta in volta l’angolo $\alpha$ per ottenere più valori dell’indice di rifrazione n da poter poi analizzare statisticamente.

Allestimento

Misuriamo dapprima lo spessore del vetrino ($t\pm\Delta t$) (usare il calibro per avere una misura più precisa).

È conveniente ideare un braccio al quale attaccare il vetrino che si trovi su di un piano rialzato rispetto al livello della base dell’interferometro. Ciò permette di ruotare il vetrino con più semplicità, evitando di perturbare lo strumento con sollecitazioni meccaniche. Nel nostro caso è stato realizzato prendendo un parallelepipedo di marmo e attaccandoci il vetrino.

Per misurare l’angolo di rotazione del vetrino si possono utilizzare tre strategie differenti:

1. Utilizzare un supporto rotante graduato (ad esempio Newport RSX-2 Rotation Stage) che permette di leggere direttamente di quanti gradi viene ruotata la base dello strumento, sulla quale viene posato il braccio esterno (figura 2).

Figura 2: montaggio del vetrino nella strategia 1

2. Posizionare il goniometro o un’immagine stampata di un goniometro al di sotto del braccio esterno, facendo attenzione al fatto che l’estremità libera di quest’ultimo si trovi al centro dello strumento. In questo modo potremo ruotare il braccio esterno intorno a questo punto e riusciremo a leggere direttamente il valore dell’angolo (figura 3).

Figura 3: montaggio del vetrino nella strategia 2

3. L’ultimo metodo può introdurre sorgenti aggiuntive d’errore ma è funzionale nel caso in cui non si avesse possibilità di adottare le precedenti strategie. Si posiziona un goniometro attaccato alla base dell’interferometro al di sotto del braccio rotante, prestando attenzione ad allineare il centro di rotazione del braccio esterno con il centro del goniometro e posizionarlo perpendicolarmente al braccio esterno (figura 4).

Figura 4: montaggio del vetrino nella strategia 3

Questa strategia introduce anche una correzione all’angolo che si legge dal goniometro dovuta al fatto che il centro del goniometro non coincide con il centro di rotazione del braccio esterno. In particolar modo (viene descritto in dettaglio nella scheda dell’esperimento in Allegato), l’angolo vero di rotazione del vetrino è pari a:
$$\beta=\arctan{\left(\frac{\sin{\alpha}}{\frac{C_1C_2}{R}+\cos{\alpha}}\right)}$$

dove $R$ è il raggio del goniometro, $C_1C_2$ la distanza tra il centro di rotazione del braccio esterno e il centro del goniometro e $\alpha$ l’angolo letto sul goniometro.

Si può stimare che l’errore su questa misura è definito dalla seguente relazione:
$$\Delta\beta=\frac{1}{\mu}\cdot\sqrt{R^2(C_1C_2\cos{\alpha}+R)^2{\Delta\alpha}^2+R^2\sin^2{\alpha}{\Delta C_1C_2}^2+{C_1C_2}^2\sin^2{\alpha}\Delta R^2}$$

dove per abbreviare la formula si è definito:
$$\mu=C_1C_2^2+2C_1C_2R\cos{\alpha}+R^2$$

Qui $\Delta\alpha$, $\Delta C_1C_2$ e $\Delta R$ sono rispettivamente l’errore sulla misura dell’angolo $\alpha$ (in radianti), sul segmento $C_1C_2$ e sul raggio $R$ del goniometro.

Ricapitolando, il set-up dell’esperimento consiste in (tenere sempre l’interferometro spento durante l’allestimento):

posizionare l’interferometro su di un tavolo (possibilmente ben fissato a terra) a una distanza dal muro tale da poter osservare e distinguere bene le frange luminose da quelle scure;
creare un braccio di supporto per il vetrino;
capire quale strategia adottare per misurare l’angolo di rotazione del vetrino;
posizionare il braccio del vetrino su di una base (ad esempio un libro) in modo tale che il vetrino sia libero di ruotare sopra l’interferometro senza sfregare sopra la base;
allineare il vetrino in modo tale da risultare perpendicolare alla direzione specchio beam-splitter;
posizionare (se necessario) un goniometro o sotto il perno di rotazione del braccio esterno (facendolo coincidere con il centro del goniometro (strategia 2)) o in un altro punto, prestando attenzione in questo caso ad allineare il centro del goniometro con il centro di rotazione del braccio esterno seguendo la linea del braccio (strategia 3);
misurare (se necessario) la distanza tra il centro di rotazione del braccio e il centro del goniometro;
misurare (se necessario) il raggio del goniometro.

Misure

Per realizzare l’esperimento è stata adottata la strategia 1 utilizzando la piattaforma rotante la quale restituisce subito l’angolo di rotazione del vetrino senza necessità di correzione. La sensibilità dello strumento (e quindi sulla misura dell’angolo) è di $\Delta \alpha=2°$.

Le grandezze costanti risultano essere: $$t=(1.60\pm 0.05)\cdot10^{-3}\ m$$ È stato quindi acceso l’interferometro ed è stata misurata la larghezza delle frange chiare Lc e scure Ls che risulta essere:
$$L_C=(2.00\pm0.05)\cdot10^{-2}\ m$$

$$L_S=(0.60\pm0.05)\cdot10^{-2}\ m$$

Sono state quindi eseguite 7 misure diverse, ruotando il vetrino 7 volte: per ogni rotazione è stato registrato con uno smartphone lo spostamento delle frange e successivamente è stato contato il numero di frange che si sono spostate.

Figura 5: illustrazione del movimento e del conteggio delle frange di interferenza per due angoli diversi.

In particolar modo, prendendo come riferimento la linea gialla verticale all’inizio di una franga luminosa (figura 5), diremo che il conteggio N delle frange è +1 quando sarà transitata tutta la frangia luminosa.

In particolare nella scheda dell’esperimento in Allegato viene descritto anche il calcolo della parte frazionaria di N che si basa sulla larghezza della frange chiare e scure.

Raccogliendo i dati, per ogni angolo di rotazione si calcola l’indice di rifrazione il cui errore sulla misura si può stimare essere pari a:
$$\Delta n=\frac{N\lambda}{\zeta}\cdot\sqrt{(\sin{\beta}\cdot(N\lambda-2t))^2\Delta\beta^2+(2\cos{\beta}\cdot\eta)^2\Delta t^2 +(2t\cos{\beta}\cdot\eta)^2\Delta N^2}$$

dove per abbreviare la formula si è posto: $$\zeta = (N\lambda+2t\cos{\beta}-2t)^2$$

$$\eta=\cos{\beta}-1$$

qui $\Delta \alpha$, $\Delta t$ e $\Delta N$ sono rispettivamente l’errore sulla misura dell’angolo $\alpha$ (in radianti), sullo spessore t del vetrino e sul numero $N$ delle frange contate.

Nella tabella seguente vengono riportati tutti i dati relativi all’esperimento; l’incertezza $\Delta n$ è espressa con due cifre decimali per mettere meglio la variabilità del valore di n.

Tabella 1: valori sperimentali misurati e relativi errori per l'angolo $\alpha$, il numero di frange e l'indice di rifrazione calcolato con la relazione [1]; sono riportati anche i valori dei pesi utilizzati per il calcolo della media pesata.

La stima dell'indice di rifrazione la si ottiene calcolando il valor medio pesato dei valori ottenuti, dove i pesi $w_i=1/(\Delta n_i)^2$.

Perciò: $$\bar{n}=\frac{\sum_in_iw_i}{\sum_i w_i}$$ La migliore stima invece dell’incertezza da associare al valor medio pesato è: $$\Delta\bar{n}=\frac{1}{\sqrt{\sum_i w_i}}$$ Risulta che: $$\bar{n}=(1.46\pm0.11)$$
Ci si può ritenere soddisfatti del valore ottenuto tenendo presente che sono presenti nella misura delle sistematiche che non si possono controllare bene nel set-up (come l’inclinazione degli specchi che influenza la propagazione del laser): il valore dell’indice di rifrazione rientra nei valori tipici per il vetro.

Insight: interferometri & onde gravitazionali

La configurazione di Michelson dell’interferometro è molto importante e viene tutt’oggi utilizzata per alcuni esperimenti in ambito astrofisico, in particolar modo per quanto riguarda la rilevazione delle onde gravitazionali.

Figura 6: rappresentazione schematica di un'onda gravitazionale

Si sfruttano infatti le proprietà di questo tipo particolare di onde che consiste nell’alterare le distanze relative tra due punti dello spaziotempo: di conseguenza questi cominceranno ad allontanarsi e ad avvicinarsi con un movimento periodico, in fase con l’onda. Ma l’entità della deformazione è dell’ordine di $10^{-21}$, mille volte più piccola delle dimensioni del protone.

Questo implica che per poter essere rilevata occorre uno strumento molto sensibile, capace di apprezzare questa variazione: l’idea è di sfruttare le caratteristiche dell’interferometro.

Vengono realizzati interferometri tali per cui in assenza di perturbazioni le onde nei due bracci sono in opposizione di fase: non si vede nulla nello schermo, nessuna figura di interferenza.

Al passaggio di un’onda gravitazionale, essi subiscono una deformazione (vengono accorciati o allungati): di conseguenza la distanza che il laser percorre nei due bracci sarà differente e quindi anche il tempo impiegato. La due onde non rimarranno più sfasate come nella configurazione normale ma invece avranno una fase relativa differente generando una figura di interferenza. Maggiori dettagli vengono forniti nella dispensa sull’interferometro in Allegato.

Autori

Leonardi Alessio Mattia

Misura dell'indice di rifrazione con un interferometro