L’esperienza consiste nello studio della caduta di una goccia d’acqua all’interno di un contenitore cilindrico trasparente contenente olio d’oliva alla temperatura ambiente. Si tratta di esaminare una situazione nella quale non è possibile trascurare gli effetti del mezzo sul moto del corpo in caduta che diventano essenziali per comprenderne le caratteristiche. Il percorso didattico si snoda su diversi livelli di complessità in relazione al tempo e alle conoscenze acquisite precedentemente dagli studenti.
Scheda sintetica delle attività
L’attività prevede un lavoro di gruppo (almeno tre studenti) e richiede la conoscenza delle modalità per il trattamento dei dati sperimentali (tabulazioni, medie ed incertezze di misura, costruzione di grafici con il foglio di carta millimetrata, ecc... o in alternativa l’uso del foglio elettronico).
Attività minima prevista (4 ore di laboratorio): Utilizzo della pipetta graduata per la produzione di una goccia d’acqua di volume noto (1 ora da svolgere in laboratorio);
presentazione della prova (1 ora da svolgere in laboratorio);
misurazione di distanze e tempi percorsi dalla goccia durante la caduta nell’olio d’oliva con l'utilizzo di una scala graduata e di un cronometro per la misurazione dei tempi parziali o in alternativa con lo smartphone (2 ore da svolgere in laboratorio);
calcolo delle velocità di caduta delle varie gocce per via grafica e analitica con relative incertezze (da svolgere a casa);
Conclude il percorso didattico una relazione scritta individuale che fa riferimento al lavoro di gruppo da svolgere a casa assieme ai grafici richiesti che può essere valuta dal docente.
Ad un livello più approfondito (da aggiungere 1-2 ore di lezione frontale):
L'attività prevede lo svolgimento di una breve lezione teorica introduttiva per presentare la velocità di caduta di una sfera rigida che si muove di moto laminare in un mezzo viscoso (legge di Stokes). Il percorso didattico procede poi con un confronto tra le velocità calcolate dagli studenti e quella prevista dalla teoria mediante una discussione frontale con la classe e coordinata dal docente.
Risorse necessarie
Cilindro graduato di vetro da Laboratorio di Chimica, per la verifica del solo moto rettilineo uniforme;
bottiglia di plastica trasparente per verificare anche la legge di Stokes; occorre utilizzare una bottiglia da 1.5 L, resa di forma cilindrica tagliandone il collo con un paio di forbici; sulla parete esterna occorre fissare con nastro adesivo una strisciolina rettangolare di carta millimetrata, posizionando lo zero della scala a circa 5 cm sotto il bordo superiore di plastica (figura 1);
pipetta graduata in vetro (sensibilità 0.01 mL; portata 2 mL) con pompetta aspirante in gomma;
supporto regolabile in altezza (elevatore) o supporto equivalente;
cronometro o smartphone con la possibilità di registrare i tempi parziali (sensibilità 0.01 s);
un chiodo a testa larga (diametro della testa circa 0.5 cm);
un becher o bicchiere di plastica contenente acqua distillata;
Nota 1: la richiesta di utilizzare la bottiglia per la verifica della legge di Stokes è dovuta alla necessità di impedire il più possibile l'influenza delle pareti interne del contenitore sulla caduta della goccia. Come sarà chiarito nella sezione Svolgimento, tale influenza non è affatto trascurabile se si utilizza un normale cilindro graduato da Laboratorio di Chimica. Nota 2: esiste anche la possibilità di verificare la legge di Stokes con il cilindro graduato. In tal caso occorre impiegare gocce di volume dell'ordine del mm3, molto più piccole di quelle che si possono ottenere con la pipetta indicata. Tali gocce sono ottenibili con la micropipetta, strumento di più difficile reperibilità nei laboratori scolastici. Se si possiede una micropipetta, si può anche seguire il percorso didattico alternativo descritto nell'articolo "Moto di una goccia d'acqua in olio d'oliva" presente negli allegati.
Prerequisiti necessari
Per la verifica del moto rettilineo uniforme:
conoscere il significato di legge oraria per un punto materiale e saper interpretare il relativo grafico posizione – tempo;
conoscere le regole di base della propagazione delle incertezze sperimentali;
sapere tracciare un grafico a mano e/o con foglio elettronico di dati sperimentali con relative incertezze;
saper utilizzare una normale calcolatrice scientifica non programmabile.
In aggiunta per la verifica della legge di Stokes:
le leggi del moto della Dinamica;
la tensione superficiale, la forza peso, la spinta idrostatica, la forza d'attrito nei mezzi fluidi;
saper interpretare un grafico diverso da una retta.
Obiettivi di apprendimento
Imparare ad usare una pipetta graduata;
imparare ad usare un cronometro per la misura dei tempi parziali;
comprendere come si comportano le gocce d’acqua quando sono depositate sulla superficie libera dell’olio d’oliva ed imparare a staccarle da essa;
comprendere perché la velocità di caduta una goccia dipende dalle dimensioni della goccia stessa e perché deve essere costante in determinate circostanze;
rendersi conto di quale procedura si può seguire per verificare una legge teorica (moto rettilineo uniforme, la legge di Stokes) utilizzando dati sperimentali con le relative incertezze nell'ambito di un lavoro di collaborazione tra studenti.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
L’esperienza consiste nello studio della caduta di una goccia d’acqua all’interno di un contenitore cilindrico trasparente contenente olio d’oliva alla temperatura ambiente. Si tratta di esaminare una situazione nella quale non è possibile trascurare gli effetti del mezzo sul moto del corpo in caduta che diventano essenziali per comprenderne le caratteristiche. Il percorso didattico si snoda su due livelli di complessità in relazione al tempo e alle conoscenze acquisite precedentemente dagli studenti e introduce numerosi concetti tra i quali: la tensione superficiale, il moto rettilineo uniforme, la rifrazione della luce, il moto laminare, la spinta idrostatica, la viscosità, per terminare con la presentazione della legge di Stokes, necessaria per procedere ad un confronto esauriente tra il modello dinamico e i dati sperimentali raccolti dagli studenti.
Gli studenti possono anche utilizzare il foglio elettronico appositamente predisposto per l'elaborazione dei dati di questa esperienza e avvalersi di utili suggerimenti per l'impiego di altre risorse didattiche.
Il tempo richiesto per completare il lavoro, dall'acquisizione delle competenze per l'uso degli strumenti, alla discussione frontale con la classe, richiede 4 ore di lezione in laboratorio ed al massimo un paio di ore di discussione in aula se la relazione scritta che accompagna il lavoro di elaborazione dei dati viene assegnata come compito per casa e se l'attrezzatura è già pronta per l'uso nel laboratorio scolastico.
Premessa
L’uso corretto da parte degli studenti della pipetta graduata, della pompetta e del cronometro per la misura dei tempi parziali, richiede un certa manualità da parte dei ragazzi che non posseggono normalmente. Ciò significa che il docente dovrà dedicare un poco di tempo a scuola per esercitare i ragazzi all'uso della strumentazione, una sorta di "allenamento" prima della raccolta dei dati e della loro elaborazione. La seguente presentazione ha lo scopo di chiarire le modalità da adottare da parte degli studenti per formare la goccia d'acqua che poi andranno a studiare durante la caduta nell'olio.
In un lavoro di gruppo sarebbe auspicabile che tutti gli studenti del gruppo acquisissero le stesse abilità manuali; spesso capita, invece, che il lavoro sia ripartito tra gli studenti, ognuno dei quali esegue solamente determinati compiti in base ad un'organizzazione interna che gli studenti stessi si danno autonomamente. In quest'ultimo caso l'efficacia della prova non è comunque compromessa, perché tra gli scopi dell'esperienza vi è l'introduzione della pratica del lavoro d' "equipe" che nell'esperienza proposta è particolarmente significativa.
Tutti i tempi indicati nello svolgimento delle singole parti presuppongono di avere il materiale pronto per l'uso a disposizione degli studenti.
La parte iniziale che segue non è essenziale per il docente che ha precedentemente abituato gli studenti ad eseguire misure con strumenti volumetrici (pipette, matracci, burette, cilindri graduati, ecc...) e può essere saltata.
Impiego della pipetta graduata
Questa parte non è essenziale per il docente che ha precedentemente abituato gli studenti ad eseguire misure con strumenti volumetrici (pipette, matracci, burette, cilindri graduati, ecc...) e può essere saltata; ha una durata di circa 1 ora.
La pompetta di gomma è mostrata in figura 2
Figura 2: la pompetta di gomma.
Il pipettatore è dotato di tre valvole che vanno azionate seguendo in ordine i seguenti punti per poter regolare il liquido sulla linea di graduazione desiderata della pipetta. Occorre: 1. inserire la pipetta nell’apertura inferiore della pompetta; 2. premere la valvola A (sopra la bombatura) della pompetta e schiacciarla per generare una depressione; 3. inserire la punta della pipetta tenuta verticalmente nel recipiente che contiene il liquido - premere la valvola S (sotto la bombatura) per l'aspirazione del liquido - portare il livello del liquido appena oltre la linea di graduazione desiderata; 4. premere delicatamente la valvola E (nell'appendice di destra) per erogare del liquido nel recipiente in modo da riportare il livello alla linea di graduazione desiderata - attendere qualche secondo prima della lettura per controllare che il velo di liquido che bagna la parete interna del vetro sia colato completamente.
Fig.3: immagine del menisco
Il presupposto per una misura volumetrica precisa è la corretta regolazione del menisco. Se il menisco è curvato verso il basso, si deve leggere il volume nel punto più basso del liquido che deve toccare la linea di graduazione (figura 3). Per regolare il menisco senza errori di parallasse, occorre tenere lo strumento in verticale, mentre lo sguardo dell’osservatore deve trovarsi alla sua altezza. Nota: un ulteriore perfezionamento della misurazione volumetrica si ottiene se si tiene un pezzo di carta scura dietro lo strumento subito sotto la linea di graduazione. In tal caso, infatti, il menisco diventa più scuro e si legge meglio davanti ad uno sfondo chiaro. Ulteriori precisazioni: la pipetta graduata viene utilizzata per scolamento, cioè la misura del volume si ottiene per caduta libera. Si deve tenere in verticale durante la fase di aspirazione, poi occorre asciugare la punta con un po’ di carta assorbente. Una volta regolato il menisco sulla linea di graduazione, si eroga successivamente, appoggiando la punta sulla parete interna del becher tenuto inclinato per farvi scolare il contenuto. Possibili cause di errore: il volume indicato dalla pipetta è sempre inferiore a quello fornito dallo strumento se la punta della pipetta è scheggiata, oppure è superiore se la punta non è pulita perché in tal caso il il deflusso viene ostacolato.
Figura 4: i dati marcati sulla pipetta.
Il volume V di una goccia d’acqua si può determinare misurando il volume di liquido colato dalla pipetta corrispondente ad un certo numero n di gocce. L’incertezza dello strumento fornita dal costruttore sulla misura del volume è marcata sulla superficie esterna della pipetta insieme ad altri dati (figura 4). Nel nostro caso è pari a $\pm0.015 mL$. Se si misura il volume iniziale $V_i$e quello finale $V_f<V_i$, il volume della goccia e la sua incertezza, applicando le usuali regole di propagazione degli errori delle misure indirette, si ricavano nel modo seguente: $$ V = \left(\frac{V_i - V_f}{n}\pm \frac{0.03}{n} \right)\ ml\ \ \ \ \ \ [1]$$
Presentazione della prova
Durata prevista: 1 ora
Prima di effettuare le misure, occorre travasare l'olio fino a 2-3 cm sotto il bordo dell'imboccatura del contenitore e ricoprirlo con un po’ di pellicola trasparente per alimenti per evitare che si depositi del pulviscolo sulla sua superficie libera. Occorre poi lasciarlo riposare per circa mezz’ora per eliminare le bollicine d’aria al suo interno. In questa fase il docente presenta il contenitore d'olio d'oliva e utilizza la pipetta per formare delle gocce.
I punti seguenti possono essere oggetto di discussioni anche interdisciplinari con gli studenti durante la presentazione frontale dell'esperimento alla classe. Suggerirei anche di coinvolgere qualche studente nell'eseguire le operazioni più importanti in modo che i compagni dal posto si rendano conto più facilmente dei problemi che possono insorgere.
Quando la goccia si stacca dalla punta della pipetta graduata e si adagia sulla superficie libera dell’olio si osserva che essa non cade immediatamente, ma rimane “appesa” alla superficie stessa a causa della tensione superficiale. Per far cadere la goccia è necessario spingerla delicatamente verso il basso con la testa di un chiodo.
Per ulteriori informazioni sul concetto di tensione superficiale si veda Tensione_superficiale.
L'assenza di una caduta immediata può essere lo spunto per parlare dell'importanza della tensione superficiale in situazioni analoghe presenti in altri contesti. Per esempio, ci si può agganciare alla Biologia citando il comportamento dell’idrometra, un insetto in grado di spostarsi con le zampe sulla superficie dell’acqua stagnante (figura.5).
Figura 5: l'immagine di sinistra mostra impiego del chiodo per il distacco della goccia; quella di destra una idrometra sull'acqua
La caduta nell’olio è rettilinea, come avviene in aria, ma molto meno rapida. Durante il moto non si notano scie vorticose e la goccia non modifica la propria forma sferica se osservata lungo la direzione dell’asse verticale del cilindro. In direzione perpendicolare all’asse, invece, appare di forma ellissoidale a causa della rifrazione causata dal doppio strato, olio-vetro e vetro-aria. Questo fenomeno permette di agganciarsi anche all'ottica geometrica qualora fosse stata già svolta (figura 6)
Figura 6: la goccia in caduta nell'olio all'interno del cilindro graduato.
Possibili spunti e domande da discutere collegialmente:
a) facciamo cadere una goccia d'acqua liberamente sul pavimento dell'aula e confrontiamo la caduta con quella in olio. Discutiamo poi le analogie e le differenze che si notano in modo da aprire la discussione con gli studenti. Quali sono le forze in gioco? Come interviene il mezzo nell'ostacolare la caduta?
b) Domande sulla rifrazione osservata attraverso il vetro:
b1) quale dei due strati causa la maggior rifrazione della luce diffusa dalla goccia durante la caduta nell'olio?
b2) perché la goccia appare sferica se la linea di visuale dell'osservatore è diretta lungo l'asse del cilindro?
In questa fase è importante sottolineare anche la presenza delle incertezze sperimentali, casuali e sistematiche, che si possono compiere durante la raccolta dei dati.
Innanzitutto non bisogna trascurare la difficoltà che gli studenti hanno nel leggere il valore del volume di liquido indicato sulla scala graduata della pipetta.
Avendo già sperimentato l'uso della pipetta, conviene abituare ancora un pò gli studenti a leggere la scala dello strumento al fine di ridurre il più possibile letture accidentali sbagliate il giorno della raccolta dati.
Occorre anche stimare il tempo di reazione, che può variare da individuo a individuo. La sensibilità del cronometro o dello smartphone (0.01 s) è di gran lunga inferiore all'errore che si commette in questa esperienza nella misura del tempo di caduta della goccia.
Suggerimento: Una stima del tempo di reazione, semplice e veloce, da eseguire con gli studenti si può effettuare tenendo in mano una riga in posizione verticale tra il pollice e l'indice. Si registra la posizione del pollice sulla riga, si abbandona poi la riga in modo da farla cadere liberamente e la si riprende di nuovo con le due dita. Si misura infine la nuova posizione del pollice sulla riga. Se si indica con H la distanza tra le due posizioni e con g l'accelerazione di gravità, il tempo di reazione è pari al tempo di caduta della riga tra le due posizioni precedenti, facilmente calcolabile con la formula: $$T(reazione) =\sqrt {\frac{2H}{g}}$$ Figura 7 : posizione corretta per la misurazione dei tempi di caduta della goccia all'interno dell'olio.
Una incertezza che si deve ridurre il più possibile è quella dovuta all'errore di parallasse. Le misure delle distanze devono infatti effettuarsi con la linea visuale all’altezza delle linee di graduazione (tacche serigrafate) del cilindro o delle linee di riferimento sulla scala millimetrata della bottiglia. E' consigliabile l’impiego di un supporto regolabile da porre sotto la base del contenitore come per esempio un elevatore o altro dispositivo equivalente (figura 7). A titolo dimostrativo, si può far leggere il valore sulla scala graduata del volume di olio presente nel contenitore a due studenti posti in posizioni diverse, uno sotto e uno sopra la linea di visuale corretta.
Nota: il comportamento di una goccia d'acqua in caduta nell'olio può essere anche osservato nel filmato "video della goccia" presente negli allegati, prodotto dall'Autore e che può essere usato per verificare il moto rettilineo uniforme. Se il docente lo ritiene opportuno, può mettere a disposizione degli studenti il filmato da visionare con calma a casa prima di prelevare i dati a scuola. A casa gli studenti possono prendere confidenza con le misure delle distanze in funzione del tempo e verificare che la velocità della goccia è costante, eventualmente chiarendo loro, a scanso di equivoci, che la goccia del filmato non ha lo stesso volume di quella che loro produrranno il giorno della prova.
Può essere conveniente che lo studente a casa si eserciti anche con "Tracker". Tracker è uno strumento di lavoro scaricabile gratuitamente da Internet che abbina l'impiego di brevi filmati con la modellizzazione al computer. Il programma permette di digitalizzare i fotogrammi del filmato ed estrarre l'equazione oraria del moto della goccia in tempi più rapidi rispetto ai metodi più tradizionali (carta millimetrata, foglio elettronico).
Si può anche suggerire agli studenti di produrre loro stessi il filmato con lo smartphone il giorno della raccolta dei dati. Per ridurre al minimo gli errori accidentali, la visione del filmato può essere molto utile come controllo a posteriori dei valori letti delle distanze e dei tempi che dovranno poi riportare nella relazione scritta.
Per le modalità di utilizzo di Tracker si veda anche l'articolo 22-Fisica che descrive il moto parabolico di una palla con velocità non nulla.
Conclusione:
Gli studenti, alla fine di questo modulo introduttivo, dovrebbero aver imparato:
che il moto della goccia è privo di turbolenze visibili;
che la forma sferica della goccia durante la caduta si conserva e che la deformazione che si osserva è solo apparente;
che devono esistere delle forze dovute all’olio che si oppongono alla forza di gravità agente sulla goccia;
che occorre evitare l'errore di parallasse ed utilizzare il tempo di reazione per le misure da eseguire;
che esistono modalità di prelevamento dei dati sperimentali che utilizzano tecniche di ripresa video e programmi a questo scopo dedicati.
Raccolta dati
Durata prevista: 2 ore In questa fase gli studenti devono prelevare i dati a scuola avendo consapevolezza di come operare con gli strumenti e che tipo di incertezze dovranno valutare.
Prima di iniziare le misurazioni, è necessario che il contenitore d'olio sia ben saldo sul piano di lavoro. Se si impiega il cilindro graduato conviene fissare preliminarmente la base circolare di vetro con un pò di nastro adesivo al piano d'appoggio. Se si impiega invece la bottiglia suggerirei di porle a fianco qualche libro in modo da evitare che si ribalti a causa di qualche urto accidentale da parte dei ragazzi. Questa, certamente, non sarebbe una bella esperienza!
In quest'ultimo caso non conviene usare il supporto regolabile in altezza, ma appoggiare la bottiglia direttamente sul tavolo. Gli studenti dovranno poi trovare la corretta linea di visuale per evitare l'errore di parallasse.
All'inizio dell'attività, ogni gruppo deve preliminarmente misurare il volume di una goccia e stimarne l'incertezza utilizzando la relazione [1].
Acquisito questo dato, inizia la fase delle misure delle distanze percorse dalla goccia e dei relativi tempi di caduta. Il lavoro richiede una collaborazione reciproca tra gli studenti e tipicamente può essere ripartito nel modo seguente: uno studente prepara la goccia e la deposita sulla superficie dell'olio, un secondo la fa cadere con il chiodo nell'olio, un terzo misura i tempi di caduta, ecc.. Queste varie attività sarebbe meglio che fossero fatte a rotazione tra gli studenti ripetendo più volte la caduta della goccia. Alla fine delle due ore, a ciascun gruppo potrà essere richiesto di scegliere una o più serie di dati da graficare per casa come verifica statistica che la velocità di caduta è costante.
Nota: E' disponibile negli allegati il foglio elettronico "legge oraria.xls" già predisposto per registrare i dati delle distanze e dei tempi di caduta per 10 gocce.
Il file contiene 10 tabelle vuote da compilare, una per ogni goccia, calcola in automatico la velocità di caduta della goccia dalle misure delle distanze e dei tempi, e fornisce per ogni goccia la media delle velocità e la deviazione standard da associare come incertezza. Nell'impiego del foglio, l’incertezza sulle distanze è stata scelta pari ad 1mm (sensibilità del righello o della carta m/m), quella sui tempi pari a 0.3 s, che è grosso modo il tempo di reazione medio. Volendo, tali valori sono modificabili a piacimento.
Il file contiene anche le misure riferite alla caduta di 20 gocce, la metà delle quali nella bottiglia e l'altra metà nel cilindro graduato, prese a riferimento per presentare i dati (tabelle e grafici) del presente lavoro.
Per chiarire le modalità dell'elaborazione dei dati consideriamo a titolo esemplificativo le misure relative alla goccia 1 indicate nel foglio elettronico citato.
volume V della goccia: applicando la relazione [1] con n = 10 si è ottenuto: $$ V = \left( 0.047 \pm 0.003 \right) mL = \left( 47 \pm 3 \right) mm^3$$
dati da tabulare:
prima colonna: distanza s percorsa dalla goccia;
seconda colonna: tempo t trascorso per coprire tale distanza;
terza colonna: velocità media v della goccia;
calcolo del valore finale della velocità v della goccia (media aritmetica) e della sua incertezza (deviazione standard della media)
Per calcolare la velocità della goccia è sufficiente che lo studente calcoli la pendenza della retta che si può eseguire in due modi:
a) a mano, usando carta millimetrata e corredo scolastico da disegno, riportando gli errori sulle distanze e sui tempi;
b) con il foglio elettronico "legge oraria.xls";
La tabella 1 presenta due tipiche serie di dati di una goccia in caduta nell'olio d'oliva ottenute impiegando i due contenitori e lavorando nelle stesse condizioni sperimentali (stesso liquido, stessa temperatura, più o meno la stessa altezza dei recipienti, stessa densità del corpo sferico, ecc...).
Tabella 1: dati sperimentali misurati su di una goccia in caduta nell'olio d'oliva impiegando i due contenitori
Elaborando i dati con il foglio elettronico "legge oraria.xls" si verifica che la velocità media rimane praticamente costante per tutte le distanze ed i tempi parziali percorsi, in entrambi i casi il moto è quindi rettilineo uniforme. Calcolando la media delle velocità si ottiene: $$ velocita' (bottiglia) = 10.80 \pm 0.05 mm/s;$$ $$velocita' (cilindro) = 8.80 \pm 0.03 mm/s$$ Figura 8 presenta i grafici della posizione in funzione del tempo, che in entrambi i casi mostrano un andamento rettilineo. La pendenza calcolata con la retta interpolante tramite foglio elettronico fornisce le leggi orarie scritte all'interno della figura. Notare che i valori delle velocità sono praticamente coincidenti con quelli deducibili per via analitica a meno di qualche percento.
Figura 8 diretta proporzionalità tra distanze e tempi nella caduta delle gocce nel cilindro e nella bottiglia.
Osservazione
C'è un fatto importante che si nota chiaramente: la velocità della caduta di gocce di pari volume è influenzata solo dalla presenza delle dimensioni del contenitore, cioè dalla quantità di olio che circonda la goccia in caduta.
Un'interessante articolo che analizza questo fenomeno è citato anche nella bibliografia al punto 3).
Se si vuole verificare la legge di Stokes, deve essere allora chiara la spiegazione che occorre dare se qualche studente chiede il motivo per il quale si impiega una bottiglia (di più ampio diametro) anziché un cilindro graduato (di più piccolo diametro):
A parità di condizioni, le gocce che cadono nel cilindro hanno velocità inferiori rispetto a quelle che cadono nella bottiglia perché sono maggiormente influenzate dalle pareti interne del recipiente.
In altre parole, a parità di condizioni, il cilindro graduato che ha un diametro inferiore rispetto a quello della bottiglia, riduce maggiormente la velocità di caduta che la goccia avrebbe se il mezzo fosse "infinito". Questa circostanza, che non è essenziale se si vuole verificare con gli studenti il solo moto rettilineo uniforme, diventa invece molto importante se si desidera verificare la legge di Stokes. La legge, infatti, vale solo se le condizioni al contorno imposte dalle dimensioni del recipiente sono trascurabili; bisogna quindi usare un contenitore il più largo possibile per influenzare il meno possibile la caduta della goccia e, nel nostro caso, dovrà essere necessariamente la bottiglia che è più larga del cilindro.
Una immediata verifica può essere eseguita dal docente, utilizzando un cilindro graduato di vetro da 100 mL (diametro interno di circa 2.5 cm) e una bottiglia di plastica da supermercato contenente acqua (diametro interno pari a circa 8.5 cm) che hanno più o meno la stessa altezza (circa 25 cm). Il grafico di figura 8 è stato proprio ricavato utilizzando questi due recipienti.
Al termine di questo modulo gli studenti dovrebbero elaborare i dati ricavati in classe (tabelle e grafici) e produrre una relazione scritta individuale a casa che il docente dovrebbe valutare, assegnando anche qualche quesito a cui devono dare una risposta.
Alcune domande da proporre preliminarmente agli studenti come compito per casa:
Perché la goccia non accelera come nell’aria?
Quali sono le forze presenti durante la caduta?
Il contenitore potrebbe influenzare la caduta?
Conosci qualche moto di un corpo che non sia laminare?
Legge di Stokes
Durata prevista: 1 - 2 ore al massimo
Qualora il docente desideri presentare anche la legge di Stokes da confrontare con i dati sperimentali degli studenti occorre dedicare almeno un'altra ora di tempo al percorso didattico. Al fine di ottimizzare i tempi della lezione è stato predisposto un secondo foglio elettronico per il docente "legge di Stokes.xls" presente negli allegati. Il presupposto dello svolgimento di questo modulo è l'aver impiegato le bottiglie al posto dei cilindri graduati.
Suggerirei, qualora fosse possibile, di presentare il foglio elettronico a tutta la classe utilizzando un videoproiettore o una lavagna interattiva multimediale.
Il foglio elettronico richiede l'inserimento di alcuni dati riguardanti il corpo sferico ed il fluido e può essere utilizzato anche per altri esperimenti riguardanti la verifica della legge di Stokes. Con i dati già inseriti (vedi più avanti), è possibile presentare subito la legge che governa la velocità istantanea di caduta della goccia in funzione del tempo.
Partirei proprio dalla presentazione del grafico di figura 9, ottenuto usando il foglio "legge di Stokes.xls".
Figura 9: andamento teorico della velocità istantanea di una goccia di $47 mm^3$ che cade nell'olio d'oliva in funzione del tempo di caduta.
Il grafico rappresenta l'andamento teorico della velocità istantanea della nostra goccia d'acqua di riferimento di volume medio $V = 47 mm^3$ che cade in olio d'oliva partendo da ferma. L'ipotesi è che valga la legge di Stokes, cioè che la forza viscosa prodotta dall'olio sia proporzionale alla velocità istantanea v ed al raggio R della goccia (si veda il documento "Approfondimenti.pdf" presente negli allegati per ulteriori chiarimenti).
Il moto della goccia deve essere laminare, cioè la goccia non deve generare vortici o turbolenze lungo il suo percorso all'interno dell'olio.
Per maggior dettagli sul concetto di moto laminare si veda moto laminare.
La goccia raggiunge una velocità limite di poco superiore a 10 mm/s dopo circa un decimo di secondo, un ritardo non misurabile con un cronometro manuale da laboratorio.
Il grafico indica più in generale come varia la velocità istantanea di un corpo sferico all'interno di un fluido viscoso nella fase iniziale di caduta, quando non ha ancora raggiunto il suo valore limite costante. La funzione a due parametri che rappresenta la velocità istantanea è la seguente: $$v = v_L\ \left(1-e^{-t/T}\right)$$
Oltre al parametro $v_L$, abbiamo il parametro T chiamato costante di tempo; esso determina la rapidità con cui la velocità istantanea tende asintoticamente alla velocità limite $v_L$ che, in pratica, è raggiunta dopo un tempo pari a 3÷4 T. Come si calcola la costante di tempo?
Occorre prima di tutto inserire i seguenti valori numerici come dati di "input" nella scheda Stokes del foglio elettronico "legge di Stokes.xls": V = 47 mm$^3$ volume della sfera (goccia di acqua distillata); $\mu$ = 0.084 Pa·s viscosità del fluido (olio d'oliva) $\rho$= 1000 kg/m$^3$ densità della sfera (goccia di acqua distillata) $\rho _0$ = 920 kg/m$^3$ densità del fluido (olio d'oliva).
Il valore della costante di tempo si calcola con la seguente formula (per maggiori informazioni si veda il riferimento 2. della bibliografia): $$T = \frac{\rho V}{6 \pi R \mu}\ \ \ \ \ \ [2]$$ Per maggior dettagli sul concetto di viscosità si veda viscosità. Nel nostro caso la costante di tempo fornisce un valore pari a circa 13 millisecondi, e ciò spiega il motivo per cui il moto della goccia è subito rettilineo uniforme.
In che modo si può giustificare agli studenti dal punto di vista teorico l'esistenza di tale velocità limite? E come si calcola?
La goccia, intesa come corpo sferico, dal momento in cui si stacca dalla superficie libera dell’olio, raggiunge la velocità limite $v_L$ nell'istante in cui il suo peso apparente (peso P ridotto dalla presenza della spinta idrostatica S) eguaglia la forza d’attrito prevista dalla legge di stokes.
Si ha pertanto: $$ P-S = 6 \pi R \mu v_L\ \ \ \ \ \ [3]$$ Da questo istante in poi la goccia mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme con velocità $v_L$ fintanto che non giunge sul fondo del contenitore. Dalla relazione [3] si ricava: $$ v_L = \frac{P-S}{6 \pi R \mu} = \frac{\left( \rho - \rho_0 \right) Vg}{6 \pi R \mu} \ \ \ \ \ \ [4]$$
essendo $g$ l'accelerazione di gravità.
Il foglio elettronico "legge di Stokes.xls", utilizzando le formule [2] e [4] nella scheda Stokes, permette di tracciare il grafico della velocità istantanea teorica durante la fase transitoria di crescita prodotto in automatico nella scheda Grafico Stokes.
Osservazioni:
a) potrebbe essere utile a questo punto sottolineare l'importanza di questa situazione di equilibrio dinamico per riprendere in esame la validità del Principio d'Inerzia in un caso in cui sono presenti le forze d'attrito. La situazione richiama alla mente fenomeni noti agli studenti come la classica caduta della goccia di pioggia a terra, la caduta di un granellino di sabbia nell'acqua o la necessità di consumare benzina per un' automobile che viaggia a velocità costante in un tratto rettilineo.
b) la velocità limite è direttamente proporzionale al quadrato del raggio della goccia, ovvero alla sua sezione trasversale massima. Ciò impone dei limiti alle dimensioni dei corpi sferici da impiegare per la verifica della legge poichè superato un certo raggio subentra una velocità critica durante la caduta che genera delle scie vorticose. In questa circostanza si ha un passaggio dal regime laminare a quello turbolento, e la legge di stokes cessa di valere.
Conoscendo il valore teorico di riferimento per una goccia di dato volume siamo finalmente in grado di verificare se le velocità misurate dai singoli gruppi sono compatibili con questo modello. L'ultima sequenza delle operazioni da eseguire con il foglio "legge di Stokes.xls" è la seguente:
si inseriscono nella terza scheda Dati sperimentali i valori delle velocità misurate da ciascun gruppo (una sola velocità per gruppo) con le relative deviazioni standard (il calcolo delle deviazioni standard è immediato se si impiega il foglio "legge oraria.xls");
nella stessa scheda, si introduce il volume della goccia con il suo errore sperimentale calcolato in base alla relazione (1) che ne fissa l'intervallo di incertezza; sulla base di questa incertezza si ottiene la banda di valori della velocità teorica (banda teorica) all'interno della quale le velocità misurate sono compatibili con la legge di Stokes;
nella quarta e ultima scheda Grafico di confronto si ottiene finalmente il confronto per via grafica tra le velocità misurate dagli studenti e la banda di valori della velocità teorica (figura 10).
Figura 10: Confronto tra la velocità misurata (bottiglia e cilindro) con la velocità minima e massima (tratti orizzontali).
La legge di Stokes è confermata se la velocità misurata si colloca all'interno dei due tratti (banda teorica).
Conclusioni:
Come si deduce dal grafico di figura 10, i dati che soddisfano la legge di Stokes sono quelli che fanno riferimento alla caduta della goccia nella bottiglia e non nel cilindro. La discrepanza è evidente anche se si ripete la prova con un numero inferiore di misure di velocità (numero dei gruppi). E' bene ribadire che il docente può anche optare per l'uso del cilindro graduato, ma in questi casi le gocce prodotte devono avere dimensioni più piccole (volumi ∼ mm$^3$) rispetto a quelle della presente prova sperimentale. L'articolo segnalato nella bibliografia che affronta l'influenza delle dimensioni del contenitore sul moto del corpo sferico in caduta può essere a questo punto consigliato anche come lettura facoltativa.
Come si può notare dall'andamento dei grafici dei dati, la conferma del modello si ottiene solo attraverso una procedura che introduce un confronto di tipo "statistico".
In altre parole, si può ritenere soddisfatta la legge di Stokes se un numero significativo di gocce prese in esame durante la caduta forniscono valori di velocità che nella maggior parte dei casi sono compresi all'interno della banda teorica, tenendo conto delle incertezze ad essi associate. Da questo punto di vista la bontà del lavoro di tutti i gruppi è determinante per la verifica stessa; non solo, ma il confronto immediato con il valore della velocità teorica attesa, permette anche di capire come ogni gruppo ha operato in relazione agli altri. Chiaramente il lavoro di gruppo è solo un modo per avere più dati da confrontare. Si può anche lavorare senza suddividere la classe in gruppi e far cadere più volte la goccia nello stesso contenitore attraverso una lezione puramente frontale, ma le finalità dell'esperienza in quest'ultimo caso sarebbero più impoverite.
Qualora il docente, tenuto conto dell'interesse dimostrato dagli studenti, avesse intenzione di integrare la presente proposta allargando l'analisi della caduta di un corpo sferico in altri mezzi viscosi per i quali continui a valere la legge di Stokes, può proporre la visione della simulazione presentata al punto 1. della bibliografia. La simulazione richiede di avere Java sul computer (per scaricare Java clicca Java).
George Gabriel Stokes nasce a Skreen, nella contea di Sligo, in Irlanda. Nel 1832 Stokes lascia Skreen per recarsi a Dublino dove frequenta per un triennio una scuola locale. Nel 1835 Stokes si iscrive al Bristol College in Inghilterra, dove trascorre due anni di studi durante i quali inizia ad apprendere la matematica con Francis Newman. Nel 1837 Stokes entra al Pembroke College di Cambridge; in questo periodo è seguito da William Hopkins, che capisce il talento del ragazzo e lo indirizza verso studi più approfonditi della matematica e della fisica, in particolare dell’idrodinamica. Nel 1842 Stokes pubblica i primi lavori sul moto dei fluidi incomprimibili. Nel 1849 compare un lavoro di geodesia: On the variation of gravity at the surface of the earth, nel quale studia la variazione della forza di gravità sulla Terra a partire dallostudio del comportamento dinamico di un pendolo in un fluido.George Gabriel StokesE’ di quest’anno la nomina a Professore Lucasiano di Matematica a Cambridge. Nel 1851 diventa membro della Royal Society. In quest’anno scrive un lavoro fondamentale d’idrodinamica nel quale scopre la legge che porta il suo nome riguardante il moto di corpi sferici nei fluidi.
Nel 1852, Stokes fornisce una sua interpretazione del fenomeno della fluorescenza; due anni dopo spiega le righe di Fraunhofer dello spettro solare attraverso l’assorbimento atomico della corona solare.
Il 1857, l’anno del suo matrimonio con Mary Susanna Robinson, segna una svolta nella sua carriera di teorico. I suoi studi futuri, infatti, saranno più orientati verso attività sperimentali e volti a ricoprire incarichi di tipo amministrativo. Egli divenne segretario della Royal Society dal 1854 fino al 1885, anno in cui fu eletto presidente. Quest’ultimo incarico lo accompagnerà fino al 1890.
