Questa esperienza sfrutta la piastra rotante (vedi esperimento 99-Fisica) per costruire un modello matematico di un fenomeno relativamente complesso: una sfera (palla) tenuta ferma da un ostacolo sulla piastra in rotazione, comincia a rotolare quando la velocità di rotazione è abbastanza elevata. Lo studente deve costruire un modello matematico che tiene conto dell'effetto della gravità e della forza centrifuga. Il modello viene poi verificato sperimentalmente.
Scheda sintetica delle attività
Gli studenti devono procurarsi una piastra rotante come nell'Esperimento 99-Fisica e fissare un ostacolo costituito da un anello di filo a sezione circolare concentrico con la piastra centrato nel centro della piastra.
Si appoggia all'ostacolo una pallina di raggio opportuno (coerente con la struttura) e si osserva come aumentando la velocità la pallina ad un tratto supera l'ostacolo e rotola via.
Osservazioni qualitative servono come raggio della palla, diametro del filo, distanza della palla dal centro abbiano effetto sulla velocità di rotazione necessaria a far muovere la pallina.
Si prendono tutte le misure strumentali necessarie ai calcoli successivi (raggio del cerchietto rispetto al centro piastra, raggio del cerchietto, massa della pallina, raggio della pallina, sensibilità strumentali).
Quindi si fa ruotare la piastra, muovendo la manopola del potenziometro, a velocità man mano crescenti.
Quando la pallina esce dal confine dell'ostacolo si cessa di muovere la manopola del potenziometro, e si effettua la misura della velocità lineare della piastra e della (% di) differenza di potenziale necessaria ad innescare il moto centrifugo .
Infine, utilizzando le formule sotto citate, si ricava la velocità angolare della piastra in relazione alla distanza dal centro a cui si è posto l'ostacolo.
Si chiede agli studenti di costruire un modello matematico del fenomeno e di mettere in relazione la teoria con l'esperimento.
Risorse necessarie
Una piastra rotante come descritta nell'esperimento 99-Fisica;
in alternativa si possono usare altri piani rotanti (ad esempio il piano di una giostra), la cosa importante è che sia possibile variare in modo continuo e controllato la velocità e sia possibile misurare la velocità di rotazione;
fili (cavi) a sezione circolare da utilizzare per costruire gli ostacoli; la sezione circolare semplifica il modello matematico da utilizzare; possono essere di materiali diversi e facilmente reperibili: fil di ferro, cavo elettrico, tubicini di plastica;
una o più palline di diverso materiale e diversi diametri: ad esempio di plastica come quella utilizzata nel video (ha raggio circa 35 [mm]), o in alternativa palline per Geomag, o di polistirolo;
gommine adesive o in alternativa scotch o colla o viti per fissare l'ostacolo alla piastra;
calibro (decimale o ventesimale) per la misura di sezioni e distanze;
squadrette o metri per misurare distanze lunghe;
PC e una conoscenza di base dell'impiego dei fogli elettronici (Excel o Calc) per l'analisi dei dati.
Prerequisiti necessari
Principali caratteristiche del moto circolare: velocità lineare e angolare, accelerazione e forza centripeta;
caratteristiche dei sistemi di riferimenti non inerziali: forze apparenti, e la forza centrifuga in particolare;
momenti delle forze (gravitazionale e centrifuga);
nozioni di trigonometria (in particolare per i triangoli rettangoli):
proporzionalità diretta e inversa tra grandezze;
saper usare un calibro (decimale oppure ventesimale);
saper usare/montare il tachimetro (/odometro);
saper trattare dati sperimentali e incertezze di misura.
Obiettivi di apprendimento
Riconoscere l'effetto della forza centrifuga;
calcolo di momenti di forze in una situazione non banale;
costruire un modello matematico di un sistema reale;
selezionare le variabili rilevanti per il modello;
verifica di dipendenze tra grandezze;
utilizzare un approccio statistico alla stima delle incertezze di misura (metodo MonteCarlo) utile nel caso di relazioni complesse tra parametri.
Dotazioni di sicurezza
Adeguate all'uso (molto limitato) della corrente elettrica.
Svolgimento
Scopo
Lo scopo dell'esperienza è osservare l'effetto della forza centrifuga su una sfera messa in equilibrio su una piastra rotante, costruire un modello matematico che spiega l'effetto osservato e verificare il modello teorico.
Montaggio e osservazioni preliminari
Figura 1 mostra lo schema di montaggio: si dispone un ostacolo in forma di anello di raggio $R_o$, costituito da un filo di diametro $2r$, si poggia una sfera di raggio $R$R a contatto con l'ostacolo e si mette in rotazione la piastra.
Figura 1: schema dell'esperimento
Suggeriamo di procedere inizialmente con l'osservazione qualitativa: si monta il sistema usando un adesivo per montare l'ostacolo, come mostrato in figura 2; se ne possono montare diversi a distanza diversa, non è necessario che siano cerchi completi, basta che siano archi di circonferenza centrati sull'asse di rotazione).
Figura 2: esempio di montaggio di ostacoli
Domande: da quali parametri dipende la velocità di rotazione della piastra necessaria a far sì che la sfera superi l'ostacolo?
a parità di $R$ la velocità di rotazione decresce aumentando $R_o$;
a parità di $R_o$ la velocità di rotazione decresce aumentando $R$;
a parità di $R$ e $R_o$ la velocità di rotazione cresce aumentando $r$;
E' utile discutere situazioni limite, ad esempio:
cosa ti aspetti che succeda per $r=R$? (Risposta: non è possibile far saltare la sfera anche per velocità infinita)
cosa ti aspetti succeda se l'ostacolo è disposto in modo che il centro della sfera si trovi sull'asse di rotazione? (Risposta: come sopra)
la velocità alla quale la sfera si muove dipende dalla sua massa? (Risposta: per rispondere serve il modello!)
2. Costruiamo il modello matematico.
Per costruire un modello è necessario selezionare le variabili rilevanti: sono la distanza della sfera dall'asse di rotazione, il diametro dell'ostacolo, il raggio della sfera. Ovviamente il modello matematico dipende da come scegliamo le variabili. Nel seguito abbiamo deciso di definire:
$d$ è la distanza del centro della sfera dall'asse di rotazione;
$r$ è il raggio dell'ostacolo;
$R$ è il raggio della sfera.
Lo schema del sistema è mostrato nella figura 3.
Figura 3: schema utilizzato per il modello matematico
Le forze attive agenti sono (figura 4): la forza peso verticale, pari a $mg$; la forza centrifuga orizzontale e pari a $m\omega ^2 d$.
Figura 4: forze attive agenti e loro geometria
La pallina inizia a ruotare intorno al punto P di contatto tra sfera e ostacolo, quando il momento della forza centrifuga rispetto a P uguaglia il momento della forza di gravità, sempre rispetto al punto P: $$ M_{centrifugo}=M_{peso} \Longrightarrow m\omega ^2d \cdot R sen\theta = mg \cdot R cos \theta\ \ \ \ \ \ [1]$$ Con riferimento alla figura 4 risulta: $$sen \theta = \frac{R-r}{R+r}; \hspace{1 cm} cos \theta = \sqrt{1-sen^2 \theta} = \frac{2 \sqrt{Rr}}{R+r}$$ Sostituendo i valori di $sen \theta$ e $cos \theta$ nella relazione [1] si ottiene: $$ \omega = \sqrt{\frac{2g \sqrt{Rr}}{d\left(R-r \right)}}$$
Questa è la velocità angolare minima che fa muovere la pallina E' bene verificare come il modello proposto si comporta rispetto alle osservazioni fatte e in base a quello che ci si aspetta (vedi discussione alla fine del paragrafo precedente):
se $R$ aumenta $\omega$ diminuisce;
se $r$ diminuisce diminuisce;
se $d$ cresce diminuisce;
$ \lim_{r \rightarrow R} \omega = \infty$;
$ \lim_{d\rightarrow 0} \omega = \infty$;
la velocità limite non dipende dalla massa della pallina.
3. Misuriamo.
Si monta il sistema: abbiamo individuato le variabili principali da cui dipende il fenomeno, quindi misuriamo R ed r; d si può misurare o calcolare usando R e Ro (il raggio del cerchietto).
Gli studenti pongono poi in rotazione la piastra, a velocità variabili e crescenti, per la verifica delle ipotesi formulate: quando la pallina esce dal cerchietto allontanandosi dal centro non si tocca più la manopola del potenziometro e si misura la velocità della piastra. Si può discutere il modo migliore di fare la misura: osservando l'odometro si potrebbe verificare che, una volta che la pallina si muove, la velocità varia, in questo caso potrebbe essere meglio registrare la velocità corrispondente al momento del moto. Per ridurre l'incertezza è consigliabile (tempi di lezione permettendo) raccogliere diverse misure (4-5 misure è sufficiente) della velocità critica. In questo caso si utilizza la velocità media $\bar{v}$. L'errore su $\bar{v}$ è la deviazione standard della distribuzione diviso per la radice quadrata del numero di osservazioni: $$\frac{\sigma_{\bar{v}}}{\sqrt{N}}$$ Le sorgenti di errore sistematico sono molte quindi non ha molto senso fare più di 4-5 misure: l'errore statistico sulla velocità media si ridurrebbe ma rimarrebbero gli errori sistematici.
La velocità angolare si calcola come: $$\omega = \frac{\bar{v}}{R_m}$$ dove $R_m$ è il raggio utilizzato per tarare il tachimetro. E' visibile il video dell'esperimento in funzione al canale https://youtu.be/B4JQ2MQX5EI di Youtube.
4. Confrontiamo i dati sperimentali con i valori calcolati usando il modello.
In tabella 1 sono mostrati i risultati di alcune misure realizzate con diversi ostacoli.
Tabella 1: valori delle velocità angolare calcolata $\omega_{th}$ e misurata $\omega_{exp}$ per diversi ostacoli e loro confronto.
I dati in tabella mostrano che i valori ottenuti sperimentalmente e quelli calcolati a partire dalla geometria sperimentale usando il modello matematico su esposto sono in accordo entro $2\sigma$, nel caso del cavo e del filo; più marcata è la differenza tra teoria ed esperimento nel caso della plastica, leggermente superiore a $3 \sigma$.
Il metodo MonteCarlo e la valutazione degli errori
Per confrontare in modo quantitativo i dati sperimentali ottenuti con le previsioni è necessario considerare in modo appropriato gli errori di misura. Tuttavia l'espressione matematica ottenuta (equazione 1) è piuttosto complessa da trattare (le regole di propagazione degli errori richiedono l'impiego di derivate parziali).
Possiamo però utilizzare un metodo statistico noto come Metodo MonteCarlo (MC) (ad esempio vedi: Wikipedia) che ci permette di valutare le incertezze in modo relativamente semplice e intuitivo utilizzando un foglio elettronico.
L'errore (o incertezza) nella misura (diretta o indiretta) di una grandezza è definita come la deviazione standard della distribuzione dei valori della misura. Se abbiamo una misura indiretta la grandezza può dipendere da una funzione complessa di grandezze misurate direttamente. Il principio del metodo MC è il seguente:
1. per ognuno dei parametri che intervengono nella definizione della grandezza indiretta viene simulata una distribuzione di valori con valore atteso eguale al valore misurato (in questo caso R, r, d) e deviazione standard uguale all'errore stimato sul parametro.
2. Scegliendo a caso i valori dei parametri dalle rispettive distribuzioni, si costruisce una distribuzione di possibili valori della grandezza.
Si ottiene cosi una distribuzione dei valori della grandezza derivata. Il valore medio di questa distribuzione sarà molto vicino al valore calcolato usando i valori medi dei parametri (altrimenti c'è qualche errore di calcolo), la deviazione standard della distribuzione sarà una stima ragionevole della deviazione standard che si otterrebbe applicando le regole di propagazione degli errori.
Nel foglio elettronico allegato abbiamo implementato il metodo per il calcolo degli errori e ottenuto i dati in tabella 1.
Dato un set di parametri sperimentali $R_{exp}, r_{exp}$ e $d_{exp}$ con gli errori standard corrispondenti, il foglio calcola un set di circa 500 valori (per ciascuno dei parametri) distribuiti con distribuzione normale con media eguale al valore sperimentale e deviazione standard pari all'errore associato al parametro. Per ognuna delle estrazioni calcola un valore di $\omega_{theo}$. Abbiamo quindi una distribuzione di possibili valori di velocità angolari, il cui valore medio $\bar{\omega}_{theo}$ è molto simile al valore ottenuto usando nella eq. [1] i valori $R_{exp}, r_{exp}$ e $d_{exp}$. La deviazione standard della distribuzione rappresenta una stima dell'incertezza standard sul valore di $\omega_{theo}$.
Confrontando le differenze tra valori misurati e valori dati dal modello (tabella 1) si può valutare la bontà del modello: differenze entro una deviazione standard indicano un buon accordo tra modello e realizzazione. Tuttavia differenze maggiori di sigma non sono necessariamente indici di errore: nel caso di una distribuzione normale il 30% dei risultati di un esperimento differisce dal valore vero (in positivo o negativo) più di una deviazione standard.
Differenze entro 2 sigma sono sicuramente accettabili, probabilmente ripetendo le misure si potrebbe ottenere un accordo maggiore. Nel caso di una distribuzione normale solo il 5% dei risultati di un esperimento differisce dal valore vero (in positivo o negativo) più di circa 2 deviazioni standard.
Differenze oltre 2 deviazioni standard (ad esempio il caso del filo di plastica) suggeriscono errori importanti, ad esempio nella realizzazione dell'esperimento o nella misura dei parametri, etc...
Se ripetendo in modo più accurato le misure l'accordo non migliora, presumibilmente c'è necessità di migliorare il modello tenendo conto di altri fenomeni (attriti, deformazioni etc...).
Il file EXCEL fornito può essere modificato per calcolare gli errori di misura in altri casi.
Note e storia
Ringrazio il Prof. Carlo Meneghini per il fondamentale supporto ai contenuti dell'articolo.
Bibliografia
Utilizzare i testi scolastici per le leggi fisiche coinvolte (moto circolare uniforme, equilibrio, etc...)
Per insistere sulla necessità di trattenere un corpo su una traiettoria circolare mediante una forza centripeta: dall'archivio dei Giochi Anacleto l'esperimento proposto nel 2008 (rotazione di un oggetto attaccato ad una corda).
Per esperienze simili, riguardanti il moto circolare: Giovanni Pezzi "Un po' di fisica con un vecchio giradischi" La Fisica nella scuola ottobre-dicembre 2014.
Il metodo MonteCarlo è ben descritto su Wikipedia: wiki/Metodo_Monte_Carlo o sulla Treccani (metodo-montecarlo) in particolare in fondo sono riportati esempi di applicazione al calcolo di aree e integrali definiti. Una breve descrizione dell'applicazione con un foglio elettronico si trova anche qui Excel-MC
L'esperimento 8-Fisica tratta in modo estensivo il calcolo degli errori con il metodo MonteCarlo.
