Si vuole studiare la caduta di un piccolo magnete in un tubo verticale di materiale non magnetico. Il tempo di caduta del magnete cambia a seconda che il tubo sia di materiale conduttore o isolante: se il materiale è isolante il magnete cade in caduta libera (a parte l'attrito dell'aria), mentre se lo stesso magnete viene fatto cadere (dalla stessa altezza) all’interno di un tubo di alluminio o di rame viene frenato da una forza di "attrito" dovuta alle correnti indotte. Le misure possono essere realizzate con strumentazione semplice (cronometro, video del cellulare) o più sofisticata (sistema di acquisizione dati realizzato con Arduino) e forniscono lo spunto per discutere in modo quantitativo di induzione elettromagnetica.

Si forniscono diversi tubi di materiali differenti (possibilmente con lo stesso diametro interno e stesso spessore delle pareti) e si mostra come un magnete impiega molto più tempo per cadere all'interno di un tubo di alluminio (o di rame) rispetto a un tubo di plastica della stessa lunghezza. 

Si chiede di ragionare sui motivi che possono produrre il fenomeno confrontando tubi di materiali differenti, sezioni differenti, etc... Anche da un'indagine qualitativa le differenze sono evidenti nei tempi di caduta.

Possono essere chiamati in causa i seguenti parametri:

Si passa alla fase di misure, anche stimolando gli studenti a scegliere tra diverse alternative per individuare i parametri rilevanti. 

Nessuna.

Si fissa il tubo in posizione verticale e vi si lascia cadere dentro il magnete cilindrico. Per studiare la caduta da altezze diverse si blocca il magnete dentro il tubo appoggiando il secondo magnete all’altezza voluta fuori dal tubo, per poi allontanarlo rapidamente.

Ad esempio si possono utilizzare le altezze $80,\, 70, \,60, \, 50, \, 40, \, 30, \, 20, \, 10$ e $5\, cm$. Per ogni altezza si misura almeno tre volte il tempo di caduta. L’altezza di caduta è $h$, l’incertezza sulle sue misure è $\Delta h$, il tempo medio di caduta per tre successive prove $t$, la semidispersione massima di queste misure $\Delta t$, la velocità media e la sua incertezza rispettivamente $v$ e $\Delta v$. Essendo $v=h/t$, risulta $$\Delta v = v \sqrt{\left(\dfrac{\Delta h}{h}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta t}{t}\right)^2} \, .$$

Si osserva che dopo, una fase iniziale transitoria, la legge sperimentalmente determinata è quella di un moto rettilineo uniforme, con velocità $v=\left(14.0 \pm 0.4\right)\, cm/s$. Per ottenere questo valore, abbiamo utilizzato una media pesata degli ultimi 5 valori di velocità. L'andamento è rappresentato in figura 1.

Verificheremo a posteriori che la velocità limite viene in effetti raggiunta abbastanza rapidamente.

Questa volta si fa cadere un “pacchetto” costituito dal magnete a cui è aggiunto un pezzo di ottone: il “pacchetto” cadrà a terra impiegando, a parità di altezza di partenza, un tempo minore rispetto al caso precedente. Ci si propone di indagare la relazione tra la massa “portata” dal magnetino e la sua velocità di caduta all’interno del tubo metallico. Si può misurare il tempo di caduta con masse diverse, aggiungendo più cilindri di ottone al "pacchetto".

Per esplorare la dipendenza della velocità limite dalla massa il magnete è stato lasciato cadere sempre da un’altezza di $80 \, cm$, gravandolo via via con segmenti di tondino d’ottone. Anche in questo caso sono state prese tre misure per ogni caduta entro il tubo. Ci si propone di indagare la relazione tra la massa “portata” dal magnetino e la sua velocità di caduta all’interno del tubo metallico.

Si ottengono dati come quelli riportati in tabella:

La caduta del magnete nel tubo è rallentata da una forza che si oppone al moto. Tale forza ha origine nel processo di induzione elettromagnetica che avviene quando il flusso del campo magnetico (generato dal magnete) attraverso le diverse sezioni del tubo cambia nel tempo (proprio a causa della caduta del magnete). Tale forza può essere modellizzata come una forza di resistenza al moto, proporzionale alla velocità del magnete, come rappresentato in figura 2:

Ci proponiamo di verificare a posteriori, tramite l'analisi dei dati sperimentali, la bontà di questa descrizione.
In presenza di tale forza, la legge del moto per il magnete può essere ricavata a partire da
$$ F = ma = m\dfrac{dv}{dt} = mg - kv \, .$$
Poiché la forza agente sul magnete varia con la velocità, la velocità stessa deve cambiare nel tempo. La soluzione di questa equazione per la velocità $v(t)$ è data da
$$ v(t) = \dfrac{mg}{k} \big( 1 - \textrm{e}^{-\frac{k}{m}t} \big) = g\tau  \big( 1 - \textrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \big)  \, , $$
dove abbiamo introdotto $\tau = m/k$, detta "costante di tempo" del sistema. Cerchiamo di comprendere meglio il moto del sistema e il significato di questo parametro nella seguente discussione.

All'inizio della caduta la velocità è nulla, pertanto anche la forza resistente parte da un valore nullo, per iniziare a crescere man mano che la velocità aumenta, a causa della presenza della forza peso. Quando il valore della forza resistente eguaglia quello (costante) della forza peso, la forza totale sul magnete è nulla e da quel momento esso si muove di moto rettilineo uniforme. Quando la velocità raggiunge questo "valore limite", si ha:
$$ mg - kv_{lim} = 0 \longleftrightarrow v_{lim} = \dfrac{mg}{k} = g\tau \, . $$

Come si vede dall'espressione precedente per $v(t)$, per tempi $t$ molto più grandi di $\tau$ il termine esponenziale diventa trascurabilmente piccolo e $v(t)=g\tau = v_{lim}$. Per questo il parametro $\tau = m/k$ rappresenta la scala di tempo necessaria a raggiungere un valore stazionario di velocità. Quando il tempo $t$ è superiore a $t_{lim} \sim 4.6 \cdot \tau$, il termine esponenziale è più piccolo di $0.01$ e generalmente può essere considerato "trascurabile" (rispetto a $1$).

Procediamo ora a ricavare dai dati raccolti una stima di $k$ e a verificare che in effetti la "velocità limite" viene raggiunta in tempi molto rapidi dal magnete del nostro esperimento.

Con i dati della tabella 2 possiamo ricavare varie stime di $k$ per le differenti masse, utilizzando la relazione $k = \large{\frac{mg}{v_{lim}}}$. Una media pesata dei valori ottenuti, riportati in tabella 2, fornisce:
$$ k = \left ( 0.153 \pm 0.001 \right) \, kg/s \, .$$
In alternativa, possiamo realizzare un grafico di $mg$ in funzione di $v_{lim}$ per ottenere una stima di $k$ da un fit lineare. I relativi dati sono riportati nel grafico di figura 3, assieme alla retta di regressione lineare.

Poiché $mg = kv_{lim}$ è una funzione lineare di $v_{lim}$ con coefficiente angolare pari a $k$ e intercetta zero, dai valori della retta di regressione ricaviamo:
$$ k = \left( 0.152 \pm 0.005 \right) \, kg/s \, ,$$
in accordo con la stima precedente. Anche il valore dell'intercetta è compatibile con zero.

Il parametro $k$, tuttavia, non ci dà molte informazioni sulla tempistica del comportamento del sistema. Più interessante è ricavare la costante di tempo $\tau$ (tabella 3).

Come si vede, almeno nel caso del singolo magnete (con nessun cilindro di ottone addizionale), la costante di tempo è molto piccola rispetto al tempo di caduta (dati di Tab. 1), e possiamo quindi giustificare a posteriori l'identificazione della velocità di caduta con la velocità limite per le altezze più elevate: in quel caso, infatti, la maggior parte del percorso viene svolto alla velocità limite, che non differirà apprezzabilmente, ai fini pratici, dalla velocità media misurata nella caduta.

Nel documento in allegato è descritto un procedimento avanzato per eseguire lo stesso esperimento, che consente di ottenere una accuratezza migliore. Esso richiede l'utilizzo di una scheda Arduino e di altri componenti elettronici. 

L’idea per l’elaborazione di questo esperimento è tratto da una prova EUSO.
La stessa situazione fisica, con dati simili, è stata proposta come Simulazione della Seconda Prova di Fisica per l'Esame di Stato del Liceo Scientifico, nel Gennaio 2017.

Petitto Maria Concetta