Misura della densità di una sostanza solida attraverso le misure della massa e del volume di diversi campioni della stessa sostanza.
Scheda sintetica delle attività
Misura delle masse con bilancia analitica;
misura dei volumi tramite immersione, per differenza tra volume finale e iniziale dell'acqua contenuta in un cilindro di vetro graduato;
elaborazione dei dati raccolti e realizzazione del grafico massa vs volume;
confronto con valori noti di densità per identificare la sostanza.
Risorse necessarie
Alcuni (minimo 5) campioni metallici di massa e volume diversi;
bilancia analitica;
cilindro di vetro graduato (riempito con acqua di rubinetto);
asta di sostegno verticale con gancio e filo.
Figura 1: strumentazione necessaria.
Prerequisiti necessari
Conoscenza delle grandezze densità, massa e volume;
conoscenza degli strumenti di misura e delle loro caratteristiche;
errori di misura su misure dirette e indirette;
legge di proporzionalità diretta;
rappresentazione grafica dei dati sperimentali.
Obiettivi di apprendimento
Acquisire confidenza con gli strumenti di misura e con la lettura del risultato di una misura;
acquisire confidenza con la rappresentazione grafica di dati sperimentali;
eseguire un fit lineare (eventualmente tramite l'utilizzo di un foglio di calcolo).
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Per prima cosa, si determina la sensibilità (e la portata) degli strumenti a disposizione.
Realizzazione delle misure
Si misurano le masse dei campioni con la bilancia analitica, assumendo come errore assoluto la sensibilità della bilancia (tipicamente $\Delta m = 0.01\,g$).
Successivamente, si riempie di acqua il cilindro graduato, fino a un certo livello; il corrispondente valore rappresenta il volume iniziale dell’acqua ($V_i$). Di seguito, dopo averli legati col filo collegato al gancio dell’asta verticale, si immergono nel cilindro, uno alla volta, i campioni; il livello dell’acqua aumenta fino un nuovo valore che rappresenta, per ciascun campione, il volume finale dell’acqua ($V_f$); il volume di acqua spostata ($V=V_f-V_i$) equivale al volume del campione immerso. Tale misura viene riportata in $cm^3$ ($1\,ml=1\,cm^3$).
Trattandosi di una classe prima, l' errore di misura viene assunto pari alla somma degli errori assoluti sui volumi finale e iniziale, $\Delta V_f$ e $\Delta V_i$, cioè $\Delta V = 0.2\,cm^3$.
Costruzione di una tabella dei dati raccolti
I dati raccolti vengono organizzati in una tabella, composta dalle seguenti colonne per ogni campione:
Valore misurato della massa $m$, espresso in $g$.
Errore assoluto sulla massa $\Delta m$, pari alla sensibilità della bilancia, espresso in $g$.
Errore relativo sulla massa, $E_m=\frac{\Delta m}{m}$.
Valore misurato del volume $V=V_f-V_i$, espresso in $cm^3$.
Errore assoluto sul volume $\Delta V$, espresso in $cm^3$.
Errore relativo sul volume, $E_V=\frac{\Delta V}{V}$.
Valore della densità $d$, ottenuto dai valori misurati di massa e volume come $d=\frac{m}{V}$, espresso in $g/cm^3$.
Errore sulla densità, ottenuto dalla propagazione degli errori:
In tabella è riportato un esempio di misure: Tabella 1: set di dati di esempio.
Si osserva che i valori ottenuti per la densità non sono tra di loro compatibili, segno evidente che gli errori (in particolare quello sul volume) sono stati sottovalutati. Pertanto non è possibile ricavare la densità come media pesata dei valori di densità ottenuti : $$\bar{d}=\dfrac{\sum_i \dfrac{d_i}{(\Delta d_i)^2}}{\sum_i \dfrac{1}{(\Delta d_i)^2}} \, .$$
con un'errore dato da: $$\Delta \bar{d}=\dfrac{1}{\sqrt{\sum_i \dfrac{1}{(\Delta d_i)^2}}} \, .$$
Si assume quindi come valore della densità la media dei valori ottenuti e come errore la deviazione standard degli stessi: $$\bar{d}= 2,80 \pm 0,04$$
Costruzione del grafico dei dati raccolti
Alternativamente si possono riportare i dati raccolti su un piano cartesiano, con la massa sull'asse verticale e il volume su quello orizzontale. Essendo le incertezze relative sulle masse trascurabili rispetto a quelle sui volumi (tabella 1), sarebbe più opportuno utilizzare la variabile "massa" come variabile indipendente e il "volume" come variabile dipendente. Tuttavia, per una classe alle prime esperienze di laboratorio è opportuno prevede una analisi dati molto semplice, e quindi realizzare il grafico con i volumi sull'asse orizzontale e le masse su quello verticale, in modo da ottenere la densità come pendenza della retta ottenuta da un fit lineare. Nel caso si utilizzasse la massa come variabile indipendente, la densità sarebbe il reciproco del coefficiente angolare della retta di interpolazione dei dati.
La proporzionalità tra massa e volume risulta evidente dal grafico.
Figura 2: rappresentazione grafica dei dati della tabella 1. Con i dati riportati nella tabella precedente, utilizzando un foglio di calcolo elettronico si ottiene l'equazione della retta che interpola i dati, la cui pendenza è la densità cercata; si ottiene così $ \bar{d} = \left( 2.76 \pm 0.07 \right) \, g/cm^3 ,$ valore compatibile con il precedente.
Notare anche che il valore dell'intercetta ottenuto è $q=\left( 0.17 \pm 0.36 \right) \, g$, compatibile con il valore zero, come del resto ci si attende dalla relazione tra massa e volume.
Analisi del risultato
Gli obiettivi stabiliti sono stati conseguiti, infatti:
È stata ottenuta la misura della densità del metallo. Il valore ottenuto suggerisce che possa trattarsi di una lega di alluminio, essendo il valore ottenuto prossimo a quello dell' alluminio $d_{Al}= 2.7 g/cm^3$.
La massa e il volume dei campioni della stessa sostanza sono direttamente proporzionali tra loro, essendo il loro rapporto costante, pari proprio alla densità.
Autori
Aprile Silvana Moriello Raffaella Ciaramella Paolo Pannitti Rosalia
