Avvicinando un magnete ad una bussola l'ago cambia direzione e tende ad orientarsi nella direzione del campo magnetico del magnete. Studiando la deviazione dell'ago della bussola in funzione della posizione del magnete si possono ricavare informazioni quantitative sul campo magnetico prodotto dal magnete

Si posiziona una bussola nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano e si avvicina progressivamente un magnete orientato perpendicolarmente all'ago della bussola. Man mano che si avvicina il magnete l'ago della bussola devia sempre di più dal nord magnetico orientandosi lungo il campo magnetico del magnete. Si prende nota dell'angolo di deviazione θ in funzione della distanza x del magnete. L'esperimento è condotto in modalità esplorativa: si vuole individuare la legge che determina l'andamento del campo magnetico in funzione della distanza, piuttosto che verificarla.

Nessuna

Se si avvicina un magnete ad una bussola l'ago comincia a deviare dal Nord e ad allinearsi con il magnete. L'effetto aumenta man mano che si avvicina il magnete. L'equilibrio dell'ago magnetico deriva dall'equilibrio dei momenti delle forze dovute al campo magnetico terrestre \(B_T\) e al campo magnetico del magnete \(B_M\) (figura 1). 
Cosa posso imparare dalla misura della deviazione dell'ago della bussola in funzione della distanza del magnete?

Si posiziona una bussola nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano facendo in modo che il Nord sia lungo l'asse delle Y. Avviciniamo un magnete orientato con la direzione NS lungo l'asse X, possiamo vedere che l'ago magnetico devia dal Nord, sempre di più man mano che il magnete si avvicina.

E' importante che il sistema sia montato lontano da materiali ferromagnetici, ad esempio i supporti del banco, viti, altri oggetti metallici.

Notiamo che basta ruotare di poco il magnete e l'effetto cambia, quindi montare il magnete su una bacchetta permette di mantenerlo allineato. 

Misuriamo il valore dell'angolo θ in funzione della distanza partendo da abbastanza lontano fino a quando l'angolo non diventa 90 deg. (tabella 1 e figura 2).

L'ago magnetico è in equilibrio quando il momento della forza dovuta al campo magnetico terrestre \( \tau_T\) e il momento della forza dovuta al magnete \(\tau_M\)  sono uguali e opposti, quindi si ha \( \tau_T +   \tau_M = 0 \) e deve essere:    
$$ B_T M_a \sin(\theta )  =  B_M M_a \cos(\theta ) $$
dove   \( M_a \) è il momento magnetico dell'ago della bussola. Quindi il campo magnetico \( B_M\) è proporzionale alla tangente dell'angolo θ:
$$ B_M = B_T \tan (\theta) $$

Ipotesi: dal momento che l'angolo di deviazione aumenta riducendo la distanza del magnete,  posso ipotizzare che il campo magnetico del magnete vari in modo inversamente proporzionale alla distanza: $  B_M \propto A x^{-\alpha} $
quindi si deve avere: 
$$  \tan (\theta) = C x^{-\alpha} $$ 

Si tratta quindi di trovare il coefficiente α. Per questo linearizziamo l'espressione precedente usando i logaritmi: 
 $$  \ln \left( \tan (\theta) \right) = \ln C -  \alpha \ln x $$ 

e per $ X = \ln x $ e $Y = \ln   \left( \tan (\theta) \right) $ abbiamo un'equazione lineare il cui coefficiente angolare è proprio \( \alpha \) ovvero il coefficiente che che da la dipendenza del campo magnetico del dipolo in funzione della distanza.

In figura 3 mostriamo il grafico linearizzato e la retta di regressione il cui coefficiente angolare è
$$ \alpha = -3.14 \pm 0.11 $$
L'incertezza sul coefficiente angolare è calcolata usando la funzione regr.lin() di excel (vedi file allegato). Il valore trovato è in buon accordo con l'andamento atteso per il campo magnetico prodotto da un dipolo (la differenza è inferiore a due deviazioni standard):
$$ B_M^{th} = \frac{A}{x^3} $$

Da notare che usando una linearizzazione logaritmica il coefficiente angolare della retta non dipende dalle unità di misura adottate per $x$ (invece il termine noto dipende dalle unità di misura). In particolare si possono usare mm, cm, quadretti del foglio, etc...

e se... Provare a ripetere l'esperimento orientando il magnete in direzione perpendicolare ad x.  

La procedura mostrata ha il vantaggio di condurre l'esperienza in modalità esplorativa: si vuole capire quale è la dipendenza del campo magnetico in funzione della distanza, piuttosto che verificarne l'andamento in base ad una formula studiata. Questo approccio permette ha una importante validità perchè il risultato è una scoperta, un'ipotesi che andrà verificata, ad esempio costruendo un modello matematico per il campo di dipolo (vedi di seguito).

Alcune considerazioni sugli errori di misura. I dati riportati si riferiscono ad un esperimento venuto particolarmente bene, ciononostante il valore ottenuto α=3.14 si discosta dal valore atteso (0.14) più di σ (0.11). Non è raro ottenere valori di α con errori del 10-15%, vedi ad esempio il foglio dipolo_2 del file excel allegato.

A questo punto potrebbe essere utile innanzitutto approfondire la questione del significato dell'errore standard σ ottenuto. Assumendo una distribuzione normale dell'errore la probabilità di discostarsi dal valore vero più di σ (in positivo o negativo) è circa 30%, quindi in una classe non sarà un risultato anomalo. Discostarsi dal valore vero più di 2σ  è un evento più raro (5% di probabilità) ma non rarissimo. Quindi non sarà sorprendente ottenere valori del coefficiente α anche abbastanza diversi (in termini di $\sigma $) da 3. 

Tuttavia avremo spesso errori anche maggiori di 3σ. Per capire come mai possiamo vedere come influiscono gli errori sistematici sulla determinazione di α. Nel foglio dipolo_correzioni del file excel allegato è possibile visualizzare l'effetto  

Piccole variazioni nell'origine degli assi, nell'origine della scala degli angoli, cosi come rotazioni involontarie del magnete possono indurre differenze anche grandi nei risultati. A questo punto non possiamo essere sicuri che la distribuzione delgi errori sistematici sia Normale. Possiamo  ricorrere alla diseguaglianza (o teorema) di Čebyšëv (Wikipedia_Čebyšëv): la probabilità di commettere un errore maggiore di nσ è minore di 1/σ2 In questo caso non è strano osservare anche 10% di risultati che si discostano più di 3σ dal valore atteso.

In fine notiamo che il campo di dipolo, con andamento \( \approx x^{-3} \), è un'approssimazione valida fintanto che la distanza tra i poli è piccola rispetto alla distanza cui viene osservato. Il campo prodotto da un magnete i cui poli sono a distanza d, ha un'espressione analoga a quella del campo elettrico o del campo prodotto da due cariche elettriche opposte a distanza d l'una dall'altra.
Indicando con d la distanza tra i due poli, ogni polo produce un campo inversamente proporzionale al quadrato della distanza, il campo totale a distanza x dal centro del dipolo è:
$$ B_M = \frac{A}{(x+d/2)^2}-  \frac{A}{(x-d/2)^2} $$
Nel foglio Modello del file excel allegato si riportano i valori calcolati in funzione della distanza dal centro del dipolo in unità di x/d.

Si vede (figura 5) che quando le distanze diventano confrontabili con la dimensione del dipolo, l'esponente ottenuto dal fit lineare si discosta sensibilmente da -3 il che può spiegare in parte le discrepanze tra risultati sperimentali e modello matematico.      

Meneghini Carlo