Si ricavano le curve di carica e scarica di un condensatore in un circuito RC, senza l’utilizzo dell’oscilloscopio; il lavoro è integrato dalla risoluzione numerica delle equazioni del circuito, per la quale si propone l'uso del foglio elettronico (in alternativa si può utilizzare qualunque linguaggio di programmazione).
Scheda sintetica delle attività
Costruzione di un circuito RC con un commutatore per analizzare le fasi di carica e scarica del condensatore
Misura della differenza di potenziale ai capi del condensatore e della corrente nel circuito nelle due fasi
Analisi dei dati per ottenere le curve e il tempo caratteristico di carica/scarica del circuito
Risoluzione numerica (mediante foglio elettronico) delle equazioni del circuito
Risorse necessarie
Generatore di d.d.p. continua, di bassa tensione, da utilizzare tipicamente nel range 5-20 V;
un condensatore e un resistore tali che il prodotto RC sia dell’ordine del minuto; valori pratici possono essere, R >50 kΩ, C≈1 mF, o comunque in base al materiale a disposizione;
due tester, uno da utilizzare come amperometro, uno come voltmetro ( è preferibile utilizzare come voltmetro uno strumento digitale);
interruttore/deviatore;
cronometro;
cavi e morsetti di collegamento (oppure basetta per circuiti);
telecamera o altro sistema di ripresa (opzionale);
software da utilizzare per l'analisi dei video (opzionale); si consiglia AVIDEMUX (http://avidemux.sourceforge.net/screenshots.html), che permette la visualizzazione fotogramma per fotogramma con una precisa indicazione dei tempi.
Nota: il resistore deve essere contemporaneamente piccolo rispetto alla resistenza interna Ri del voltmetro, grande rispetto a quella dell'amperometro. Valori indicativi di tali grandezze, in strumenti ordinariamente reperibili sul mercato a prezzo contenuto, sono: per uno strumento digitale: in funzione voltmetro Ri =1-10 MΩ, in funzione amperometro Ri < 50 Ω per uno strumento analogico tali valori dipendono dal fondo scala utilizzato: in funzione voltmetro: Ri ≈2-20 kΩ/V a fondo scala; in funzione amperometro Ri ≈50 - 2000 Ω (il primo valore si riferisce alla scala di massima sensibilità dello strumento); in caso di dubbi, consultare le specifiche dello strumento utilizzato.
Prerequisiti necessari
Nozioni fondamentali sulle grandezze elettriche e sui circuiti;
uso degli strumenti di misura;
uso del foglio elettronico.
Obiettivi di apprendimento
Ottenere sperimentalmente le relazioni che descrivono l'andamento della tensione e della corrente in un processo di carica/scarica di un condensatore e ricavarne il tempo caratteristico;
confrontare la relazione sperimentale ottenuta con la soluzione numerica delle equazioni del circuito.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Realizzazione del circuito
Montare un circuito RC secondo lo schema in figura 1, inserendo l’amperometro in serie a resistore e condensatore, il voltmetro in parallelo al condensatore; è necessario che il condensatore si carichi lentamente, per cui il prodotto RC deve essere dell’ordine del minuto; è sufficiente, e preferibile per questioni di sicurezza, utilizzare il generatore ad una una bassa differenza di potenziale (indicativamente compresa tra 5-20 V). (nell'esperienza riportata nel file Excel RC_ls-osa allegato, si è utilizzato V = 12 V, R = 56 kΩ, C = 1 mF).
Se vi è possibilità di ripetere la misura, oppure se tutti i gruppi dispongono della stessa componentistica, è utile far eseguire l'esperimento a ciascun gruppo usando diversi valori della tensione applicata, in modo da verificare l'indipendenza del tempo di carica/scarica da tale grandezza. Figura 1: schema elettrico del circuito utilizzato
Fase di carica
Chiudere il circuito di carica (posizione 1 del deviatore) e far partire il cronometro.
Ad intervalli inizialmente di 15 s (dopo qualche minuto si può passare a 30 s), misurare il valore della d.d.p. ai capi del condensatore e della corrente nel circuito; proseguire le misure per qualche minuto, fintanto che l’amperometro è in grado di misurare una corrente apprezzabile; la d.d.p. misurata dovrebbe essere a questo punto quasi uguale a quella del generatore; proseguire le misure per qualche minuto, anche quando la d.d.p. sembra essersi stabilizzata; ad es. nel caso dei valori di R e C utilizzati, è opportuno proseguire le misure per almeno 7-8 minuti.
Per eseguire misure ad intervalli di tempo più ravvicinati, in modo da definire con maggior precisione la curva di carica, oppure nel caso l'esperienza sia svolta individualmente, è possibile filmare - è sufficiente una webcam o un cellulare - l'amperometro, il voltmetro e il cronometro, quindi rilevare le misure rivedendo la registrazione.
Fase di scarica
N.B.: Se si utilizza un amperometro analogico sarà necessario invertirne il collegamento (nessun problema invece per il voltmetro in quanto la polarità ai suoi estremi non cambia).
Aprire il circuito di carica, tramite il deviatore (se svolge anche la funzione di interruttore) oppure scollegando il generatore, quindi, dopo aver ricollegato l'amperometro, commutare sul circuito di scarica (posizione 2), facendo ripartire il cronometro; con le stesse modalità utilizzate nella fase di carica, misurare la d.d.p. ai capi del condensatore e la corrente nel circuito.
Se si utilizza un amperometro digitale la misurazione può proseguire senza interruzioni.
È possibile che nella fase di commutazione il condensatore si scarichi leggermente; si può procedere comunque con la seconda parte delle misure, in quanto il dato non è significativo per la valutazione dell'andamento del processo e del tempo caratteristico del circuito.
Analisi dei dati sperimentali
Dopo aver riportato i valori ottenuti in un grafico, anziché calcolare la curva di best fit con Excel, suggerisco di procedere in modo da coinvolgere più significativamente gli studenti.
Partendo dalla fase di scarica, più semplice da parametrizzare, si ipotizza sulla base del grafico ottenuto, una relazione esponenziale del tipo:
$$ V\left(t\right) = V_0 e^{-kt}$$ dove $V_0$ è la d.d.p. del condensatore all'inizio del processo di scarica che, se non vi sono state dispersioni, dovrebbe coincidere, entro gli errori sperimentali, con la d.d.p. del generatore (in caso contrario, utilizzare il valore effettivamente misurato all'inizio della fase di scarica). Conviene riscrivere questa funzione nella forma normalizzata: $$f_s\left( t \right) = \frac{V\left( t \right)}{V_0} = e^{-kt}$$ che consente di confrontare in modo semplice i risultati di esperienze svolte con diversi valori di $V_0$: ci si aspetta infatti che, fissati i valori di R e C, i rapporti V / V0 e, successivamente, I/I0, siano indipendenti dai valori iniziali; in questo modo inoltre si lavora numeri puri, garantendo la correttezza dimensionale dei calcoli richiesti nella successiva elaborazione.
Si calcola e si riporta in un un grafico:
$$lnf_s\left(t\right) = ln \frac{V\left( t \right)}{V_0} = -kt$$
in funzione del tempo; i punti dovrebbero risultare circa allineati lungo una retta la cui pendenza è $$-k = - \frac{1}{\tau}$$ ovvero il reciproco del tempo caratteristico del circuito; si potrà quindi procedere con le consuete modalità utilizzate per studiare le dipendenze lineari.
In modo analogo si procede per studiare l'andamento temporale della corrente, ipotizzando anche in questo caso, sulla base della curva sperimentale ottenuta, una relazione del tipo:
$$ I\left(t\right) = I_0 e^{-ht}$$ normalizzata come: $$g_s\left( t \right) = \frac{I\left( t \right)}{I_0} = e^{-ht}$$ dove $I_0$ è la corrente iniziale; naturalmente ci aspettiamo di trovare $h=k$.
Per la fase di carica ipotizziamo, sulla base del grafico ottenuto e per similarità con il caso precedente, una relazione del tipo: $$V\left( t \right) = V_{max}\left( 1-e^{-kt}\right)$$ dove $V_{max}$ è la d.d.p. raggiunta dal condensatore a fine misura (dovrebbe risultare, entro gli errori sperimentali, uguale alla d.d.p. del generatore $V_0$; normalizzandola e isolando il termine esponenziale deduciamo la funzione:
Si calcola e si riporta in un un grafico la funzione: $$ln f_c\left(t \right) = ln \frac{V_{max}-V\left(t\right)}{V_{max}} =-kt$$ poi si procede come nel caso precedente.
La corrente di scarica si parametrizza nello stesso modo della corrente di carica.
Poiché l’esperimento viene presumibilmente svolto in un periodo in cui gli studenti non hanno ancora affrontato il calcolo differenziale, è interessante affiancare all’esperienza la risoluzione numerica delle equazioni del circuito, in modo da confrontare il risultato sperimentale con la previsione teorica, ricavata sulla base di concetti elementari.
Il procedimento di calcolo è spiegato nel foglio Modello del file Excel RC_ls-osa allegato.
In sintesi, dividiamo il processo di carica/scarica nel circuito in N intervalli di tempo Δt (piccoli rispetto alla durata del processo); supposto di conoscere la carica $Q_n$ presente sul condensatore ad un dato istante, l'incremento di carica dopo un intervallo di tempo Δt si ricava dall’equazione del circuito:
in fase di carica, applicando un generatore di d.d.p. $V_0$ si ha:
$$ \begin{array}{rl}V_0 = \frac{Q_n}{C} + Ri_n\\ \\i_n = \frac{\Delta Q_n}{\Delta t} \end{array} \Longrightarrow V_0 = \frac{Q_n}{C} + R \frac{\Delta Q_n}{\Delta t}$$ da cui si ottiene l'incremento di carica $\Delta Q_n$: $$\Delta Q_n = \frac{1}{R}\left( V_0 - \frac{Q_m}{C}\right) \Delta t$$
in fase di scarica: $$ \begin{array}{rl} 0 = \frac{Q_n}{C} + Ri_n\\ \\i_n = \frac{\Delta Q_n}{\Delta t} \end{array} \Longrightarrow 0 = \frac{Q_n}{C} + R \frac{\Delta Q_n}{\Delta t}$$ da cui si ottiene l'incremento di carica $\Delta Q_n$: $$\Delta Q_n = \frac{1}{R}\left( - \frac{Q_n}{C}\right) \Delta t$$
In entrambi i casi: $$Q_{n+1}=Q_n + \Delta Q_n$$ quindi si procede ricorsivamente.
Nel file allegato il valore della d.d.p. attuale (ovvero in fase di carica/scarica) ai capi del condensatore è calcolato nella colonna F, utilizzando la definizione di capacità: $$V_n = \frac{Q_n}{C}$$ La colonna E e la colonna G riportano rispettivamente la corrente nel circuito e il suo quadrato.
Il valore della corrente è determinato dal rapporto tra la variazione di carica nel tempo Δt e il tempo Δt stesso: $$I_n = \frac{Q_n - Q_{n-1}}{\Delta t} = \frac{\Delta Q_n}{\Delta t}$$ ovvero è la derivazione numerica della funzione che esprime l'andamento di carica.
Il calcolo del quadrato della corrente consente di determinare l’energia dissipata nel resistore nelle due fasi (celle I11 e I13), essendo la potenza "istantanea" dissipata per effetto Joule pari a $W_n = R i_n^2$. L'energia dissipata sotto forma di calore $E_d$ si otterrà calcolando l'energia dissipata nell'intervallo Δt e sommando su tutti gli intervalli, fino a completamento del processo: $$E_d = \sum_{i=1}^N R i_n^2 \Delta t$$ E' possibile così verificare numericamente che questa è praticamente identica all’energia di carica del condensatore (cella I16), calcolata mediante la relazione teorica: $$U = \frac{1}{2}CV_0^2$$ Relativamente alla fase di scarica, il risultato segue intuitivamente da principio di conservazione dell'energia: l'energia accumulata nel condensatore si dissipa completamente in calore per effetto Joule nella resistenza; l'uguaglianza numerica tra i due valori, uno dei quali previsto teoricamente a priori, l'altro ricavato numericamente, è un riscontro della bontà del procedimento utilizzato.
Per quanto concerne la fase di carica, solo il 50% dell'energia erogata dal generatore viene accumulata nel condensatore, il restante 50% è dissipato per effetto Joule; questo può spiegarsi in termini semplici sia in base alla perfetta simmetria tra le correnti di carica e scarica, sia osservando che l'energia del condensatore può scriversi nella forma alternativa: $$U = \frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}Q_{tot}V_0$$ dove $Q_{tot}$ è la carica finale sul condensatore, mentre il lavoro erogato dal generatore, che fornisce la d.d.p. costante V, per spostarela carica $Q_{tot}$ è data da: $$ L_{generatore} = Q_{tot}V_0 = 2U$$. Nella colonna H si calcola infine, per la fase di carica: $$ ln\frac{V_0 - V_n}{V_0}$$ e, per quella di scarica: $$ln \frac{V_n}{V_0}$$ calcolo che consente di “linearizzare” le due curve ottenute, come descritto nella parte di analisi dei dati sperimentali, verificando (numericamente) che si tratta effettivamente di curve esponenziali; i grafici sono riportati nel foglio Grafici dello stesso file.
L'algoritmo proposto consente di risolvere numericamente le equazioni differenziali del circuito, e di effettuare una derivazione e un’integrazione numerica, procedure che risulteranno utili quando questi argomenti verranno affrontati nell’ambito del corso di matematica.
