Determinazione del coefficiente di dilatazione dei gas a pressione costante
Fisica
Classi: 1° biennio
-
Strumentazione di base
Misura o verifica
1 h
Min. 2
persone
Richiede precauzioni
Riassunto / Abstract
L'esperimento consente di determinare in modo semplice il coefficiente di dilatazione dei gas e di verificare l'esistenza dello zero assoluto.
Scheda sintetica delle attività
Si propone una versione semplificata dell'esperimento che verifica la prima legge di Gay Lussac, così articolata:
si determina il volume dell'aria racchiusa in una beuta alle temperature di 100 °C e di 0 °C;
si calcola il valore della costante dei gas;
si verifica graficamente l'esistenza dello zero assoluto.
Risorse necessarie
Una beuta resistente al calore;
un bicchiere pirex piuttosto grande (che contenga la beuta);
un basamento con asta e morsetti per sostenere la beuta;
un bunsen con treppiede e reticella, oppure una piastra elettrica scaldante;
un tappo forato;
un tubicino di vetro;
una bacinella con acqua e ghiaccio in equilibrio termico;
un termometro;
un cilindro graduato da $500\ cm^3$ e risoluzione $5\ cm^3$;
un cilindro graduato da $100\ cm^3$ e risoluzione $1\ cm^3$.
Figura 1: materiale necessario per l'esperimento
Prerequisiti necessari
Leggi di propagazione degli errori nelle misure indirette;
costruzione di grafici (eventualmente utilizzo del foglio elettronico);
dilatazione termica dei materiali.
Obiettivi di apprendimento
Valutare gli errori nelle misure dirette e indirette;
confrontare valori misurati con valori accettati;
usare un foglio elettronico per costruire un grafico.
Dotazioni di sicurezza
Per ragioni di sicurezza, l'esperimento deve essere condotto dall’insegnante in presenza di un tecnico di laboratorio.
Svolgimento
Realizzazione dell'esperimento
Determinare preventivamente il volume dell’aria, riempiendo la beuta di acqua, con il tappo e tubicino inseriti, travasandola poi nel cilindro graduato da $500 cm^3$. Asciugare perfettamente l’interno della beuta (l’aria contenuta al suo interno sostituisce il gas ideale).
La bacinella contenente acqua e ghiaccio in equilibrio termico deve essere abbastanza profonda per immergere completamente la beuta.
Dopo aver inserito l’acqua nel bicchiere di pirex s’immerge quasi completamente la beuta sostenuta dai morsetti, perché non appoggi sul fondo del recipiente e si porta l'acqua ad ebollizione.
Facendo molta attenzione, si chiude il tubicino e, utilizzando il morsetto, si estrae la beuta dall’acqua bollente e la si inserisce capovolta nella bacinella contenente il miscuglio di acqua e ghiaccio (figura 2).
Figura 2: beuta con tubicino tappato durante l'estrazione e il capovolgimento
Aprendo il tubicino, una certa quantità di acqua entra allora nella beuta, in quanto l'aria in essa contenuta si è raffreddata. L’apertura del tubicino può essere effettuata non appena l'estremità è in acqua e quindi non è necessario immergere anche l'avambraccio nel recipiente. In questo modo è possibile usare un recipiente abbastanza piccolo (20 - 25cm di diametro e profondo tanto da immergere completamente la beuta in verticale) e diventa facile lasciare immersa la beuta per un tempo sufficiente a raggiungere l'equilibrio termico, ovvero fino a quando non si osservano variazioni apprezzabili del livello dell'acqua risucchiata. Il termometro garantisce la temperatura di 0 °C tuttavia, considerando che la densità dell'acqua è massima a 4 °C, è possibile ci sia un gradiente termico tra fondo e superficie, se il ghiaccio è poco e mal macinato; sarebbe quindi utile mescolare dolcemente l'acqua durante il processo di raffreddamento.
Richiudendo il tubicino, si estrae la beuta.
Durante questa operazione è necessario considerare l’effetto della pressione idrostatica (e, eventualmente stimolare la discussione con gli studenti): quando l'estremità del tubicino si trova ad esempio ad una profondità di circa 20 cm, parte dell'aria rientra per effetto della pressione idrostatica che a questa profondità è circa 0.02 atmosfere maggiore rispetto alla superficie libera (con un errore di circa il 2%), in questo caso si sovrastima l'acqua risucchiata e quindi si sottostima la variazione di volume. L'effetto si potrebbe valutare preventivamente inserendo in acqua la beuta a temperatura ambiente e verificando la quantità di acqua risucchiata quando questa è immersa completamente. Per ovviare a questo effetto sistematico sarebbe meglio che, estraendo la beuta, si tappi il tubicino quando questa si trova in prossimità della superficie dell'acqua.
Si versa, infine, l’acqua raccolta nel cilindro graduato piccolo.
Dati e valutazione degli errori sperimentali
I valori ottenuti sono i seguenti:
Volume aria a 100 °C : $V_{100} = \left( 288 \pm 2 \right)\ cm^3$
Le incisioni sul cilindro graduato da $500\ cm^3$ sono sufficientemente spaziate e un po’ di pratica consente, mediante interpolazione, una risoluzione di $1\ cm^3$. Considerando tuttavia la difficoltà nel travasare completamente l’acqua contenuta nella beuta, sembra ragionevole una stima di $2\ cm^3$ sull’incertezza del volume dell’aria.
Il volume dell’acqua entrata nella beuta è: $V_{H_2O} = \left(76 \pm 1 \right)\ cm^3$
Il volume dell’aria a 0 °C è $V_0 = V_{100} - V_{H_2O}\ =\ 288\ cm^3 - 76\ cm^3\ =\ 212\ cm^3$
Utilizzando la somma in quadratura, l’errore su $V_0$ è: $$\Delta V_0 = \sqrt{\Delta V_{100}^2 + \Delta V_{H_2O}^2} = 2\ cm^2$$
Dalla legge di Volta e Gay-Lussac: $V = V_0\left(1 + \alpha t\right)$ si ricava il coefficiente di dilatazione $\alpha$: $$\alpha = \frac{V_{100} - V_0}{V_0 \cdot t} = \frac{\left(288 - 212\right)\ cm^3}{\left(212 \ cm^3 \right) \cdot 100\ ^0C}= 0,0036\ ^0C^{-1}$$ L’errore relativo su $\alpha$ così calcolato, supponendo che le misure siano indipendenti, è: $$\frac{\Delta \alpha}{\alpha} = \sqrt{\left( \frac{\Delta \left( V_{100}- V_0 \right)}{V_{100}-V_0} \right)^2 + \left(\frac{\Delta V_0}{V_0} \right)^2 + \left( \frac{\Delta t}{t} \right)^2} = \sqrt{ 1,7 \cdot 10^{-4} + 1,1 \cdot 10^{-4} + 4,0 \cdot 10^{-4}} = 2,6 \cdot 10^{-2}$$ L'errore su $\alpha$ risulta così: $\Delta \alpha = \left(2,6 \cdot 10^{-2} \right) \cdot \left(0,0036\ ^0C^{-1} \right)= 1 \cdot 10^{-4}\ ^0C^{-1}$
Riassumendo abbiamo: $$\alpha = \left( 3,6 \pm 0,1\right) \cdot 10^{-3}\ ^0C^{-1}$$ La valutazione degli errori nelle misure della temperatura si presenta complessa per diverse ragioni. Quando la beuta viene tenuta nella miscela di acqua e ghiaccio, non siamo certi che la temperatura finale dell’aria dentro la beuta sia scesa esattamente a 0 °C; inoltre, la temperatura di tutta la miscela di ghiaccio e acqua dovrebbe essere esattamente alla temperatura di fusione del ghiaccio, affinché immergendovi la beuta di vetro a circa 100 °C, la temperatura della miscela non cambi (ma venga solo fuso altro ghiaccio). Ritengo che l’incertezza nella misura di t a 0 °C porti probabilmente ad un Δt dell’ordine di 2 °C.
L’esperienza può essere utilizzata per una verifica dell’esistenza dello zero assoluto e per dare una giustificazione della definizione della scala Kelvin. È sufficiente costruire un grafico che rappresenta il volume V in funzione della temperatura t ed estrapolare la retta fino alla sua intersezione con l’asse t (figura 3)
Figura 3: grafico del volume in funzione della temperatura e retta di estrapolazione lineare
Osservazioni finali
L ’esperienza presenta due “punti critici”. Nella fase sperimentale, la variabile che influenza maggiormente il valore di α calcolato è il volume di acqua che entra nella beuta durante l’immersione nell’acqua fredda. Una manovra errata può condurre a valori di α incompatibili con quello accettato. Inoltre, nella fase di elaborazione, il grafico è costruito con due soli dati sperimentali e l’estrapolazione eseguita a grande distanza. Ogni incertezza nei dati risulta così molto amplificata.
L'inserimento di un terzo punto nel grafico, corrispondente ad esempio, al volume dell'aria a temperatura ambiente, porterebbe qualche miglioramento nell'estrapolazione, ma introdurrebbe complicazioni operative, allungando i tempi di esecuzione della prova.
Per semplificare ulteriormente l’esperimento, eliminando eventuali problemi di reperibilità del ghiaccio, avendo sempre a disposizione un termometro, si potrebbe sostituire la misura a 0 °C con una misura a temperatura ambiente.
È noto che il punto di ebollizione dei liquidi varia con la pressione esterna. L’esperimento è stato eseguito nella città di Pesaro, che si trova a livello del mare. Esperimenti condotti in località più elevate dovrebbero tenere in considerazione la riduzione della pressione atmosferica e di conseguenza l’abbassamento del punto di ebollizione dell’acqua.
Si nota che il coefficiente di dilatazione termica dell'aria secca è tutt'altro che costante: varia infatti del 30% passando da $0,00367 K^{-1}$ per t=0 °C a $0,00268 K^{-1}$ per t=100 °C. La curva che si ottiene integrando numericamente i dati (usando ad esempio un valore medio per il coefficiente di espansione tra due temperature partendo dal volume a 0 °C ) è molto vicina ai valori trovati ($212 cm^3$ per t=0 °C e $288 cm^3$ per t=100 °C). I dati ottenuti integrando numericamente la curva teorica di espansione dell'aria secca sono mostrati in tabella 1:
Tabella 1: valori di espansione per l'aria secca
Utilizzando i dati della teoria, il coefficiente di espansione che si ottiene è: $0,00354 K^{-1}$, con una differenza rispetto al valore ottenuto inferiore al 2%. Anche il coefficiente angolare della retta di regressione ottenuto sperimentalmente ($0,76 cm^3/K$) è molto vicino al valore teorico che si ottiene utilizzando una retta di regressione sulla curva teorica ($0,751 cm^3/K$).
A questo punto è lecito chiederci perché il risultato sperimentale non fornisca il valore atteso (-273.15 C). Estrapolando la retta dei dati sperimentali a Y = 0 si ottiene To = -279 °C. Questo valore andrebbe confrontato con il valore atteso nel caso dell'aria, che possiamo ottenere usando i dati tabulati e applicando una retta di regressione ai valori teorici a 0 °C e 100 °C, ottenendo $T_0 = -283 °C$.
E' sicuramente interessante vedere come un effetto anche grande sulla variazione del coefficiente di espansione dell'aria (30% !!) non dia poi un effetto cosi grande sul comportamento del gas e sulla stima dello zero assoluto (3% di differenza rispetto ad un gas perfetto). Tuttavia il confronto con i dati indica che la discrepanza tra valore atteso e valore misurato non può essere solo ascritto ad “errori di misura” o meglio, negli errori di misura bisogna considerare il sistema che si sta studiando e che non è un gas perfetto.
A conclusione di ogni attività di laboratorio è sempre utile una discussione che spinga gli studenti a capire il risultato di una misura, il perché di una differenza e le possibili sorgenti di errore. L’obiettivo di un esperimento non è quello di confermare per forza una legge stabilita. Anzi, tale discussione è sicuramente più stimolante nel caso in cui l’esperimento non si è concluso come previsto.
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