L'esperimento propone la verifica del principio di Archimede. L'esperienza sarà svolta usando un corpo solido più denso dell'acqua. Il dibattito introduttivo parte con l'analisi del testo dell'enunciato del principio: Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del volume del fluido spostato. Si realizza una situazione analoga in laboratorio: usando un corpo solido di forma regolare misurando il suo peso in aria ed in acqua per poi verificare l'enunciato.
Scheda sintetica delle attività
La classe è divisa in gruppi di 3 o 4 persone, in base alla disponibilità del matriale presente in laboratorio. Ogni gruppo deve misurare il peso di un cilindro di teflon in aria e poi in acqua, in modo da verificare che la differenza fra i due pesi rilevati sia uguale alla spinta di Archimede. Ogni gruppo svolge l'esperienza autonomamente, se i tempi lo consentissero, sarebbe interessante effettuare una analisi statistica dei diversi risultati ottenuti.
Risorse necessarie
Un cilindro di teflon;
un calibro ventesimale;
uno stativo;
un dinamometro di portata 1 N e sensibilità (risoluzione) 0,01 N (o comunque adeguato al peso del cilindro);
un becker per poter immergere comodamente il cilindro di teflon (senza toccare i bordi);
acqua, non è necessario che sia distillata.
Prerequisiti necessari
Saper usare il calibro ventesimale (eventualmente vedere l'esperimento 3-Fisica );
saper usare il dinamometro;
conoscere il principio di Archimede;
saper scrivere il risultato di una misura con l'incertezza;
conoscere la propagazione degli errori per le quattro operazioni;
saper calcolare il volume del cilindro.
Obiettivi di apprendimento
Verificare la validità dell'enunciato del principio;
rendersi conto che due grandezze sono "uguali" quando lo sono entro i limiti posti dalle incertezze di misura;
riuscire a comprendere cosa significhi fare delle misure al fine di verificare un principio;
consolidare l'abilità pratica nell'uso del calibro e del dinamometro;
applicare le regole, studiate nella teoria, a proposito della propagazione degli errori;
comprendere il concetto di uguaglianza in Fisica e la sua differenza con lo stesso concetto in Matematica e in Logica.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Durante lo svolgimento, il ruolo dell'insegnate è quello di girare fra i banchi, osservare, chiedere e rispondere ai ragazzi in modo sempre da far riflettere e stimolare. Spesso i ragazzi chiedono, ma se si riesce a guidarli, la risposta la trovano da soli.
Procedimento
1. Si verifica che il dinamometro appeso allo stativo sia azzerato per misurare in verticale.
2. Si misura il peso del cilindro di teflon in aria $P_o$, nel nostro caso: $P_o=(0,94 \pm 0,01)\ N$ con un errore relativo dell'1% . Per semplicità si può usare la mezza divisione come stima dell'errore di lettura. Tuttavia potrebbe essere utile richiamare la trattazione corretta (esperimento 5-Fisica) sottolineando l'importanza degli aspetti soggettivi nella stima dell'errore di lettura (esperienza nell'uso dello strumento, capacità di leggere tra le divisioni della scala, prove ripetute per individuare la riproducibilità dello strumento, etc...). Sottolineare il fatto che nella misura assoluta di Po intervengono sia l'errore di zero che l'errore di lettura con la massa appesa. Dal momento che l'errore di zero è lo stesso per la misura con il cilindro in aria o in acqua, non va considerato calcolando la differenza di peso misurato in aria o in acqua.
3. Si misura il diametro D e l'altezza H del cilindro (eseguite con il calibro ventesimale) ottenendo i valori: $$D=(51,05 \pm 0,05)\ mm,\ H=(32,15 \pm 0,05)\ mm$$
4. Si calcola il volume del cilindro: $$V=\frac{\pi D^2}{4}H = 65806\ mm^3.$$ L'errore relativo sul volume si calcola sommando in quadratura l'errore relativo su H e il doppio dell'errore relativo sul diametro: $$\frac{\sigma_V}{V} =\sqrt{\left(\frac{2\sigma_D}{D} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_H}{H}\right)^2}$$ Nel nostro caso risulta: $$ \frac{\sigma_V}{V} =0.003 \longrightarrow V = \left(65,81 \pm 0,16\right) cm^3$$
5. Si misura il peso del cilindro immerso completamente in acqua $P_i$, nel nostro caso abbiamo ottenuto $P_i = \left(0,28 \pm 0,01 \right)\ N$ con un errore relativo del 4%.
6. Si calcola la differenza $\Delta$ fra peso in aria ed in acqua: $\Delta = P_o - P_i = 0,66\ N$; l'errore sulla differenza è la somma in quadratura degli errori sui pesi $P_o$ e $P_i$: $$\sigma_{\Delta} = \sqrt{\sigma_{P_o}^2 + \sigma_{P_i}^2}$$ otteniamo così la spinta, con l'incertezza assoluta: $$\Delta = P_o - P_i = \left(0,660 \pm 0,014 \right)\ N$$
Figura 1: a) materiale necessario; b) misura del peso in acqua; c) misura del dinamometro.
OSSERVAZIONE: I calcoli sono svolti con la calcolatrice e spesso i ragazzi usano 3,14 al posto di pi-greco. Tuttavia il numero di cifre significative si deve accordare con la precisione relativa delle grandezze in gioco, nel nostro caso è necessario usare 4 cifre approssimando $\pi =3,14159 \simeq 3,142$. Dato che tutti hanno una calcolatrice scientifica, richiamo, per quelli che non l'hanno fatto, all'uso del tasto della calcolatrice che mi dà il pi-greco con una approssimazione un po' migliore di 3,14. Sempre a proposito dell'uso della calcolatrice, in genere i ragazzi usano pormi la domanda: "Quanti decimali prendo?", oppure li "sorprendo" mentre scrivono il risultato su un foglio perché non sanno usare la memoria della loro calcolatrice. Colgo l'occasione per stimolarli e aiutarli ad usare la memoria.
7. Verifichiamo ora il principio di Archimede; si calcola il peso del volume dell'acqua spostata dal cilindro, se il cilindro è immerso completamente coincide con il volume del cilindro, per la densità dell'acqua assumiamo $d_{H_2O} = 10^{3} kg/m^3$ mentre l'accelerazione di gravità è g=9,81 N/kg. Il peso della massa di acqua spostata, uguale alla spinta di Archimede, è: $$F_{Archi}=d_{H_2O}\cdot V\cdot g = 0,646 N$$ L'errore assoluto è dato dall'errore relativo sul volume (0.003) moltiplicato il peso dell'acqua. Otteniamo quindi il valore della spinta di Archimede: $$F_{Archi}=\left(0,646 \pm 0,002 \right)\ N$$ da confrontare con il valore sperimentale di $\Delta$ determinato precedentemente. I due valori sono compatibili entro una deviazione standard.
Non sempre i valori sono confrontabili entro la barra di errore e il caso presentato è tipico (vedi file .xls allegato). In questi casi è più utile, piuttosto che considerare sbagliata o deludente la misura, stimolare la discussione sulle possibili cause che possono aver falsato la misura, oppure cercare di stabilire se le incertezze siano state valutate correttamente. Ad esempio:
Gli errori sulle misure di D e H del cilindro sono probabilmente sottostimati: anche se il calibro ha una sensibilità di 0,05 mm, piccole imperfezioni di forma producono errori probabilmente maggiori della sensibilità dello strumento (es. provare ad effettuare diverse misure di H e D per stabilire la riproducibilità).
I dinamometri a molla hanno spesso una isteresi maggiore della risoluzione (es. dovuti ad attrito tra molla e tubetto del dinamometro): provare a misurare il peso rilasciando lentamente il peso dall'alto, dal basso, ecc... per stabilire la reale incertezza.
Se il gancino a cui è appeso il cilindro è immerso in acqua riceve anch'esso una spinta e quindi influenza la misura;
Il cilindro, a volte, presenta alcune bolle d'aria che restano attaccate alla sua superficie, è importante che le bolle vengano rimosse prima di eseguire la misura del peso.
Il cilindro non deve "toccare" il contenitore in vetro, altrimenti la misura potrebbe essere falsata.
Anche senza che il cilindro tocchi le pareti del contenitore, se il cilindro non è abbastanza piccolo rispetto al contenitore, ci possono essere effetti di "attrito viscoso" che falsano la misura.
Osservazioni ed eventuali questioni da porre: 1. Al posto del cilindro di teflon si può usare un qualsiasi altro oggetto di forma regolare, anche non omogeneo. Si potrebbe ripetere l'esperienza anche con un corpo di forma irregolare. Il tal caso si potrebbe misurare il suo volume immergendolo in acqua, in un cilindro graduato, per poi calcolarne il volume per differenza. Nella stessa misura si otterrebbe anche il volume dell'acqua spostata. 2. Sarebbe possibile usare un corpo poroso? Che problemi ci potrebbero essere per eseguire le misure necessarie per svolgere i vari calcoli? (R. Si potrebbe immergere il corpo in acqua ma poi andrebbe asciugato per evitare di sbagliare il peso.) 3. E' possibile usare un corpo di un qualsiasi materiale? Se volessi usare un corpo solubile in acqua, come potrei fare? E' evidente che non potrei immergerlo in acqua! (R. si può usare della sabbia o altro materiale granuloso: immergendo il corpo si misura la variazione di volume come fosse acqua)
Note e storia
Le note storiche su Archimede sarebbero molto interessanti da approfondire, anche alla luce del rapporto scienza-società. Mi limito a ricordare la storia della corona di Gerone.
Un altro approfondimento interessante sarebbe la valutazione della spinta di Archimede quando si usa una bilancia a bracci uguali o quando si usa una bilancia elettronica. Il principio è valido per tutti i corpi immersi in un fluido e non solo in un liquido! a. Nel primo caso si deve tener conto della spinta dell'aria sia sui pesini campione, sia sull'oggetto di cui voglio misurare la massa. b. Nel secondo caso devo tener conto solo della spinta dell'aria sull'oggetto di cui voglio misurare la massa.
a. La situazione è illustrata nelle figura 2. Figura 2: effetto della spinta di Archimede nella misura con bilancia a bracci uguali
L'errore può essere sia in difetto che in eccesso a seconda della densità dell'ottone (i pesini campione, in genere, sono in ottone) rispetto alla densità del corpo. Supponiamo che la bilancia sia in equilibrio nel vuoto (questo vuol dire che le masse sono identiche) e che il corpo di massa da misurare sia più denso dell'ottone. A parità di massa il corpo avrà volume minore rispetto ai pesini in ottone e perciò spinta minore. Ne segue che in aria la bilancia non sarà più in equilibrio e risulterà "pendere" dalla parte dell'oggetto da massare: errore in eccesso. Se a partire dall'equilibrio nel vuoto la densità del corpo è minore rispetto all'ottone, si avrà l'effetto contrario
b. In questo caso è sufficiente calcolare la spinta in aria a partire dal volume del corpo posto sulla bilancia. Si ricava la spinta ricevuta in aria dalla relazione: "Peso misurato=peso nel vuoto meno spinta dell'aria".
Bibliografia
Riporto quanto scritto sul testo: "La Fisica attorno a noi" V. Zanetti ed. Zanichelli vol. 1 a pag. 76, purtroppo il testo non è più in commercio. Nell'attività 2E si descrive un'attività del tutto analoga a quella che ho già descritto e poi prosegue: "... Se vuoi una verifica più diretta, dopo aver calcolato il volume del solido misura un ugual volume d'acqua con un cilindro graduato, poi versa quest'acqua dentro un sacchetto di plastica. Infine appendi questo sacchetto di plastica al dinamometro e controlla che segni un valore all'incirca uguale alla differenza trovata fra peso in acqua e peso in aria. Questo metodo è particolarmente utile se immergi il solido in un liquido di cui non conosci la densità ..."
