Mediante l'utilizzo di una rotaia a cuscino d'aria si vuole verificare la legge del moto rettilineo uniforme: gli spazi percorsi dal carrello devono essere proporzionali ai tempi impiegati per percorrerli.
A volte la misura non funziona: la velocità misurata non è (o non sembra essere) costante e i dati sperimentali non sono in accordo con il modello. In questi casi la caccia all'errore può essere stimolante e sicuramente più istruttiva che trascurare le discrepanze.
Scheda sintetica delle attività
Lo studio dei moti su traiettoria rettilinea è importante perché sta alla base dello studio dei moti più complessi. Per la trattazione delle grandezze cinematiche non serve il modello vettoriale perché la direzione è univoca ed il verso fa cambiare solo il segno della grandezza.
Per verificare la legge del moto rettilineo uniforme occorre affrontare due grossi problemi:
1. minimizzare l'attrito
2. tener conto di eventuali errori di misura per i tempi e lo spazio.
A volte la misura non funziona e la velocità misurata non è costante. In questi casi cercare l'errore è un esercizio istruttivo.
Queste le fasi dell'attività:
Si monta l'attrezzatura fornita: rotaia con carrello, fotocellule, timer elettronico.
Si effettuano le misure dei tempi di percorrenza del carrello al variare della distanza percorsa.
Tenendo conto degli errori di misura, si elaborano i dati raccolti realizzando il grafico s-t con il foglio elettronico.
Si verifica la proporzionalità diretta tra spazio e tempo.
Si discutono eventuali discrepanze tra teoria ed esperimento.
Risorse necessarie
Rotaia a cuscino d'aria;
compressore;
elettromagnete;
due fotocellule;
carrello;
cronometro elettronico.
Prerequisiti necessari
Conoscere e saper applicare la teoria degli errori per le misure dirette ed indirette;
saper costruire grafici con il foglio elettronico e saper riconoscere la relazione che intercorre tra le grandezze riportate;
conoscere il concetto di velocità media ed istantanea.
Obiettivi di apprendimento
Verificare le proprietà del moto rettilineo uniforme;
acquisire dimestichezza con il montaggio delle attrezzature fornite in laboratorio;
discutere in modo critico i risultati.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
INTRODUZIONE
Il principio di Inerzia stabilisce che se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, esso rimane fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.
La rotaia a cuscino d'aria è costituita da un'asta di alluminio cava al suo interno, chiusa ad un'estremità e collegata dall'altra ad un compressore che soffia aria. L'aria attraversa tutta la rotaia e fuoriesce dai forellini praticati nella parte superiore dove scorre il carrello come si vede dalle immagini di figura 1.
Figura 1: Il setup sperimentale
A cavallo della rotaia si trova un carrellino che si muove sospeso su un cuscino d'aria che riduce gli attriti.
E' utile far riconoscere agli studenti le forze agenti sul carrellino:
la forza peso
la pressione dell'aria (verso l'alto)
quando il carrellino si muove l'attrito è piccolo
Dopo aver montato la rotaia verifichiamo che:
quando la rotaia è orizzontale il carrellino non si muove spontaneamente;
quando la rotaia è inclinata il carrellino tende a scivolare;
quando la rotaia è orizzontale, se si da una piccolissima spinta al carrellino si può vedere l'effetto degli attriti? Se la spinta è molto piccola effettivamente si dovrebbe vedere il rallentamento;
l'aria dell'ambiente produce attrito? Possiamo disporre una piccola vela sul carrellino per far vedere che se la superficie del carrellino diventa grande, l'attrito dell'aria circostante diventa rilevante.
LE MISURE
La rotaia a disposizione nel nostro laboratorio ha un meccanismo di lancio costituito da un elastico che viene messo in tensione, e un elettromagnete che tiene fermo il carrello. Un interruttore toglie l'alimentazione al magnete e il carrellino viene lanciato lungo la rotaia. Lungo la rotaia sono disposti due sensori ottici che possono essere posizionati a distanza variabile Δs: il primo fa partire un cronometro, il secondo lo ferma e il tempo trascorso Δt viene letto sul display.
MISURA 1
Per ogni valore prefissato di Δs si ripete la misura 3 volte, annotando i valori $\Delta t_1,\ \Delta t_2,\ \Delta t_3$. Durante l'esperimento il carrello dovrà partire sempre dallo stesso punto. In tabella 1 un esempio di dati raccolti.
Tabella 1: Δs sono le distanze tra i traguardi, Δti sono i tempi misurati. Ogni misura è ripetuta 3 volte. I calcoli sono eseguiti usando il file excel allegato (EsempioMotoRettilineo.xlsx).
Il tempo medio di percorrenza $\Delta t_m$ per ogni $\Delta s$ è calcolato (usando la funzione MEDIA() di un foglio elettronico MS-EXCEL o Oo-CALC): $$\Delta t_m\left(s\right) = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} \Delta t_i$$ L'errore sulla singola misura dei tempi è dato dalla deviazione standard delle misure dei tempi stessi per ogni gruppo di misure: $$ dev.st\left( \Delta t \right) = \sigma_{\Delta t} = \sqrt{\frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \left(\Delta t_i - \Delta t_m \right)^2}$$ Risulta $\sigma_{\Delta t} = 0,002 - 0,001\ s$; per il suo calcolo è comodo usare la funzione DEV.ST() di un foglio elettronico (MS-EXCEL o Oo-CALC).
E' importante sottolineare che l'errore sui valori medi $\Delta t_m$ è dato dalla relazione: $$\sigma _{\Delta t_m} = \frac{ \sigma _{\Delta t}}{\sqrt{3}}$$ Nel nostro caso: $\sigma _{\Delta t_m} \simeq 10^{-3}\ s$ o minore. L'errore sulla velocità $\sigma _v$ è calcolato dalla somma in quadratura degli errori relativi su $\Delta s$ e $\Delta t_m$: $$\sigma_v = v \cdot \sqrt{\left(\frac{\Delta s}{s}\right)^2 + \left( \frac{\Delta t_m}{t_m}\right)^2}$$ Figura 2 presenta il grafico di $\Delta s$ in funzione di $\Delta t$ e la retta di regressione lineare. L'andamento lineare è quello atteso per un moto rettilineo uniforme, la pendenza della retta rappresenta la velocità media del carrello sull'intero tratto percorso.
Figura 2: grafico di $\Delta s$ versus $\Delta t$ e retta di regressione lineare. A questo punto è utile discutere con gli studenti:
per riconoscere che l'errore sulla velocità è dovuto principalmente all'errore su Δs: infatti presenta un errore relativo dieci volte più grande rispetto ai tempi che hanno un errore dell'ordine di $10^{-3}$;
per riconoscere la riproducibilità del sistema: il meccanismo di sgancio è estremamente riproducibile, infatti i tempi di misura sono riproducibili con una precisione (dev.st migliore di $5 \cdot 10^{-4}$ s)
per sottolineare precisione assoluta della misura dei tempi: l'errore sui tempi misurati è (nel nostro caso) dello stesso ordine dei grandezza della sensibilità del cronometro, si dovrebbe riconoscere che non ha senso effettuare misure ripetute mantenendo fissa la posizione dei traguardi, anche tenendo conto del fatto che l'errore relativo sui tempi è molto più piccolo dell'errore relativo sulla posizione dei traguardi.
per osservare con attenzione i valori della velocità nei diversi intervalli e di confrontarli tra di loro tenendo presente gli errori di misura sulle velocità stesse.
I dati ci permettono di stabilire che il principio di inerzia è verificato? Probabilmente no: le differenze osservate tre i valori delle velocità sono molto maggiori degli errori stimati sulle velocità stesse. Quindi, anche se distanze maggiori sono percorse in tempi maggiori, la velocità non sembra essere costante. Quale può essere la causa di queste differenze?
Il fatto che le misure si discostino dal modello teorico offre lo spunto per discutere criticamente e in modo quantitativo le osservazioni: la discussione dovrebbe portare a definire il problema, proporre un' ipotesi (per spiegare le differenze osservate) e quindi un metodo per verificare l'ipotesi.
Dati di fatto:
il principio di inerzia deve essere valido!
il lancio del carrello è estremamente riproducibile (punto 1)
le misure dei tempi sono precise (punto 2)
ipotesi: l'errore può essere solo nella posizione delle banderuole.
possibile verifica: misuriamo i tempi di percorrenza per una distanza ΔS ma ad ogni misura togliamo le due banderuole e riposizioniamole cercando di rimetterle alla stessa distanza (eventualmente chiediamo a diverse persone di riposizionare i traguardi). Se l'effetto è dovuto ad una imprecisione nella posizione dei traguardi dovremmo osservare una dispersione maggiore nei tempi e quindi nelle velocità.
In effetti i dati in tabella 2 mostrano una maggiore dispersione dei tempi per posizioni delle banderuole "nominalmente" uguali e la dispersione delle velocità misurate è minore di (o comunque confrontabile con) gli errori di misura.
Tabella 2: Misure ottenute riposizionando i traguardi; ogni misura è ripetuta 3 volte.
Figura 3 presenta il grafico di $\Delta s$ in funzione di $\Delta t$ e la retta di regressione lineare; l'andamento mostra che i dati sono compatibili con il modello di moto rettilineo uniforme.
Figura 3: grafico dei dati di tabella 2 e retta di regressione lineare
Possiamo quindi concludere che:
l'errore che si osserva sui tempi sia dovuto principalmente ad un errore sulla posizione delle banderuole, molto maggiore dell'errore di lettura sul righello.
in questo caso l'errore sulle velocità non può essere calcolato come somma in quadratura degli errori su $\Delta s$ e $\Delta t_m$; infatti l'errore su $\Delta t_m$ deriva dall'errore sulla posizione reale del righello che non conosciamo.
Approfondimenti
E' possibile utilizzare i dati per ulteriori approfondimenti. Ad esempio misurando la massa del carrello si può:
Calcolare l'impulso fornito dal meccanismo (Impulso = variazione della quantità di moto del carrello);
calcolare l'energia fornita dall'elastico (E = energia cinetica del carrello).
Note e storia
Sebbene oggi sia noto che un oggetto non sottoposto a forze si muove in moto rettilineo uniforme, in passato si credeva invece che il moto di un oggetto lasciato libero di muoversi fosse descritto da un moto decelerato (teoria aristotelica). Questo è infatti ciò che suggerisce l'esperienza quotidiana. Ma prima Galileo Galilei e poi Newton scoprirono che le cose stavano diversamente. I principi della dinamica furono scoperti da Galileo Galilei e dimostrati nel trattato Due nuove scienze del 1638 e successivamente da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687.
Storicamente il problema del moto è stato il primo problema affrontato dalla fisica, direttamente applicato al moto dei corpi celesti con la meccanica celeste nell'ambito della rivoluzione scientifica. Fino al XIX secolo, le leggi di Newton, incluse tra gli assiomi e i postulati dei "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", erano alla base di quella parte della meccanica classica nota come cinematica. Lo studio del moto a partire dalle cause che lo generano ovvero le forze è noto invece come dinamica.
Nella fisica moderna si affermò il fatto che ogni accelerazione è dovuta ad una forza esercitata sul corpo, ci si convinse che il moto "naturale" di un corpo è il moto rettilineo uniforme e che la decelerazione osservata nelle esperienze quotidiane è dovuta invece alla forza d'attrito a cui ogni oggetto è sottoposto se il moto avviene a contatto con altra materia.
Con l'introduzione della teoria della relatività generale, nella prima metà del XX secolo, si è capito che le traiettorie "naturali" seguite da un corpo non sottoposto a forze esterne non sono sempre delle rette, ma in effetti geodetiche dello spazio-tempo; da questo punto di vista la forza di gravità non è altro che una forza apparente dovuta alla curvatura dello spazio-tempo. Un corpo non sottoposto a forze si muove lungo una retta solo su piccole distanze, così da poter considerare praticamente costante il campo gravitazionale e nulla la curvatura dello spazio-tempo.
Bibliografia
A. Caforio - A. Ferilli FISICA! Le regole del gioco.
