Si affronta lo studio sperimentale del moto rettilineo seguito da una scatolina di latta che scivola lungo il piano di un banco opportunamente inclinato.
Elaborando i dati, relativi alle misure dei tempi impiegati a percorrere distanze fissate, è possibile portare avanti una trattazione esclusivamente cinematica del fenomeno verificando che il moto è uniformemente accelerato. E' possibile estendere l’interpretazione considerando le forze in gioco e/o le trasformazioni energetiche in atto, e determinare il coefficiente di attrito dinamico.
Scheda sintetica delle attività
Dopo aver montato l'apparato sperimentale, si registrano i dati sperimentali misurando il tempo impiegato dalla scatolina a percorre distanze diverse sul piano inclinato. Si elaborano i dati sperimentali con l'uso di grafici, verificando che, in un tratto abbastanza esteso, il moto è uniformemente accelerato. Prendendo in considerazione gli aspetti dinamici ed energetici, si determina il valore del coefficiente di attrito dinamico presente tra la scatolina e il piano del banco su cui essa scivola.
Risorse necessarie
Piano di lavoro (cattedra, banco);
tappetino in pvc o cartoncino o da fogli bianchi (non necessario se è possibile tracciare traguardi sul piano da lavoro);
scatolina di latta a base rettangolare;
blocchetti di legno oppure due secchi identici oppure due cestini per rifiuti usati in classe;
pennarello;
riga, squadra;
nastro adesivo da imballaggio;
cronometro analogico o telefono cellulare;
foglio elettronico per il trattamento dei dati e i grafici;
filo a piombo;
metro a nastro.
Prerequisiti necessari
Nozioni sugli errori di misura;
significato di valore medio, semidispersione massima e deviazione standard;
calcolo dell'errore sulla media;
legge di propagazione degli errori;
rappresentazione delle misure su grafici cartesiani;
relazione di proporzionalità quadratica tra due grandezze;
moto rettilineo uniformemente accelerato;
forza di attrito radente;
energia meccanica.
Obiettivi di apprendimento
Misurare lunghezze e intervalli di tempo;
saper verificare una legge di proporzionalità quadratica;
saper riconoscere un moto rettilineo uniformemente accelerato.
saper riconoscere il lavoro di una forza dissipativa.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Montaggio dell'apparato sperimentale
Segnare dei riferimenti ad intervalli di spazio regolari (es. 10cm) sul tappetino di plastica, con pennarello indelebile
Fissare il tappetino al banco da lavoro mediante nastro adesivo da imballaggio oppure con dei morsetti, avendo cura di lasciare una striscia del banco di lavoro libera dedicata al moto della scatolina
Posizionare sotto le due gambe laterali del banco dei rialzi (blocchetti di legno) che permettano di inclinare sufficientemente il banco (figura 1).
Figura 1: l'apparato sperimentale
Suggerimenti/ Accorgimenti
Verificare che la superficie del banco sia liscia e regolare (assenza di graffi, intagli, scritte, rigonfiamenti, ecc.);
accertarsi che la pendenza del piano di scorrimento sia tale da permettere lo scivolamento della scatolina;
aver cura di pulire e strofinare con un panno il fondo della scatolina e la striscia del banco dove avviene il moto per minimizzare il più possibile eventuali variazioni dell’attrito tra scatolina e banco;
è consigliato iniziare a misurare il tempo impiegato per percorrere le distanze maggiori e via via quelle minori per prendere dimestichezza con lo strumento (cronometro/cellulare) e per ‘allenare’ i riflessi.
Misure sperimentali
Posizionare la scatolina in modo che l’estremità anteriore coincida con la linea dello zero segnata sul tappetino di plastica;
tenere ferma la scatolina senza premerla sul banco, mantenendo la faccia anteriore perpendicolare alla direzione di movimento;
lasciare la scatolina avendo cura di segnalare vocalmente tale istante all'operatore che è incaricato di prendere i tempi;
lo stesso operatore si posizionerà di volta in volta di fronte al traguardo finale della scatolina in modo da acquisire il tempo impiegato dalla stessa per percorrere lo spazio fissato, limitando l’errore di parallasse;
per ogni distanza fissata ripetere le misure almeno 5 volte.
Ripetere gli step da 1 a 5 per le seguenti distanze: 20 cm – 30 cm – 40 cm – 50 cm – 60 cm – 70 cm – 80 cm – 100 cm
Elaborazione Dati (Analisi cinematica)
I dati rilevati e tutta la loro elaborazione sono riportati sul file allegato Moto rettilineo su piano inclinato.xlsx
Di seguito un esempio di dati sperimentali misurati dagli studenti:
Tabella 1: esempio di dati sperimentali misurati in classe
La tabella 1 riporta anche i valori medi dei tempi; l'errore su tali valori è pari alla sensibilità dello strumento $\pm 0,1 s$.
La figura 2 riporta il grafico dello spazio in funzione del tempo e la curva di regressione ottenuta, ipotizzando un moto uniformemente accelerato. Dai valori riportati, notiamo che la curva polinomiale di secondo grado che meglio approssima i dati sperimentali ha un coefficiente di primo grado pari a 0,26 m/s. Questo risultato corrisponde ad una velocità iniziale della scatolina pari a circa 0,26 m/s, contro un valore atteso pari a 0 m/s. Questo risultato non è soddisfacente.
Figura 2: grafico dello spazio percorso in funzione del tempo e sua regressione con una curva polinomiale di secondo grado.Figura 3: grafico dello spazio percorso in funzione di tempo al quadrato e retta di regressione lineare.
Durante l'esperimento si è osservato che al di sopra dei 0,70 m di percorrenza, la scatolina non mantiene una traiettoria rettilinea in quanto tende a ruotare alterando il modello cinematico ipotizzato; la rotazione determina anche una diminuzione della accelerazione con cui la scatolina si muove lungo il piano. Questa diminuzione è osservabile anche sul grafico di figura 2, per i dati a $\Delta s = 0,80\ e\ \Delta s = 1,00\ m$. Per questo motivo i dati relativi a queste due distanze non sono stati presi in considerazione. Analogamente non è stato preso in considerazione il dato misurato con $\Delta s = 0,20\ m$ avendo riscontrato visivamente una certa difficoltà iniziale della scatolina ad intraprendere un moto regolare accelerato.
Eseguendo un fit con una polinomiale di secondo grado eliminando questi valori (grafico non riportato) si ottiene un coefficiente di primo grado pari a $0,02 \pm 0,02$, compatible con un valore atteso nullo.
Figura 3 riporta il grafico dello spazio percorso in funzione del quadrato del tempo impiegato: l’andamento è ben approssimato da una retta passante per l’origine a conferma che siamo in presenza di un moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza da fermo. L' accelerazione del moto a, pari al doppio della pendenza della linea di tendenza, risulta essere $a = (0,944 \pm 0,014)\ m/s^2$.
Conclusione Nel tratto compreso tra i 30 cm e i 70 cm dal punto di partenza, il moto della scatolina si può considerare rettilineo uniformemente accelerato con $$a = (0.944 \pm 0.014) m/s^2. $$
Analisi dinamica
La situazione sperimentale proposta, i dati forniti e i risultati ottenuti possono essere utilizzati per lo studio di alcuni aspetti dinamici del problema. Come esempio presentiamo il calcolo dell'energia dissipata per attrito e la determinazione del coefficiente di attrito dinamico. La situazione sperimentale può essere schematizzata con la seguente figura:
Figura 4: schema della misura eseguita; A e B sono gli del tappetino, D e C le rispettive proiezioni sul pavimento. Fissando il filo a piombo, prima nel punto B e poi nel punto A, segniamo sul pavimento le posizioni dei punti C e D. A e B sono i punti che corrispondono all'inizio e fine corsa della scatolina; essi sono individuati dalle estremità del tappetino e risulta $AB = (1,000 \pm 0,005) m.$
Con il metro a nastro rileviamo le misure delle distanze $BC=h_1 = (1,045 \pm 0,005)\ m$, $AD=h_2 = (0,785 \pm 0,005)\ m$ e $DC=(0,970 \pm 0,005)\ m.$
Utilizzando la similitudine dei due triangoli rettangoli ricaviamo le misure delle distanze Δh e Δb legate al tratto Δs in cui il moto può essere considerato rettilineo uniformemente accelerato, cioè il tratto compreso tra 0,30 e 0,70 m.
$$\Delta b = \frac{\overline{CD} \Delta s}{ \overline{AB}} = 0,388\ m$$ I valori numeri si riferiscono al tratto compreso tra 0,30 e 0,70 m per il quale $\Delta s = 0,40\ m$.
Calcolo dell'energia meccanica dissipata per attrito
I valori delle velocità $ v_i $ e $ v_f $, all'inizio e alla fine del tratto $\Delta s$, si determinano utilizzando la relazione valida per il moto rettilineo uniformemente accelerato $ v = a \cdot \Delta t $ usando per i $\Delta t$ i valori dei tempi medi relativi alle distanze di 30cm e 70cm e per $a$ il risultato finale ottenuto in precedenza. Si ottengono così i valori: $$ v_i = (0,73 \pm 0,02)\ m/s \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_f = (1,15 \pm 0,03)\ m/s.$$ L'energia dissipata è data quindi dalla relazione: $$E_{diss} = | \Delta E | = E_i - E_f = \frac{1}{2} m v_i^2 + mgh_i - \frac{1}{2} m v_f^2 - mgh_f $$
Questa è l'energia dissipata dalla forza di attrito; non è utile né interessante eseguire il calcolo numerico, ma lo è usare questa espressione per determinare il coefficiente di attrito.
Determinazione del coefficiente di attrito dinamico Supponendo che sul tratto $ \Delta s $ l'attrito agente tra scatolina e piano di scorrimento sia essenzialmente di tipo radente, possiamo determinare il coefficiente di attrito dinamico uguagliando l'energia dissipata al lavoro fatto dalla forza d'attrito: $$ | \Delta E | = | L(F_a) | $$ $$ \frac{1}{2} m ( v_i^2 + 2 g h_i - v_f^2 -2 g h_f ) = F_a \cdot \Delta s \quad [1] $$ Applicando il teorema dell'energia cinetica abbiamo : $$\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m v_i^2 + m a \Delta s \rightarrow v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta s $$ sostituendo nella [1] si trova $$m (g h_i - a \Delta s - g h_f ) = \mu m g \frac{\Delta b}{\Delta s} \Delta s $$ che porta alla determinazione del coefficiente di attrito $$ \mu = \frac{g \Delta h - a \Delta s}{g \Delta b} = 0,24$$ La cui relativa incertezza può essere calcolata propagando gli errori $$\delta \mu = \sqrt{ \left( \frac{g \Delta h - a \Delta s}{\Delta b^2 g} \delta \Delta b \right)^2 + \left( \frac{\Delta s}{g\Delta b} \delta \Delta a \right)^2 + \left( \frac{1}{\Delta b} \delta \Delta h \right)^2 + \left( \frac{a}{g\Delta b} \delta \Delta s \right)^2} = 0,02$$ (per il calcolo dettagliato si veda il file allegato Moto rettilineo su piano inclinato.xlsx)
