Un percorso che propone lo studio sperimentale e quantitativo del fenomeno della rifrazione nell'acqua: si parte dall'osservazione del fenomeno, prima qualitativa e poi quantitativa, si prepara un modello matematico e lo si verifica. Il procedimento permette di ricavare sperimentalmente la legge di Snell per la rifrazione e verificare l'equazione dei punti coniugati per un diottro.
Scheda sintetica delle attività
L'attività propone di studiare quantitativamente il fenomeno della rifrazione applicando le diverse fasi del metodo sperimentale:
Osservazione del fenomeno e misura quantitativa.
ipotesi e modello
verifica
Osservazione: si parte dall'osservazione di un fenomeno assai comune e facilmente riproducibile quale l'ingradimento di un oggetto all'interno di un contenitore cilindrico pieno d'acqua come bicchieri o bottiglie di plastica.
Misura: Si caratterizza l'effetto quantitativamente misurando il rapporto tra dimensione reale (in aria) e dimensione apparente (parte immersa) e si cerca di definire i parametri da cui dipende l'effetto osservato. In particolare si riconosce come l'ingrandimento di un oggetto in prossimità dell'asse del contenitore non dipenda dal diametro del cilindro ma possa dipendere dal liquido nel quale è immerso.
Modello: Si costruisce un modello matematico semplificato utilizzando considerazioni geometriche sulla propagazione dei raggi luminosi che scopriremo essere la legge di Snell
Verifica: si verifica il modello proposto utilizzando liquidi diversi (es. olio) o cambiando la geometria del sistema
Risorse necessarie
Recipienti cilindrici trasparenti (es. bottiglie, bicchieri di plastica o vetro) con pareti sottili;
acqua;
altro liquido (es. olio, glicerina);
fogli di carta a quadretti;
fogli di carta millimetrata;
cilindri con pareti spesse.
Prerequisiti necessari
Nozioni di geometria;
funzione seno.
Obiettivi di apprendimento
Imparare a osservare quantitativamente un fenomeno comune come la rifrazione attraverso una superficie curva;
saper proporre ipotesi e modelli esplicativi;
saper effettuare approssimazioni per semplificare il modello matematico;
saper tener conto del campo di validità delle approssimazioni proposte;
verificare le ipotesi fatte;
verificare sperimentalmente la legge di Snell e la legge dei punti coniugati per un diottro.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Introduzione
L'attività propone un esperimento che inizia osservando un fenomeno comune e facilmente riproducibile quale l'ingrandimento di un oggetto all'interno di un contenitore cilindrico pieno d'acqua come bicchieri o bottiglie di plastica.
Si caratterizza l'effetto quantitativamente misurando il rapporto tra dimensione reale (in aria) e dimensione apparente (parte immersa) e si cercano di definire i parametri da cui dipende l'effetto ottico: si osserva come l'ingrandimento di un oggetto in prossimità dell'asse del cilindro non dipenda dal diametro del cilindro ma possa dipendere dal liquido nel quale è immerso.
Si costruisce un modello matematico utilizzando semplici considerazioni geometriche sulla propagazione dei raggi luminosi che scopriremo essere la legge di Snell.
Figura 1: a) parte immersa di un oggetto inserito in un contenitore cilindrico parzialmente pieno d'acqua appare ingrandita; usando un cartoncino a quadretti è possibile quantificare l'ingrandimento come rapporto $L_o / L_a$; b) particolare di figura 1a).
L'osservazione
Si utilizzano contenitori cilindrici trasparenti con pareti sottili di diverso diametro. Si possono utilizzare bicchieri di plastica, bottigliette, bottiglie, etc... E' importante che abbiano pareti sottili e superfici lisce o almeno senza "rigature" verticali che potrebbero falsare l'osservazione.
Si riempiono i contenitori di con acqua e si osserva un oggetto (es. matita, bacchetta, cannuccia, moneta) parzialmente immerso in acqua in corrispondenza del centro del cilindro. Osservando in corrispondenza del pelo dell'acqua, la parte immersa dei diversi oggetti appare ingrandita (figura 1). Attenzione: è importante (come vedremo) che l'oggetto sia vicino all'asse del cilindro.
Discussione:
E' possibile dire qualche cosa riguardo all'ingrandimento?
Ci sono differenze/analogia tra cilindri di diverso diametro? Si dovrebbe verificare che l'ingrandimento non dipende dal diametro del contenitore (attenzione: i contenitori di vetro hanno generalmente pareti abbastanza spesse e possono falsare l'osservazione).
Per verificare e quantificare le osservazioni (figura 1):
misurare ad occhio le dimensioni osservate per la parte in acqua e quella fuori.
immergere dei fogli di carta a quadretti verticalmente al centro dei contenitori (la carta millimetrata potrebbe essere meglio ma a volte è difficile da leggere in trasparenza). Dal momento che i foglie di carta sono sottili e tendono a piegarsi può essere utile utilizzare un cartoncino a quadretti o incollare il foglio su un cartoncino più rigido di modo che resti sempre il più possibile sull'asse del contenitore. Indicando con $L_o$ una lunghezza (in numero di quadretti) orizzontale in aria e con $L_a$ il numero di quadretti corrispondenti in acqua l'ingrandimento è:
$$ \frac{L_o}{L_a}$$
Quantitativamente: la misura con il foglio a quadretti permette di riconoscere che (attenzione: osservare i quadretti perpendicolarmente al foglio):
Il lato orizzontale dei quadretti in acqua è ingrandito rispetto a quello dei quadretti in aria mentre il lato verticale rimane pressoché uguale. Fare una foto con una webcam o un cellulare può aiutare le valutazioni.
l'ingrandimento è:
$$ \frac{L_o}{L_a} \approx \frac{4}{3}$$
Utilizzando contenitori di diametro differente l'ingrandimento non cambia.
Si nota anche che per considerando dimensioni orizzontali grandi l'ingrandimento non si conserva. Si può discutere con gli studenti per realizzare come non sia importante la lunghezza assoluta dei segmenti ma la lunghezza rispetto al diametro dei contenitori: più i contenitori sono grandi più l'ingrandimento si conserva per oggetti grandi.
Il modello
Il fenomeno della rifrazione ovvero lo "spezzarsi" dei raggi luminosi passando attraverso una superficie di separazione tra due materiali (figura 2), è responsabile dell'effetto osservato. Gli studenti dovrebbero conoscere qualitativamente il fenomeno della rifrazione e sapere che un raggio luminoso devia dal percorso rettilineo nell'attraversare la superficie di separazione tra due mezzi trasparenti, a meno che non incida perpendicolarmente alla superficie, in questo caso procede in linea retta (nota 1).
Figura 2: il fenomeno della rifrazione
E' utile far vedere praticamente il percorso dei raggi luminosi nella bottiglia usando un puntatore laser, una goccia di latte sciolta nell'acqua del contenitore e il fumo di una sigaretta elettronica o un apparecchio per aerosol: le particelle di fumo (vapore) in aria e latte in acqua diffondono la luce ( effetto Rayleigh) permettendo di vedere il percorso della luce del laser.
Figura 3: a) geometria dei raggi nella bottiglia; b) geometria dei raggi nella bottiglia e relazioni tra gli angoli; osservando oggetti vicini al centro $OA'' \simeq OA$
Possiamo utilizzare una modellino geometrico per spiegare l'effetto ottico che determina l'ingrandimento dell'immagine (figura 3): consideriamo il segmento OA che abbia un estremo sull'asse del cilindro, osservando l'immagine perpendicolarmente al foglio, i raggi provenienti dal punto O sono perpendicolari alla superficie del cilindro, quindi non subiscono rifrazione. I raggi provenienti da A vengono rifratti alla superficie dell'acqua e deviati per raggiungere l'osservatore al quale sembra che l'estremo del segmento sia nel punto A' (figura 2).
Costruiamo un modellino geometrico usando lo schema della figura 3:
Indicando con $\theta_1$ l'angolo $\widehat{OO'A'}$ e con $\theta_2$ l'angolo $\widehat{OO'A''}$ si ha: $$ L_o = OA' = R sen \theta_1$$ $$L_a = OA'' = R sen \theta_2$$ dive R è il raggio del cilindro.
Discussione: parliamo di approssimazioni: mi posso semplificare la vita osservando che se si osservano oggetti abbastanza vicini all'asse $OA'' \simeq OA$ (figura 3b), in questo casosi ottiene una formula molto semplice: $$ \frac{L_o}{L_a} \simeq \frac{sen \theta_1}{sen \theta_2}\ \ \ \ \ \ [1]$$
Discussione: fino a quando posso ritenere valida l'approssimazione $OA'' \simeq OA$?
Per segmenti confrontabili con il raggio del cilindro il rapporto non è più costante (nota 2).
Il rapporto $\large{\frac{L_o}{L_a}}$ costante implica quindi che sia costante il rapporto tra il seno dell'angolo $\theta_1$ e il seno dell'angolo di $\theta_2$ [1]. Utilizzando acqua si dovrebbero osservare valori del rapporto $\large{\frac{L_o}{L_a}} \simeq \large{\frac{4}{3}}$ come si vede in figura 4.
Figura 4: l'ingrandimento orizzontale dei quadretti in acqua è 4/3
Una tabella con i valori osservati dagli studenti (indicando l'incertezza di lettura, vedi esperimento 5-Fisica) è utile per discutere i risultati e la riproducibilità delle osservazioni.
Tabella 1: sono riportati i valori di $L_o$ e $L_a$ in quadretti con l'errore di lettura $\epsilon$ e l'errore relativo $\epsilon_{rel}$. L'errore sul rapporto è calcolato utilizzando la somma in quadratura degli errori relativi su $L_o$ e $L_a$. I calcoli possono essere effettuati usando il foglio elettronico in allegato.
Dai dati della tabella si ottiene come valore medio (nota 4): $$\overline {\left(\frac{L_o}{L_a}\right)} = 1.32 \pm 0.01$$ Ricapitolando, un oggetto posto nel centro di un cilindro pieno di acqua appare ingrandito di un fattore 4/3 indipendentemente dalle dimensioni del contenitore purché esso sia grande rispetto all'oggetto.
Conclusioni
E' possibile generalizzare le osservazioni? Facciamo alcune ipotesi possibili in base all'equazione [1] e verifichiamone la correttezza. Ad esempio:
si ha $\large{\frac{L_o}{L_a}} \simeq \large{\frac{sen \theta_1}{sen \theta_2}} = \large{\frac{4}{3}}$ in tutti i liquidi (vuol dire che abbiamo scoperto una costante fisica!);
l'equazione [1] vale per tutti i liquidi ma il rapporto è diverso;
l'equazione [1] vale solo per l'acqua.
.
Si può procedere alla verifica dei modelli proposti usando un liquido differente, es. Olio di oliva o Glicerina che hanno indice di rifrazione circa 1.5 (nota 3). La nuova osservazione dovrebbe farci riconoscere che la 1 e la 3 sono false mentre è verificato il fatto che il rapporto dei seni è costante e dipende solo dalla geometria del sistema: $$ \frac{L_o}{L_a} \simeq \frac{sen \theta_1}{sen \theta_2} = K$$ ma il valore della costante K dipende dal mezzo (acqua, olio).
Potrebbe essere intuitivo stabilire che il valore del rapporto dipende sia dal mezzo esterno che dal mezzo interno ma è sicuramente più efficace riproporre l'esperimento al contrario, ovvero inserendo un cilindro vuoto in una vaschetta contenente acqua. Osservando un oggetto nel centro del cilindro, in corrispondenza del pelo dell'acqua esso appare ridotto (figura 5)!
Attenzione: la vaschetta deve avere superfici piane e i contenitori devono avere pareti sottili per evitare effetti di distorsione.
Figura 5: un contenitore vuoto immerso parzialmente in acqua: un oggetto nel centro del cilindro appare di dimensioni ridotte!
Possiamo quindi proporre la legge nel seguente modo: $$\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}\ \ \ \ \ \ \ [2]$$ oppure $$n_1 sen\theta_1 = n_2 sen\theta_2$$
dove $n_1$ e $n_2$ sono parametri caratteristici del mezzo 1 e del mezzo 2 che chiamiamo indici di rifrazione.
Nel primo caso caso $n_2=n_{acqua}= 1.33$ mentre $n_1=n_{aria}= 1.000039$; nel caso del cilindro vuoto immerso nell'acqua $n_1= n_{acqua}= 1.33$ mentre $n_2 = n_{aria}$ e il rapporto si inverte.
Legge dei punti coniugati
Lo stesso strumento può essere usato per verificare la legge dei punti coniugati per un diottro utilizzando le leggi dell'ottica geometria. Questa parte può essere proposta dopo aver fatto la parte teorica.
Per un diottro di raggio di curvatura $R_d$ in approssimazione parassiale (Gauss) l'equazione:
Figura 6: diottro sferico
$$\frac{n_p}{p} + \frac{n_q}{q} = \frac{n_p - n_q}{R_d}\ \ \ \ \ \ [3]$$ mette in relazione la posizione dell'oggetto (p) e la posizione dell'immagine (q) in funzione degli indice di rifrazione dei mezzi. Attenzione, ho usato qui la convenzione descritta in figura:
p=distanza dell'oggetto dal diottro, positiva se l'oggetto è reale;
q=distanza dell'immagine dalla superficie del diottro, positiva se nello spazio delle immagini;
$R_d$ =raggio di curvatura del diottro, positivo se il centro di curvatura è nello spazio delle immagini.
$n:p\ e n_q$ sono rispettivamente gli indici di rifrazione nello spazio degli oggetti e nello spazio delle immagini.
Nel caso 1 in esame l'oggetto (il foglio a quadretti) si trova nel centro del diottro costituito dalla superficie dell'acqua quindi:
$p=R$
$n_p=n_{acqua}$
$R_d=-R$
$n_q=1$
Si ha: q=-R ovvero si osserva un'immagine virtuale (si trova nello spazio degli oggetti, q negativo), nel centro del contenitore. La magnificazione M è definita come il rapporto tra dimensione trasversa (perpendicolare all'asse ottico) dell'immagine e la dimensione trasversa dell'oggetto e vale: $$ M = - \frac{n_p \cdot q}{n_q \cdot p} = n_p = n_{acqua}\ \ \ \ \ \ [4]$$
essendo nel nostro caso p=-q=R: l'immagine è dritta e ingrandita.
Osservando oggetti via via più grandi viene meno l'approssimazione parassiale e appaiono distorsioni dell'immagine dovute alle aberrazioni.
La soluzione dell'equazione [3] mostra che l'immagine di un oggetto posto nel centro del cilindro si trova sempre nel suo centro, indipendentemente dal raggio o dal mezzo trasparente, cosa che si era già osservata sperimentalmente.
L'equazione [4] mostra che un oggetto posto nel centro di un cilindro, produce un'immagine virtuale ancora nella posizione dell'oggetto e l'ingrandimento dipende solo dal rapporto tra l'indice di rifrazione del liquido e l'indice di rifrazione dell'aria.
Approfondimento
Si può discutere, anche solo qualitativamente, l'effetto di contenitori con pereti più spesse (es. una bottiglia di vetro) osservando come le distorsioni delle immagini e la differenza tra indice di rifrazione osservato e calcolato siano più evidenti, dovute all'effetto di rifrazione sulla superficie del vetro (indice di rifrazione $n_{vetro}$ ≈1.5).
Nel caso della Glicerina o dell'Olio l'indice di rifrazione del vetro è simile a quello del mezzo (1,5) e quindi l'effetto dello spessore delle pareti del contenitore è meno evidente.
Note e storia
Nota 1. Per mostrare il fenomeno della rifrazione si usare una vaschetta piena di acqua in cui siano state sciolte alcune gocce di latte, un puntatore laser di bassa intensità e un po' di fumo (es. sigaretta elettronica, apparecchio per le inalazioni). Il fumo nell'aria e il latte nell'acqua permettono di visualizzare il percorso del laser (diffusione di Rayleigh). In questo modo si può quindi verificare facilmente che un raggio luminoso devia dal percorso rettilineo quando passa da un mezzo trasparente ad un altro, a meno che non incida perpendicolarmente alla superficie di separazione, nel qual caso procede in linea retta. Nel caso del cilindro possiamo far vedere il percorso della luce sempre usando un laser, un po' di latte nel contenitore e un po' di fumo nell'aria intorno, può essere utile per spiegare la geometria dei raggi. Il fenomeno si può mostrare direttamente in aula oppure si possono preparare delle foto da mostrare.
Nota 2: Guardando la figura 3b: $ OA'' = R sen \theta_2$ ma se $\theta_2$ è piccolo $ OA'' \simeq R \theta_2$ e quindi $ OA = R sen \theta_2\cdot cos\theta_2 \simeq R \theta_2$
Nota 3: si può procedere direttamente alla verifica dei modelli proposti usando un liquido differente, es. Olio di oliva o Glicerina che hanno indice di rifrazione circa 1.5. Oppure si può procedere per tentativi. In questo caso potrebbe essere utile coinvolgere il docente di filosofia e abbinare il problema della verifica delle ipotesi con il concetto di falsificazione delle ipotesiproposto dai neopositivisti (K. Popper 1902-1994). Infatti se provassimo ad usare un liquido con indice di rifrazione simile a quello dell'acqua (es. si può usare etanolo o alcol etilico che hanno indice di rifrazione intorno a 1.35) difficilmente potremmo osservare un effetto e quindi ci troveremmo ad affermare di aver verificato l'ipotesi 1. In realtà, dal momento che gli indici di rifrazione sono molto simili, è semplicemente il nostro "strumento" che non ci permette di vedere la piccola differenza. Quindi non abbiamo verificato l'ipotesi 1, in realtà non siamo stati in grado di falsificarla.
Nota 4: L'errore relativo sui rapporti in tabella è stato calcolato sommando in quadratura gli errori relativi sulle letture di $L_o$ e$ L_a$: $$ \epsilon_{L_o/L_a} = \sqrt{\epsilon_{rel(L_o)}^2+\epsilon_{rel(L_a)}^2}$$
L'errore sulla media è stato calcolato dalla deviazione standard della distribuzione: $$\sigma_{\bar{x}}= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
dove n è il numero di misure.
Storia
Anche se sono poche le fonti dirette si sa che i fenomeni connessi con la rifrazione della luce (catottrica) sono stati già nell'antichità oggetto di studio insieme a molte delle problematiche legate all'ottica. Ad esempio il Postulato VI della Catottrica di Euclide (323 a.C. – 286 a.C.):
Se un corpo qualsiasi è messo sul fondo di un vaso vuoto, in modo tale da non poter essere visto al di sopra del bordo di questo, esso finisce per apparire al di sopra del bordo, se nel vaso è versata dell'acqua.
Il fenomeno della rifrazione fu trattato da Tolomeo, (100-175 d.C.) in particolare nel suo trattato sull'ottica: nel libro V dimostra come la posizione apparente dei corpi celesti rispetto all'orizzonte sia spostata verso l'alto a causa della rifrazione alla superficie di separazione tra l'esterno e l'atmosferica ed è quindi possibile osservare sul pelo dell'orizzonte l'immagine di corpi celesti posti leggermente al di sotto di esso. Nel trattato sull'ottica Tolomeo riporta anche una tabella con i valori degli angoli di incidenza e rifrazione per l'interfaccia aria/acqua. In base a questi dati egli ipotizza una legge quadratica per il rapporto tra angolo di incidenza e angolo di rifrazione. Osservando il grafico della funzione : $$\theta_2 = arcsen\left(\frac{sen\theta_1}{1.33}\right)$$ è facile convincersi che una funzione quadratica ne è un'ottima approssimazione.
Figura 6: i punti mostrano i valori dell'angolo di rifrazione $\theta_2$ in funzione dell'angolo di incidenza $\theta_1$ per l'interfaccia aria/acqua usando la legge di Snell; la curva blu è l'approssimazione ottenuta utilizzando una funzione quadratica.
I fenomeni presentati nell'articolo possono essere messi in relazione con il funzionamento delle lenti, ad esempio una semplice lente di ingrandimento piano-convessa. Data la semplicità con cui si può osservare l'effetto di magnificazione di una superficie curva, non stupisce il ritrovamento di lenti risalenti al VII a.C. (Lente di Nimrod). Al Museo archeologico di Rodi è esposto un reperto datato tra il VII ed il VI secolo a.C. che consiste di una serie di tre lenti piano-convesse realizzate in cristallo di rocca ed incastonate in cornici di bronzo che riportano simboli probabilmente indicanti l'ingrandimento della lente. Sarebbero state utilizzate per lavori di oreficeria e miniatura[Lenti].
