Si propone un metodo semplice per lo studio della rifrazione della luce e della verifica sperimentale della seconda legge di Snell usando carta millimetrata, compasso e matita.
Scheda sintetica delle attività
E' possibile osservare il percorso della luce attraverso una lastra trasparente, mediante un semplice esperimento geometrico che consiste nel posizionare degli spilli per indicare le direzione del raggio di luce incidente e del raggio di luce rifratto da una lastra. Il percorso dei raggi incidente e rifratto vengono tracciati su un foglio e attraverso considerazioni geometriche è possibile ricavare la relazione analitica che lega la velocità di propagazione della luce in aria e la velocità che la luce possiede nel mezzo attraversato (lastra). Effettuando diverse osservazioni, ovvero scegliendo diversi angoli di incidenza $\theta_i$ e prendendo in considerazione i corrispondenti angoli di rifrazione del mezzo $\theta_r$, è possibile verificare la Legge di Snell: $$\frac{sen\ \theta_i}{sen\ \theta_r} = n$$
La costante n rappresenta una grandezza caratteristica del mezzo attraversato dalla luce che prende il nome di Indice di rifrazione del mezzo.
Risorse necessarie
Lastra di plexiglass a facce piane e parallele;
foglio di carta millimetrata A4;
compasso o goniometro;
tavoletta di legno o polistrirolo;
spilli;
matite colorate;
righello;
nastro adesivo.
I materiali per la realizzazione dell' esperimento sono mostrati in figura 1. L'attività non richiede l'impiego di laser o altre precauzioni di sicurezza.
Figura 1: Materiali e strumenti per l'esperimento
Prerequisiti necessari
Conoscenze di base dell'ottica geometrica e della trigonometria.
Obiettivi di apprendimento
Imparare ad applicare un metodo grafico di analisi dei dati sperimentali, confrontando un andamento sperimentale (n. discreto di punti su piano cartesiano )con una curva teorica calcolata in base ad un modello;
verificare il modello di propagazione rettilinea della luce secondo il Principio di Fermat;
dimostrare la II legge di Snell sulla rifrazione della luce con semplici soluzioni geometriche;
saper calcolare, con il relativo errore di misura, l’indice di rifrazione di una lastra piana di materiale trasparente come grandezza adimensionale ed indipendente dalla direzione della radiazione incidente.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Scopo dell'esperimento è riconoscere e simulare il percorso di un raggio di luce che colpisce ed attraversa una lastra di materiale trasparente ed a facce piane e parallele. La traiettoria del raggio verrà individuata osservando l'allineamento di spilli opportunamente posizionati ai due lati opposti della lastra secondo lo schema in figura 2.
Figura 2: schema del percorso di un raggio di luce che attraversa una lastra trasparente
Esecuzione:
Usando il compasso disegnate sul foglio di carta millimetrata una circonferenza di raggio 10 – 15 cm. Fissate poi il foglio alla tavola di polistirolo tramite il nastro adesivo e appoggiatevi il parallelepipedo di plexiglass in modo che un suo lato coincida con il diametro AB della circonferenza (figura 3).
Inserite il primo spillo nel centro O della circonferenza.
In un punto a caso sulla semicirconferenza che delimita il semicerchio, non contenente la lastra di plexiglass, conficcate un secondo spillo (Punto C).
Guardando dalla semicirconferenza opposta, cercate una posizione per la quale i primi due spilli appaiano allineati e conficcate il terzo spillo (D) il più vicino possibile alla lastra di plexiglass, in modo che risulti allineato con gli spilli O e C.
Il quarto spillo (E) va inserito nella posizione dalla quale si vedono gli altri tre allineati, guardando dallo stesso lato di D, ma questa volta inserendolo proprio sulla semicirconferenza.
Unite i punti C,O,D,E. Si ottiene una linea spezzata che indica la traiettoria seguita dai raggi di luce (supposta monocromatica) che dallo spillo (oggetto C) giungono all’occhio (figura 4).
Figura 3: immagine dell'allineamento degli spilli osservata dal punto E dopo aver eseguito il punto 4)
Figura 4: schema della traiettoria reale (linea spezzata) percorsa dal raggio di luce per effetto della rifrazione ottica nell'attraversare la lastra
Togliendo la lastra trasparente i punti CODE non sono più allineati ma formano una linea spezzata come previsto nello schema di figura 4. Si è dimostrato così che la luce (supposta monocromatica) non si propaga in modo rettilineo quando attraversa un mezzo trasparente. L'occhio, posto in E, percepisce un'immagine virtuale dello spillo oggetto nel punto da cui gli provengono i raggi, supposti rettilinei. La reale traiettoria del raggio risulta spezzata in quanto il raggio di luce , attraversando la lastra, subisce il fenomeno della doppia rifrazione.
I segmenti CO e DE risultano paralleli. Possiamo dedurne che il valore dell'angolo di deviazione dei raggi luminosi dipende dal materiale di cui è fatta la lastra. Il raggio che passa attraverso la lastra (raggio rifratto OD) ha una direzione diversa rispetto a quella del raggio incidente: più precisamente forma con la normale alla faccia della lastra un angolo $\theta_r$minore dell’angolo $\theta_i$ formato dal raggio incidente, in aria, sulla lastra con la stessa normale (effetto della 1$^a$ rifrazione essendo $n_{aria}<n_{vetro}$.
Il raggio di entrata nella lastra (raggio incidente CO) e quello di uscita dalla lastra (raggio DE), risultano paralleli per effetto di una 2$^a$ rifrazione per il passaggio inverso lastra-aria). Quindi, la lastra non cambia la direzione del raggio che l’attraversa, ma lo sposta lateralmente.
Elaborazione dei dati sperimentali
Definizioni e dati per l'esperimento:
il raggio CO è il raggio incidente;
il diametro AB è il piano di incidenza;
GH è la normale al piano di incidenza;
$\theta_i$ è l’angolo di incidenza (angolo tra il raggio incidente e la normale alla lastra);
il raggio rifratto è OA;
$\theta_r$ è l’angolo di rifrazione (angolo tra il raggio rifratto e la normale alla superficie della lastra);
DE è il raggio che esce dalla lastra.
Applicando la propagazione dell’errore alla grandezza : $$n = \frac{sen\theta_i}{sen\theta_r}$$
l'errore relativo su n risulta essere: $$\frac{\delta n}{n} = \sqrt{ \left( \frac{\delta sen\theta_i}{sen\theta_i} \right)^2 + \left( \frac{\delta sen\theta_r}{sen\theta_r} \right)^2 }$$
Si ricordi che in generale l’errore relativo di $sen\theta$ è dato da: $$ \frac{\delta sen\theta}{sen\theta} = cot \theta \cdot \delta \theta$$
Nota: l’errore di lettura sull'angolo $\theta$, pari a ±1 deg, corrisponde a $\delta \theta = 0.02 rad.$
Analisi dei dati sperimentali di un esperimento realizzato in laboratorio
Nella Tabella 1 sono riportati i dati sperimentali della misura dell'indice di rifrazione n di una lastra trasparente per diversi angoli di incidenza.
Tabella 1: dati sperimentali; i dati e la loro analisi sono riportati anche nel file excel allegato
Dai dati della tabella si può calcolare il valore medio dell'indice di rifrazione con l'errore $$n=1.47 \pm 0.02$$ In figura 5 è rappresentato l'andamento di $sen\ \theta_i$ in funzione di $sen\ \theta_r$; i dati si dispongono approssimativamente lungo una retta. Usiamo funzione di regressione lineare del foglio elettronico (imponendo che passi per l'origine) e otteniamo n dal coefficiente angolare, risulta $$ n = 1.498$$ L'errore sulla retta di regressione lineare, calcolato risulta $\delta n = \pm 0.010$, per cui: $$ n = 1.498 \pm 0.010$$ con una precisione relativa $\epsilon_r= 0.01/1.498 = 0.7\%$.
Figura 5: retta di regressione lineare ottenuta usando i dati della tabella.
Nota: il calcolo effettuato usando la retta di regressione risulta più preciso, attenzione perché il metodo della regressione lineare assume l'ascissa come un dato esatto (privo di errore) e questo può provocare una sottostima dell'errore effettivo.
Nota: Può essere difficile reperire una lastra si plexiglas spessa, una esperienza simile si può fare utilizzando un contenitore trasparente pieno di acqua (o liquido trasparente). La cosa importante è che le pareti del contenitore siano parallele e sottili, pareti spesse introducono un errore sistematico sulla determinazione dell'indice di rifrazione del liquido contenuto.
Verifiche:
Verificate graficamente che, secondo la legge di Snell, al variare dell’angolo di incidenza varia l’angolo di rifrazione e che il rapporto $sen\theta_r/sen\theta_i$ rimane approssimativamente costante; determinate quindi l’indice di rifrazione n (del plexiglass rispetto all’aria) e la relativa incertezza
Considerate adesso il raggio OD, quello interno alla lastra, come raggio incidente e DE, quello uscente dalla lastra piana, come raggio rifratto dal sistema plexiglass-aria. Verificate che, ripetendo l’esperienza precedente, dopo aver spostato il centro della circonferenza da O a D, l’indice di rifrazione dell’aria rispetto al plexiglass è pari a 1/n.
Considerazioni finali e quesiti
Riferendosi alla figura della pagina precedente, sia R il raggio della circonferenza. Spiegate perché i risultati sono indipendenti dal valore di R.
Sempre con riferimento alla configurazione descritta nella figura menzionata, eliminate lo spillo C lasciando gli altri nella loro posizione. Considerate ora ED come raggio incidente. Osservando dallo spazio 1 dove bisognerebbe mettere lo spillo – oggetto per i punti E, D e O ?
