Sostanze otticamente attive, come lo zucchero costituite da molecole contenenti atomi di carbonio in posizione asimmetrica, hanno la proprietà di ruotare il piano di polarizzazione della luce. La rotazione avviene attorno alla direzione di propagazione in verso orario o antiorario a seconda delle sostanze disciolte nella soluzione. Una soluzione zuccherina interposta tra un polarizzatore ed un analizzatore con piani perpendicolari fa sì che parte della luce già polarizzata riesca ad attraversare l’analizzatore. Noto l’angolo di rotazione dell'analizzatore che si rende necessario per annullare la porzione di luce trasmessa, si ricava la concentrazione dello zucchero nella soluzione. Su tale principio si basa il funzionamento dello strumento chiamato polarimetro impiegato per determinare la concentrazione  o la purezza degli zuccheri.

Per ragioni di sicurezza il fascio laser deve assolutamente sempre essere  diretto in modo da incidere sullo schermo. Mentre si inseriscono i filtri e la vaschetta trasparente spegnere il laser oppure porre davanti ad esso un ostacolo assorbente  per evitare riflessioni incontrollate nocive per la retina dell’occhio.

Figura 1 mostra l'apparato sperimentale;  la luce emessa dal laser deve attraversare il primo polaroid (polarizzatore), poi passa attraverso la soluzione zuccherina per tutta lo spessore della vaschetta,, attraversa il secondo polaroid (analizzatore) e poi colpisce lo schermo. 

Ruotando l'analizzatore si ottiene la sparizione dello spot luminoso sullo schermo.  Figura 2  visualizza il tracciato del raggio luminoso attraverso il polarizzatore, la vaschetta di cammino ottico L e l'analizzatore prima di colpire lo schermo.

L'angolo $\beta$ di rotazione della polarizzazione dipende dal potere rotatorio della molecola otticamente attiva in soluzione e dal numero di molecole con le quali il fascio di luce interagisce, numero a sua volta dipendente dalla concentrazione e dallo spessore della soluzione attraversata. Altri parametri da cui dipende la rotazione sono la temperatura e la lunghezza d'onda della luce. Per esempio, nel visibile, tale rotazione è maggiore per la luce blu che per quella rossa. In sostanza, quando luce bianca polarizzata emerge dalla soluzione trasparente, i suoi colori non vibrano più tutti nello stesso piano: un filtro polarizzatore è perciò in grado di fermare alcuni colori e farne passare altri, sicché non c’è estinzione totale della luce.

Per una maggior  completezza, si è deciso di  utilizzato sia luce monocromatica (rossa) che luce bianca  della torcia elettrica  lavorando a temperatura ambiente.

Utilizzando comune zucchero bianco ed acqua potabile, conviene ignorare le complicazioni dovute alla presenza di impurità, che hanno principalmente l'effetto di ridurre l'angolo di rotazione della luce polarizzata. Misure con attendibilità scientifica esigono invece strumentazione specifica e grande accortezza nella preparazione delle soluzioni.

Il primo set di misure  viene eseguito a spessore fissato (la lunghezza  della vaschetta) variando la concentrazione della soluzione zuccherina. Innanzitutto verificare che se  il polarizzatore e l’analizzatore sono “incrociati” (a 90°) e se  la vaschetta interposta  è vuota, si ha  estinzione totale della luce ad opera dell 'analizzatore.

Le misure sono state eseguite in una stanza buia per apprezzare meglio i massimi e i minimi di luminosità sullo schermo. L’occhio umano infatti è molto “sensibile” alle variazioni di intensità luminosa (ed insensibile alla polarizzazione della luce).

Il valore atteso del potere rotatorio per il saccarosio a 25 °C  è R=6,7 °/m % (6,7 gradi per ogni metro di soluzione e per ogni percento di concentrazione) per la luce gialla del sodio $\lambda = 589\ nm$.

Nelle determinazioni polarimetriche il potere rotatorio specifico di una sostanza viene definito nel modo seguente:
$$R_{\lambda} =\frac{\beta}{l \cdot c}$$
dove $R_{\lambda}$ indica  il potere rotatorio specifico alla temperatura t per luce di lunghezza d'onda $\lambda$  in un solvente noto;
$\beta$  è l’attività ottica ossia l'angolo di rotazione del piano di polarizzazione della luce, misurato in gradi sessagesimali;
$l$   è lo spessore di soluzione attraversato dal fascio laser misurato in metri;
$c$ è  la concentrazione relativa espressa in $\large {\frac{grammi\ di\ soluto}{grammi\ di\ soluzione}}$.

L’attività ottica dipende dunque linearmente dalla concentrazione percentuale c e dalla lunghezza  l del campione secondo la relazione nota come legge di Biot scoperta nel 1815: $$ \beta = R_{\lambda} \cdot l \cdot c$$ Per verificare la doppia linearità in spessore e in concentrazione  abbiamo effettuato misure fissando l’uno e variando l’altro.

Disposta la sorgente laser ad una distanza di circa 0,5 m dallo schermo, si pone sul cammino della luce il primo filtro (polarizzatore) ruotando il laser in modo da ottenere il massimo nella trasmissione della luce con il filtro disposto perpendicolarmente (il laser emette luce già parzialmente polarizzata). Successivamente si posiziona il secondo filtro (analizzatore) orientato in modo che si abbia il minimo nella trasmissione di luce, cioè in posizione di estinzione. Fra i due filtri viene quindi posta la vaschetta contenente la soluzione precedentemente preparata ed accuratamente mescolata, soluzione valutata in percentuale come rapporto tra massa del soluto e massa complessiva della soluzione. Le pareti della vaschetta attraversate dal fascio laser devono essere ad esso ortogonali. Quel che si osserva è un aumento dell'illuminamento sullo schermo: l’analizzatore non blocca più completamente la luce che proviene dal polarizzatore e che ora ha attraversato la soluzione. Per riportare l’illuminamento al minimo, come all'inizio dell'esperienza, è necessario ruotare l'analizzatore di un angolo che viene letto sul goniometro in gradi sessagesimali: questo angolo evidentemente compensa la rotazione del piano di polarizzazione della luce uscente dalla soluzione rispetto a quello della luce entrante.

Con luce laser il minimo di illuminamento corrisponde all’estinzione completa, mentre con luce bianca si osserva un minimo colorato. Nella esecuzione delle misure porre attenzione agli errori di parallasse dovuti alla lettura del goniometro posto sui polarimetri. In tabella 1 i dati ottenuti sciogliendo il saccarosio in 100±1 g di acqua:

                     

 

Nella seconda colonna della tabella 1 sono riportate le concentrazioni percentuali in massa con i rispettivi errori delle soluzioni acquose preparate con comune zucchero commerciale. L’errore sulla concentrazione si ottiene propagando statisticamente l’errore sul quoziente
$$ \frac{massa\ soluto}{massa\ soluzione}$$ avendo precedentemente tenuto conto delle tare usate (masse dei bicchieri). Le relazioni utilizzate sono le seguenti:
$$ c = \frac{m_{zucch}}{m_{acqua} + m_{zucch}}$$ $$\sigma _c = c \cdot \sqrt {\left( \frac{ \sigma_{zucch}}{m_{zucch}}\right)^2 +  \left( \frac{ \sigma_{soluz}}{m_{soluz}}\right)^2} $$
Le concentrazioni sono state ottenute a partire da una quantità di acqua fissata(100 g) e aggiungendo successivamente quantità di  zucchero  come in tabella 1.
Nelle altre colonne della tabella sono indicati i valori dell'angolo di rotazione della polarizzazione per due diversi cammini ottici attraverso la soluzione,  pari a l = 47 mm ed l = 100 mm (le due distanze tra le facce interne della vaschetta, girata opportunamente rispetto alla direzione del fascio luminoso); le misure sono state eseguite utilizzando sia luce laser ($\lambda\ \simeq \ 635 \div 670 nm$) che luce bianca di una torcia.

           

L'esame dei dati di fig. 3  mostra un andamento tendenzialmente in accordo con le previsioni: l'angolo di rotazione, pari a $85^0 -\beta$, aumenta al crescere della quantità di zucchero disciolto nell'acqua e al crescere della lunghezza del cammino ottico nella soluzione. Lo stesso dicasi per luce bianca da torcia, come in figura 4. 

           

Ponendo a confronto i grafici di figura 3 e figura 4 si evince dalla pendenza delle rette una rotazione maggiore per la luce bianca ed una separazione angolare relativa maggiore con luce laser che non per luce bianca. Nelle figure 5 e 6 sono riportati i confronti:

Effettivamente,  la presenza di molteplici componenti cromatiche nella luce bianca della torcia modifica il potere rotatorio del disaccaride, aumentandone il valore.

I coefficienti angolari delle rette di best fit rappresentano i poteri rotatori relativi alla lunghezza del cammino ottico nella soluzione zuccherina e alla luce utilizzata. Utilizzando i valori delle regressioni lineari ottenute con l'uso del software di analisi Logger PRO si ottengono i dati della tabella  2 (ovviamente si possono usare fogli elettronico come EXCEL  per grafici e calcoli)

Data la precisione maggiore ottenibile con luce laser sono stati eseguiti due serie di misure di rotazione della polarizzazione fissando la concentrazione e variando lo spessore o cammino ottico. I dati sono riportati nella tabella 3. La concentrazione del 25% è stata ottenuta sciogliendo 100±1 g di saccarosio in in 300±1 g di acqua, sufficienti a riempire i contenitori disponibili.  La concentrazione del 34% ha richiesto circa 150±1 g di saccarosio per 300±1 g di acqua. E' bastato aggiungere lo zucchero mancante alla precedente soluzione. Nel travasare le soluzioni da un contenitore ad un altro si perdono piccole quantità di acqua che possono indurre errori trascurabili nel calcolo delle concentrazioni.

I grafici dei dati sperimentali sono riportati nelle figure 7 e 8 assieme con le rette di regressione lineare ottenute

         

         

 

All'aumentare della concentrazione l'attività ottica diventa molto più pronunciata e lo stesso dicasi all'aumentare del cammino ottico. I valori del potere rotatorio sono ricavabili dai coefficienti angolari delle rette:

Ora si possono calcolare i poteri rotatori R del saccarosio, che si misurano in gradi per ogni metro di soluzione e per ogni percento di concentrazione; per fare ciò bisogna dividere i primi quattro valori di R trovati per lo spessore della soluzione espresso in metri, gli ultimi due valori di R per la concentrazione (avendo avuto cura di esprimere i millimetri al denominatore in metri). Alla fine per il potere rotatorio R si ottengono i valori in tabella 5; gli errori quotati sono stati valutati con la propagazione degli errori.

 I valori ottenuti sono confrontabili con il valore teorico $ R=6,7\ \left(  gradi \cdot m^{-1} \cdot \%^{-1}  \right) $; la media ottenuta dalle 4 misure con luce laser è $ R_{rosso}= 6,2\ \left( gradi \cdot m^{-1} \cdot \%^{-1} \right)$ con un'incertezza di circa 10% (in base agli errori stimati sulle singole misure). Nel caso di luce bianca si osservano valori sistematicamente maggiori con valore medi  $R_{bianca}= 9,2\ \left( gradi \cdot m^{-1} \cdot \%^{-1} \right)$  con un'incertezza del 10%. 
Questo è causato da un errore sistematico dovuto alla difficoltà ad individuare un unico angolo di rotazione a causa delle diverse componenti dei colori della luce.

I valori di R misurato con luce laser sono consistenti con il valore di riferimento pari 6,7 gradi/(m%) per la luce gialla del sodio (λ = 589 nm).

I due valori di R relativi alla luce bianca si discostano abbastanza dal valore di riferimento; d’altronde nella luce bianca sono incluse tutte le lunghezze d’onda dello spettro visibile, tutte più piccole di quella relativa al rosso. 
Infatti in letteratura è noto che la rotazione del piano di polarizzazione della luce dipende oltre che dallo spessore della sostanza otticamente attiva e dalla concentrazione anche dalla lunghezza d’onda della luce impiegata, secondo la relazione di dispersione detta formula di Cauchy:
$$\beta = R_{\lambda} \cdot l \simeq \frac{A(T)}{\lambda ^2} \cdot l $$
dove la grandezza A dipende dal tipo di materiale e dalla temperatura T.

Poiché R dipende in maniera inversamente proporzionale dal quadrato della lunghezza d’onda, utilizzando luce bianca non si può ottenere estinzione completa al di là dell’analizzatore polaroid, poiché le varie lunghezze d’onda subiscono una rotazione differente.

 A questo proposito,  per poter apprezzare  meglio la dipendenza di R dalla lunghezza d’onda, sarebbe preferibile usare due sorgenti monocromatiche invece che una monocromatica ed una bianca; sono  infatti reperibili ad un costo esiguo anche dei laser in luce verde.

Il potere rotatorio specifico (PRS) può essere utilizzato per misurare la concentrazione di una soluzione zuccherina.
Occorre prima fare alcune precisazioni sui valori dei poteri rotatori specifici dei saccaridi, così come reperibili dalla rete, per non incorrere in facili errori.  In molte tabelle il PRS o potere rotatorio specifico viene misurato  in [°/(dm  [g/ml])] in quanto la concentrazione è espressa in  g/ml  di soluzione, mentre il cammino ottico è espresso in dm.  Ragion per cui ottenuto il PRS in °/(m%) occorre convertirlo nelle unità  [°/(dm  [g/ml])]  prima di confrontarlo con i valori generalmente riportati. Per questo occorre tenere presente che sussiste la seguente equivalenza per la concentrazione:
$$ c = \frac{m_{soluto}}{m_{soluto}+m_{solvente}}=\frac{c \left[ \frac{g}{ml}\right] }{c \left[ \frac{g}{ml}\right] +\rho_{solvente} \left[ \frac{g}{ml}\right]}$$
da cui  l'utile relazione di conversione per le concentrazioni:
$$c \left[ \frac{g}{ml}\right] = \frac{c}{1-c} \cdot \rho_{solvente}  \left[ \frac{g}{ml}\right] $$
Con $\rho$ si è indicata la densità del solvente, nel nostro caso acqua,  che, sebbene concettualmente diversa dalla concentrazione, si può omogeneamente esprimere in g/ml. Effettuata anche la conversione da m a dm, (basta un fattore 10 al denominatore del PRS), si ottiene il potere rotatorio in  [°/(dm  [g/ml])] .

Se la misura è stata eseguita ad una lunghezza d'onda $\lambda'$ diversa dalla lunghezza d'onda della riga di riferimento D del sodio ($\lambda = 589,33\ nm$) bisogna tener conto che il potere rotatorio dipende anche dalla lunghezza d'onda della sorgente luminosa oltre che dalla temperatura secondo la su riportata formula di Cauchy:
 $$\beta = R_{\lambda} = \frac{A(T)}{\lambda ^2}  $$
 Il valore del PRS $R_{\lambda'}$ ottenuto con la sorgente a $\lambda' \ne \lambda$ va quindi normalizzato mediante la relazione:
$$R_{\lambda} = \left(\frac{\lambda'}{\lambda} \right)^2 \cdot R_{\lambda'}$$
 Inoltre se la misura è eseguita a temperatura notevolmente diversa dalla temperatura ambiente di  20 °C, assunta come valore standard di  riferimento, va effettuata la correzione ulteriore seguente:
$$ R_{\lambda} (T) =  R_{\lambda} (20\ °C ) + n \cdot \left(20\ °C  - T \right)$$
dove il parametro n  è tipico della sostanza.

Fatte le dovute correzioni si può confrontare il valore ottenuto con quelli riportati in tabella n. 6, per alcuni saccaridi.

Noto il potere rotatorio di una certa molecola per luce di una data lunghezza d’onda si può scrivere la concentrazione non nota $c_x$ in funzione dell'angolo di rotazione $\beta$:
$$c_x = \frac{\beta}{l \cdot R_{\lambda}}$$ :
Questa relazione permette di risalire alla concentrazione dalla misura dell’angolo di rotazione,  usando la retta sperimentale come retta di taratura dell'apparato.

Questa attività è stata svolta in classe quinta  in concomitanza col collega di scienze che ha sviluppato nelle sue ore  saccaridi, polisaccaridi,  simmetrie, isomerie e attività ottica.

Di Iorio Giacomo