Studio dell'andamento della forza tra due dipoli magnetici in funzione della distanza tra essi.

Si misura la forza che si esercita tra due dipoli magnetici in funzione della distanza tra quest'ultimi e se ne determina la legge.

Nessuna

Il setup sperimentale per realizzare correttamente questo esperimento è mostrato in figura 1;

 La legge che descrive l'andamento della forza esercitata tra due monopoli magnetici è:
$$F = \mu \frac{m_1m_2}{4 \pi r^2}$$
dove $\mu$  è la permeabilità magnetica del mezzo, m è la forza del polo magnetico (espressa in $A \cdot m$) e $r$ è la distanza tra i due monopoli. Si ottiene un'espressione analoga nel caso di due dipoli magnetici, se si considera l'approssimazione di dipolo puntiforme. Per ricavarla, partiamo dalla legge che descrive l'andamento della forza tra magneti cilindrici di raggio $R$ e lunghezza $L$ con i poli allineati  quando la distanza x tra di essi è $>> R$, data da:
$$F\left( x \right) = \frac{\pi \mu_0}{4} M^2 R^4 \left[ \frac{1}{x^2} +  \frac{1}{\left(x + 2L\right)^2} - \frac{2}{\left( x+L\right)^2} \right]$$
dove $M$ è la magnetizzazione dei magneti.
In approssimazione di magnete puntiforme (ovvero $L<<x$) la forza F è approssimabile con la seguente relazione:
$$F\left(x \right) = \frac{3 \pi \mu_0}{2} M^2 L^2 R^4 \frac{1}{x^4}$$
Infatti:
$$ \left[ \frac{1}{x^2} +  \frac{1}{\left(x + 2L\right)^2} - \frac{2}{\left( x+L\right)^2} \right] =\frac{6x^2L^2+12xL^3+4L^4}{x^2 \cdot \left(x+2L\right)^2 \cdot  \left(x+L\right)^2}  \simeq \frac{6L^2}{x^4}$$
avendo approssimato il numeratore $ \left(6x^2L^2+12xL^3+4L^4\right) \simeq 6x^2L^2$ e il denominatore $ x^2 \cdot \left(x+2L\right)^2 \cdot  \left(x+L\right)^2 \simeq x^6$. Questo è possibile perché, ad esempio, il termine $12xL^3 << 6x^2L^2$ essendo $L<<x$, e analogamente per gli altri termini trascurati.
Considerando che l'effettivo dipolo magnetico m è dato da  $m = MV$, dove V è il volume del magnete cilindrico, la forza può essere riscritta come:
$$F = \frac{3 \mu_0}{2 \pi} M^2 V^2 \frac{1}{x^4} =   \frac{3 \mu_0}{2 \pi}m^2 \frac{1}{x^4}\ \ \ \ \ \ \ [1] $$
La legge [1] descrive l'andamento della forza tra due dipoli magnetici nell'approssimazione di dipolo puntiforme. Ci aspettiamo quindi che, variando la distanza tra i dipoli magnetici, la forza vari come l'inverso della quarta potenza della distanza stessa.

Per verificare la relazione tra forza magnetica e distanza tra i dipoli si raccolgono i valori letti sulla bilancia in funzione della distanza tra i due dipoli, misurata ad esempio utilizzando un millimetro attaccato al cilindro oppure un righello. Il grafico finale si costruisce riportando sull'asse delle $y$ i valori della forza espressa in Newton e sull'asse delle $x$ la distanza tra i due dipoli espressa in metri. Per ottenere il valore della forza in Newton, a partire dal peso letto sulla bilancia (misurato in g) è necessario tenere conto del fattore di conversione da grammi a kilogrammi ($10^{-3}$) e moltiplicare per l'accelerazione gravitazionale $g = 9,81 m/s^2$.
I valori misurati in questo esperimento sono riportati nella tabella 1.

Nel grafico mostrato di seguito si può osservare l'andamento esponenziale della forza in funzione della distanza tra i dipoli magnetici e il conseguente fit:

L'andamento aspettato a partire dalle ipotesi teoriche è  $F = k \cdot x^{-n}$ . La funzione scelta per il fit è del tipo $y = a \cdot x^b$ e il fit ha restituito i valori di:
$$ a = 9,24\ N;  \hspace{3 cm}  b =-3,9 \pm 0,2$$

Il risultato sperimentale è quindi in accordo con il valore teorico atteso per la potenza di $x$.

Può essere interessante ed istruttivo (oltre a "semplificare la vita") passare ai logaritmi, per poter ottenere un andamento lineare. Per poter ottenere questo risultato bastano pochi semplici passaggi matematici. A partire dalla legge
$F = k \cdot x^{-n}$ si passa a:
$$ log \left( F \right) = log \left( k \cdot x^{-n} \right) = log \left(k \right) + log \left(x^{-n} \right) = log \left(k \right) - n \cdot log\left( x \right)$$
ottenendo un andamento lineare del tipo $y = m \cdot x + q$ con $m = -n$ e $ q = log \left(k \right)$. con  e  .

Nella tabella 2 e nel grafico di figura 3 sono riportati i logaritmi dei dati sperimentali e il corrispondente andamento:

Il fit restituisce il valore $$m = -4,2 \pm 0,4$$  
ovvero un esponente compatibile con $-4$   per la potenza di $x$. 
Di conseguenza, ancora una volta, si ottiene che la forza tra i dipoli magnetici è proporzionale all'inverso della quarta potenza della distanza tra i dipoli stessi, come previsto dalla teoria.

Il concetto di "espansione in serie" è uno degli concetti fondamentali della fisica, ci permette di semplificare un modello complesso usando un'approssimazione polinomiale via via più complessa (approssimazioni successive). Nella pratica avvicinarci alla soluzione di un problema complesso utilizzando approssimazioni successive. Le serie newtoniane (Wiki) risalgono appunto ai lavori di Newton alla fine del 1600 (link), tra queste l'espansione della funzione: 
$$f\left( x \right) = \frac{1}{1+x} \simeq 1-x+x^2-...$$
è importante per capire alcune leggi importanti in meccanica, come la forza peso e l'energia potenziale gravitazionale in prossimità della superficie della terra; infatti:
$$ F_G = G \frac{M_Tm}{\left(R_T + h\right)^2} \simeq mg; \hspace{3cm}
U(h) =  G \frac{M_Tm}{R_T + h} \simeq C + mhg $$

Possiamo usare gli argomenti di Newton per introdurre l'espansione in serie in una classe di liceo ben prima di formalizzare le regole di derivazione e le serie. 
Sia: $$ S= 1-x+x^2-x^3 ...$$ una somma di infiniti termini.  Moltiplichiamo tutti i termini per x e otteniamo ancora una serie di infiniti termini: 
$$xS = x-x^2+x^3-x^4...$$
Se ora sommiamo le due serie otteniamo: 
$$ xS + S =1 \longrightarrow S = \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+...$$
quando x è minore di 1  posso decidere dove fermarmi nell'approssimazione.
 
Utilizzare l'espansione in serie  per approssimare (semplificare) una legge fisica complessa può essere un valido esercizio di "matematica" applicata.

Meneghini Carlo
Carlini Laura