L'esperimento studia il processo di carica di un condensatore attraverso la costruzione di un circuito elettrico; con una minima modifica al circuito, è possibile indagare anche il processo di scarica. Viene suggerito un procedimento di linearizzazione per la misura della costante di tempo del circuito.
L'esperimento propone inoltre la costruzione dei grafici della tensione e della corrente al variare del tempo.
Scheda sintetica delle attività
Si realizza un circuito elettrico composto da un generatore di tensione continua che alimenta un condensatore con una resistenza in serie. Un voltmetro viene usato per la misura della differenza di potenziale (d.d.p.) ai capi del condensatore.
Si misurano i valori di tale d.d.p. al variare del tempo.
Si ripetono i punti 1 e 2 per il circuito di scarica.
Si riconosce la relazione funzionale tra d.d.p ai capi del condensatore e il tempo (eventualmente sia durante la carica sia durante la scarica).
Si ricava il valore della costante di tempo del circuito, tramite un fit lineare della relazione linearizzata tra d.d.p e tempo.
Si ricava la capacità del condensatore.
Risorse necessarie
Generatore di tensione continua;
cavi di collegamento;
basetta per la realizzazione di circuiti elettrici;
1 tasto a tre vie (deviatore o SPDT);
1 resistenza elettrica;
1 condensatore;
1 voltmetro per misurare la tensione ai capi del condensatore;
programma di analisi dati o foglio di calcolo.
Prerequisiti necessari
Conoscere e saper operare con la funzione esponenziale e logaritmo (la conoscenza di derivate e integrali elementari facilita la comprensione dell'andamento temporale delle grandezze coinvolte);
conoscere il funzionamento dei circuiti elettrici in corrente continua e i suoi elementi (generatore di tensione, resistenza, condensatore)
conoscere gli errori di lettura e la loro propagazione;
saper realizzare un grafico (eventualmente anche su carta logaritmica);
saper utilizzare un foglio di calcolo.
Obiettivi di apprendimento
Costruire un circuito elettrico utilizzando in particolare componenti polarizzati (condensatore elettrolitico);
saper misurare grandezze elettriche;
imparare a verificare una legge fisica;
saper determinare la costante di tempo di un circuito;
effettuare misure indirette e saperne valutare la relativa incertezza;
saper elaborare dati sperimentali e in particolare saper linearizzare una relazione tra grandezze fisiche.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna. Si faccia solo attenzione nel caso di utilizzo di condensatori elettrolitici, rispettando la polarità dell'elemento.
Svolgimento
Carica del condensatore
Assemblare i componenti come in figura 1. Se si utilizza un condensatore elettrolitico, prestare attenzione alla polarità. Il voltmetro deve essere collegato in parallelo al condensatore, in modo di misurarne la tensione ai capi.
Figura 1: circuito utilizzato per lo studio del processo di carica del condensatore.
Tramite il deviatore (o interruttore) si collega il condensatore al generatore, in modo che si carichi. Il processo segue la legge: $$V(t) = \mathcal{E}\,\left( 1-\textrm{e}^{-\dfrac{t}{RC}} \right) \, ,$$ dove $\mathcal{E}$ è la d.d.p. ai capi della batteria o del generatore.
Pertanto, la tensione ai capi del condensatore all'inizio ($t=0$) è nulla, poi cresce fino a raggiungere il valore $\mathcal{E}$ fornito dal generatore: dopo molto tempo il condensatore ha accumulato la massima carica che può trattenere a quella d.d.p. e nel circuito (in particolare nella resistenza $R$) non scorre più corrente.
La scala di tempo sulla quale si svolge questo processo è data dalla costante di tempo $\tau=RC$: dopo un tempo pari a circa 5 volte la costante di tempo, la differenza tra la tensione ai capi del condensatore e il valore $\mathcal{E}$ è inferiore all'1%.
Verifica dell'andamento temporale della tensione ai capi del condensatore
Posizionare l'interruttore/deviatore in modo tale che il condensatore non sia collegato al generatore.
Selezionare una seria di valori di tensione, tra $0$ ed $\mathcal{E}$.
Uno studente, dopo un breve conto alla rovescia, agisce sull'interruttore, collegando in questo modo il condensatore al generatore.
Un altro studente (o più studenti, ciascuno con il proprio cronometro, in caso di gruppi più numerosi) avvia il cronometro e lo ferma quando il voltmetro segna il valore prefissato di tensione; questo procedimento comporta un errore di lettura che andrà stimato.
Viene registrato il tempo, procedendo più volte con lo stesso valore di tensione e eseguendo la media dei valori ottenuti;
Si ripete il procedimento per il numero desiderato di valori di tensione.
Si realizza un grafico della tensione ai capi di $C$ in funzione del tempo, per verificare qualitativamente se il fenomeno segue la legge indicata. Si consiglia di utilizzare un foglio di calcolo per sovrapporre ai dati sperimentati l'andamento atteso.
Misura della costante di tempo del circuito
Per misurare la costante di tempo $\tau = RC$ del circuito, o in ogni caso per verificare in maniera alternativa che il processo segua il modello matematico proposto, è conveniente eseguire un procedimento di linearizzazione.
Ripartiamo dalla relazione che esprime la tensione ai capi di $C$ al variare del tempo: separando il termine esponenziale e eseguendo il logaritmo naturale dei due membri, si ottiene la relazione : $$\ln{\left(1-\dfrac{V(t)}{\mathcal{E}}\right)} = -\dfrac{1}{\tau}t \, .$$
Interpretando ora come nuove variabili $y=\ln{\left(1-\dfrac{V(t)}{\mathcal{E}}\right)}$ e $x=t$, si ha tra esse una relazione lineare con coefficiente angolare $m=-\frac{1}{\tau}=-\frac{1}{RC}$.
Possiamo riportare i corrispondenti valori su un grafico, oppure utilizzare un foglio di carta logaritmica.
Dalla stima del coefficiente angolare del fit lineare si ottiene una stima della costante di tempo, dalla quale, misurato il valore di $R$, si ottiene infine una stima di $C$.
Dati sperimentali e loro analisi
Nel nostro caso, era: $$\mathcal{E}=24 \, V \, ,$$ $$R = \left( 4.68 \pm 0.04 \right) \, k\Omega \, .$$ I dati sperimentali sono riportati in tabella 1, nella quale i valori di $t$ rappresentano la media su 5 misure, con relativo errore.
Tabella 1: dati relativi al processo di carica del condensatore.
La rappresentazione grafica di questi dati, la relazione linearizzata e il rispettivo fit sono mostrati in figura 2.
Figura 2: rappresentazione grafica dei dati sperimentali di $V_C$ e di $\ln(1-V_C/\mathcal{E})$ in funzione del tempo durante il processo di carica; è mostrato anche il fit lineare della relazione $\ln(1-V_C/\mathcal{E})$ vs. $t$.
Dal fit lineare, si ottengono i parametri: coefficiente angolare $m=-\dfrac{1}{\tau} = \left( -0.081 \pm 0.001 \right) \, 1/s \, ,$ intercetta $q= -0.02 \pm 0.02 \, ,$ quindi compatibile con il valore atteso zero.
Si ricava così la stima della costante di tempo: $$ \tau = -1/m = \left( 12.3 \pm 0.2 \right) \, s \, ,$$ e, da questa, il valore della capacità del condensatore: $$ C = \dfrac{\tau}{R} = \left( 2.64 \pm 0.04 \right) \, mF \, .$$
Scarica del condensatore
Con la stessa strumentazione e procedimenti simili, è possibile esaminare anche il processo di scarica del condensatore. Modificando il circuito come in figura 3, prima il condensatore viene collegato al generatore in modo che si carichi, poi (agendo sul deviatore), il condensatore viene scollegato dal generatore e cortocircuitato sulla resistenza: la carica accumulata nel condensatore inizia a scorrere nella resistenza, fino a quando il condensatore non si sia completamente scaricato.
Figura 3: circuito utilizzato per lo studio del processo di scarica del condensatore.
Il processo segue la legge:
$$V(t) = \mathcal{E}\,\textrm{e}^{-\dfrac{t}{RC}} \, ,$$ pertanto la relazione linearizzata è $$\ln{\dfrac{V(t)}{\mathcal{E}}} = -\dfrac{1}{\tau}t \, .$$
Si ripetono le procedure e l'analisi in modo analogo a quanto fatto per il fenomeno di carica.
Nel nostro caso (con gli stessi componenti) abbiamo ottenuto i dati in tabella 2, con i relativi grafici in figura 4.
Tabella 2: dati relativi al processo di scarica del condensatore.
Figura 4: rappresentazione grafica dei dati sperimentali di $V_C$ e di $\ln(V_C/\mathcal{E})$ in funzione del tempo durante il processo di scarica; è mostrato anche il fit lineare della relazione $\ln(V_C/\mathcal{E})$ vs. $t$.
Nuovamente, dal fit lineare, si ottiene: coefficiente angolare $m=-\dfrac{1}{\tau} = \left( -0.00884 \pm 0.0006 \right) \, 1/s \, ,$ intercetta $q= 0.009 \pm 0.009 \, ,$ di nuovo compatibile con il valore atteso zero.
Si ricava una seconda stima della costante di tempo: $$ \tau = -1/m = \left( 11.3 \pm 0.1 \right) \, s \, ,$$ e, da questa, il valore della capacità del condensatore: $$ C = \dfrac{\tau}{R} = \left( 2.42 \pm 0.03 \right) \, mF \, .$$ Abbiamo ottenuto nei due casi valori della costante di tempo e quindi di $C$ simili, anche se non compatibili in base all'incertezze di misura quotate. E' presumibile quindi che siano stati sottostimati gli errori di misura; presumibilmente e' stata sottostimata l'incertezza inerente il processo di lettura del tempo in corrispondenza di valori fissati di d.d.p.
Osservazioni e accorgimenti
Può essere interessante notare e verificare che la costante di tempo $\tau=RC$:
dipende solo dalla caratteristiche dei componenti $R$ e $C$: in particolare, essa non dipende dal valore della tensione fornita dal generatore (questo può essere verificato ripetendo il procedimento per valori diversi di $\mathcal{E}$);
presenta lo stesso valore sia per la carica sia per la scarica del condensatore.
Tra una misura e l'altra, assicurarsi sempre che il condensatore sia completamente carico/scarico (a seconda del fenomeno che si sta analizzando): sarà sufficiente attendere un tempo pari a (5-6) volte il valore di $\tau$.
Note e storia
I supercondensatori
Un condensatore è in grado accumula energia elettrica, così come fa una batteria chimica, ma rispetto ad una batteria i condensatori possono essere caricati e scaricati molto rapidamente, quasi istantaneamente, garantendo così un'elevata potenza. Essi hanno inoltre una resistenza interna trascurabile e, soprattutto, un numero di cicli di carica/scarica molto più elevato rispetto alle batterie. I principali svantaggi di un condensatore rispetto ad una batteria chimica sono la bassa quantità di energia immagazzinata e il fatto che questa non può essere immagazzinata per tempi lunghi. I recenti sviluppi tecnologici hanno portato alla realizzazione di supercondensatori, capaci di accumulare diversi kF, si proprio diverse migliaia di Farad, in grado quindi di accumulare anche grandi quantità di energia. I (super-)condensatori permettono di soddisfare il bisogno di energia a breve termine, grazie alla possibilità di caricarsi e scaricarsi rapidamente. Al contrario le batterie sono scelte per fornire energia a lungo termine. La combinazione di condensatori e batterie permette di costruire sistemi ibridi per ridurre gli stress indotti sulle batterie (esempio nelle auto) in caso di necessità di elevate potenze.
I supercondensatori sono efficaci per colmare i vuoti di potenza nelle applicazioni elettriche, alla stregua di un volano per le applicazioni meccaniche. Il Giappone impiega anche grandi supercondensatori. La velocità di carica durante la frenata e la possibilità di fornire elevate correnti richieste in accelerazione rendono i supercondensatori utili per i veicoli ibridi e totalmente elettrici. Sistemi che impiegano i supercondensatrori sono utilizzati per la stabilizzazione della tensione per il traffico ferroviario (link).
