Il percorso didattico propone un metodo per la misura della resistenza elettrica, fornendo al tempo stesso l'opportunità di approfondire la comprensione del funzionamento dei circuiti elettrici e della legge di Ohm.

Si montano due schemi circuitali diversi per eseguire la misura, avendo cura  ai valori di correnti e tensioni, in modo di non danneggiare gli strumenti di misura; si esegue l'analisi circuitale verificando che i due schemi forniscono una misura rispettivamente in difetto e in eccesso del valore nominale. Si eseguono le misure di corrente e tensione in entrambi gli schemi; mediante l'analisi dei dati si determina il valore della resistenza e della incertezza di misura fornita nei due casi.

Nessuna. Occorre prestare attenzione al corretto collegamento degli strumenti di misura, per evitare di danneggiarli.

La misura di una resistenza viene fatta con il metodo volt-amperometrico. Tale metodo consiste nella misura simultanea della differenza di potenziale ai capi della resistenza e dell’intensità della corrente che la attraversa. Per la  prima legge di Ohm: $$V=RI \, ,$$ per cui vi è  una relazione lineare tra $V$ e $I$. (Per ricavare il valore della resistenza incognita si propone di realizzare un fit lineare dei dati sperimentali, ottenute misurando la corrente corrispondente a differenti valori di tensione (ottenuti agendo su una resistenza variabile $R'$ o sul generatore).

Al fine di minimizzare il più possibile gli errori sistematici della misura da effettuare si considerano due possibili configurazioni (vedi Fig. 1).

 

In entrambe le configurazioni si introduce un errore sistematico, in difetto nello schema A) e in eccesso nello schema B) .

Nel primo schema A), infatti, la corrente misurata $I_m$ non è quella che attraversa la resistenza $R$, ma $I+\frac{V}{R_V}$, dove $R_V$ è la resistenza interna del voltmetro, mentre la d.d.p. ai capi della resistenza coincide con la $V_m$ misurata. Risulta quindi: $$R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{V_m}{I_m-\frac{V_m}{R_V}} \neq \dfrac{V_m}{I_m} \, .$$

Il risultato sarebbe corretto solo nel caso $R_V \rightarrow \infty$: in questo caso, infatti, non scorrerebbe corrente all'interno del voltmetro e la corrente misurata sarebbe uguale a quella che scorre nella resistenza $R$. Pertanto, questo schema per la misura di $R$ è tanto più valido quanto più le resistenza da misurare è piccola rispetto a quella interna del voltmetro.

Nello schema B), mentre la corrente misurata $I_m$ coincide con la $I$, per ottenere la $V$ bisogna sottrarre alla $V_m$ la caduta di tensione $I_m R_A$ ai capi della resistenza interna dell'amperometro. Risulta pertanto:
$$R= \dfrac{V}{I} = \dfrac{V_m-I_mR_A}{I_m}=\dfrac{V_m}{I_m}-R_A \neq \dfrac{V_m}{I_m} \, .$$
Il risultato sarebbe corretto solo nel caso $R_A \rightarrow 0$: in questo caso, infatti, l'amperometro non causa cadute di tensione e la d.d.p. misurata coincide con quella ai capi della resistenza $R$. Pertanto, questo schema per la misura di $R$ è tanto più valido quanto più le resistenza da misurare è grande rispetto a quella interna dell'amperometro.

Abbiamo eseguito 20 misure di tensione  e di d.d.p con lo schema  A) e  B). I risultati sono riportati nelle Tab. 1 e 2.

 

Come previsto i valori calcolati di $R$ con lo schema A) sono tutti in difetto, mentre quelli calcolati con lo schema B) sono tutti in eccesso rispetto al valore nominale.

In base agli errori relativi, risulta (a parte i primi valori, in entrambi i casi) $$ \dfrac{\Delta I}{I} \ll \dfrac{\Delta V}{V} \, . $$
Pertanto possiamo individuare in $I$ la variabile indipendente e in $V$ quella dipendente. Si possono realizzare dei fit lineari (ad esempio utilizzando un foglio di calcolo) della relazione $V = aI + b$, per i due schemi A) e B). Il coefficiente angolare di tale relazione è proprio la resistenza che stiamo cercando di misurare.

Per lo schema A), la rappresentazione grafica dei dati è riportata in Fig. 2.

Nel grafico non sono visibili le incertezze sulle singole misure, perché piccole in confronto all’unità di scala riportata. Gli strumenti di misura utilizzati, infatti, sono relativamente precisi per il tipo di misura da effettuare.

I parametri del fit risultano essere: $$ a = R = \left( 38.17 \pm 0.04 \right) \, k\Omega \, ,$$ $$ b = \left( -0.012 \pm 0.008 \right) \, V \, . $$

Come si vede, la stima di $R$ è compatibile con il valore nominale, entro la tolleranza fornita dal costruttore (pari a $ \left( 39 \pm 2 \right) \, k\Omega$), mentre l'intercetta non è compatibile (almeno entro una deviazione standard, ma sicuramente entro due) con il valore zero.

Per lo schema B), i dati sono rappresentati graficamente in Fig. 3.

 
In questo caso, si ottiene dal fit:  $$ a = R = \left( 39.37 \pm 0.06 \right) \, k\Omega \, ,$$ $$ b = \left( 0.008 \pm 0.012 \right) \, V \, . $$ 

In questo caso vediamo che la stima del valore di $R$ si avvicina maggiormente al valore nominale, anche se con una indeterminazione leggermente maggiore, mentre l'intercetta è compatibile con il valore zero.

Entrambi i valori della resistenza misurati rientrano nella tolleranza percentuale del 5% dichiarata dal costruttore, che corrisponde a $$R=   (39 \pm 2)\, k\Omega \, .$$  I due valori di resistenza misurati non sono tra di loro compatibili, in quanto entrambe le misure sono affette da errore sistematico. Il confronto con il valore atteso suggerisce che i risultati dello schema B) sono migliori: tale schema infatti risulta essere quello "corretto" da utilizzare quando la resistenza da misurare  è "grande" rispetto alla resistenza interna dell'amperometro  (si veda in proposito l'articolo citato nella bibliografia).

De Libero Elisa