Verifica della legge di Coulomb e studio dell'andamento della forza attrattiva tra due piastre metalliche cariche (i.e. condensatore ad una differenza di potenziale fissata) in funzione della superficie del condensatore.

Si misura la forza di attrazione tra due lastre cariche ad una data differenza di potenziale in funzione della superficie delle lastre e se ne determina la legge.

La racchetta anti-zanzare sviluppa una differenza di potenziale di alcuni kV e può dare una scossa non pericolosa ma sicuramente fastidiosa. Le lastre cariche si comportano come un condensatore e possono restare cariche alla d.d.p. data anche per diversi minuti, è bene aver cura di scaricare le piastre prima di toccarle. Eventualmente si possono usare guanti in silicone per maneggiare gli strumenti in sicurezza.

Il condensatore viene realizzato usando due piastre metalliche poste l'una sopra l'altra ad una certa distanza e caricate sfruttando la d.d.p. generata da una racchetta anti-zanzare.

Il setup sperimentale è mostrato in figura 1.

Si registra il peso misurato dalla bilancia in funzione dello spostamento della lastra superiore (posizionata sui supporti) rispetto la lastra inferiore poggiata sulla bilancia (in questo modo si varia la superficie $S$   del condensatore).

Durante l'esperimento rimarranno costanti la d.d.p. (fornita alle piastre utilizzando la racchetta anti-zanzare), la costante dielettrica del mezzo contenuto tra le armature del condensatore (ovvero $\epsilon_0 \simeq 8,85 \cdot 10^{-12} F/m$)   costante dielettrica del vuoto) e la distanza $d$ tra le armature.

La forza di attrazione tra le due piastre è data dalla formula:
$$F = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{\epsilon_0 \cdot S}$$
dove la carica accumulata nel condensatore è pari a
$$Q = C \cdot \Delta V$$   
A questo punto, ricordando che la capacità di un condensatore piano può essere scritta come
$$C = \epsilon_0 \cdot \frac{S}{d}\ \ \ \ \ \ [1]$$
si ottiene:
$$ F = \frac{C^2 \cdot \Delta V^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot S}=\frac{\epsilon_0 \Delta V^2}{2d^2} \cdot S = cost \cdot S$$
La forza e la superficie sono direttamente proporzionali. L'andamento atteso per la forza elettrostatica tra le armature di un condensatore piano in funzione della superficie del condensatore stesso è quindi una retta. Spostando la piastra superiore rispetto quella inferiore (come mostrato nella figura 2) viene diminuita la superficie $S$ del condensatore e, di conseguenza, la forza attrattiva tra le due armature.

Per verificare la relazione tra forza elettrostatica e area del condensatore si raccolgono i valori letti sulla bilancia in funzione dello spostamento relativo tra le due piastre (ovvero della diminuzione della superficie del condensatore), misurato ad esempio utilizzando una squadra. Ripetendo diversi set di misure si aumenta l'attendibilità dei risultati sperimentali, il grafico finale si costruisce riportando sull'asse delle $y$ la media aritmetica dei valori misurati dalla bilancia e sull'asse delle $x$ lo spostamento tra le due piastre. Per ottenere il valore della forza attrattiva tra le armature (misurata in Newton) a partire dal peso letto sulla bilancia (misurato in g) è necessario moltiplicare per l'accelerazione gravitazionale $g=9,81\ m/s^2$ e tenere conto del fattore di conversione da grammi a kilogrammi ($10^{-3})$).
Nella tabella 1 sono riportati i valori sperimentali relativi a tre differenti set di misure, usando la stessa d.d.p. per caricare le piastre e mantenendo costante la loro distanza.

L'errore sulla forza F è stato calcolato usando la formula della semidispersione massima:
$$\Delta F = \frac{F_{max} - F_{min}}{2}$$

Figura 3 mostra il grafico dei valori della forza in funzione dello spostamento relativo tra le due piastre.

Ricaviamo l'espressione della forza attrattiva tra le armature di un condensatore piano carico e isolato. Per farlo partiamo da alcune considerazioni riguardo l'energia immagazzinata in un condensatore e utilizziamo il principio di conservazione dell'energia e la definizione di lavoro associato ad uno spostamento infinitesimale $d\vec{x}$: $dL = \vec{F} \cdot d\vec{x}$, da cui:
$$\vec{F} = \frac{dL}{d\vec{x}}$$
L'energia elettrostatica $W_e$ immagazzinata in un condensatore  risulta pari al lavoro fatto per caricarlo. Si consideri un condensatore con capacità $C$, con carica $+q$ su una piastra e $-q$ sull'altra. Il lavoro necessario per muovere una carica infinitesimale $dq$ da una piastra all'altra sotto l'azione della d.d.p. $\Delta V = \large{\frac{q}{C}}$ è:
$$ dL = \Delta V \cdot dq = \frac{q}{C} \cdot dq$$.
Integrando tra i due estremi q=0 (condensatore scarico) e q=Q (condensatore con carica Q immagazzinata) otteniamo:
$$ L = \int_0^Q \frac{q}{C} \cdot dq = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}C \Delta V^2 = W_e$$
Ora, se a una delle due armature si fa compiere un piccolo spostamento $\Delta x$ rispetto l'altra, si avrà una conseguente variazione di energia immagazzinata $W_2 - W_1$. 
Per il principio di conservazione dell'energia, tale variazione corrisponde al lavoro meccanico $\Delta L$ compiuto durante lo spostamento. Di conseguenza la forza elettrostatica attrattiva tra le due armature è data dal rapporto:
$$F_e = \frac{\Delta L}{\Delta x} = \frac{W_2-W_1}{\Delta x}$$ 
Essendo il sistema isolato, durante lo spostamento $\Delta x$,  la carica $Q$ rimane costante mentre varia la capacità:
$$W_2 - W_1 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_2} - \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1} $$
Sostituendo l'espressione della capacità del condensatore piano [1], con qualche passaggio si ottiene:
$$W_2 - W_1 = \frac{1}{2} Q^2 \left( \frac{d+\Delta x}{\epsilon_0S} -  \frac{d}{\epsilon_0S}\right)= \frac{1}{2}\frac{Q^2}{\epsilon_oS} \Delta x$$
Infine l'espressione per la forza  tra due armature di un condensatore carico risulta così:
$$F_e = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{\epsilon_0S} = \frac{\epsilon_o \Delta V^2}{2 \cdot d^2} \cdot S$$
Ora, come ben noto dalla definizione di forza peso e, sfruttando i principi della dinamica, risulta vera la seguente uguaglianza per il sistema costruito in questo esperimento:
$$ F_{peso} = m \cdot g = F_e =  \frac{\epsilon_o \Delta V^2}{2 \cdot d^2} \cdot S$$
di conseguenza, ad una variazione della massa misurata sulla bilancia corrisponde una variazione della forza attrattiva tra le due piastre. Considerando costanti l'accelerazione di gravità, la costante dielettrica del vuoto, la distanza tra le piastre e la d.d.p. fornita al sistema, la forza attrattiva tra le piastre risulta direttamente proporzionale alla superficie del condensatore e quindi allo spostamento relativo tra le due piastre, come dimostrato dai risultati sperimentali osservati.

ATTENZIONE: se avviene una scarica quando si accende la racchetta vuol dire che le due piastre sono troppo vicine e bisogna aggiungere un po' di spessore (e.g. inserendo un foglietto di carta ripiegato tra i supporti e la piastra superiore). Si consiglia inoltre di usare la racchetta dopo averla tenuta in carica tutta la notte o addirittura mantenendola attaccata alla corrente, in modo da garantire che fornisca sempre la stesso voltaggio alle piastre.

N.B. Il sistema costituito da generatore (ovvero racchetta anti-zanzare) e condensatore è un sistema isolato, di conseguenza si conserva l'energia totale e le forze agenti sul sistema sono la forza peso e la forza elettrostatica tra le due piastre.

OSSERVAZIONE 1: Per un calcolo più preciso dell'errore sulla media, in particolare in relazione ad un set di misure più numeroso, è più corretto utilizzare la formula $\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ dove $\sigma$ è la deviazione standard delle misure eseguite. Nel caso di set di due sole misure la deviazione standard si riduce alla semidispersione massima, che quindi risulta essere una buona stima dell'errore sulla media qui utilizzata per un set di tre misure.

OSSERVAZIONE 2: la forza tra le piastre è attrattiva quindi la massa misurata è negativa (la lastra superiore è posizionata sui supporti ed attrae quella inferiore poggiata sulla bilancia).

OSSERVAZIONE 3: si parla di proporzionalità diretta tra forza attrattiva e superficie del condensatore ma il grafico riportato è in funzione dello spostamento traslazionale $x$ di una piastra rispetto l'altra, d'altro canto la superficie $S$ delle piastre è pari al prodotto $S = base \cdot altezza$ ed in questo esperimento si propone di variare uno dei due parametri (ad esempio l'altezza).

SVILUPPI: potrebbe essere interessante stimare la d.d.p. fornita dalla racchetta andando a misurare la superficie del condensatore e verificare che non ci siano variazioni nella $\Delta V$ fornita al sistema, acquisendo i valori misurati sulla bilancia sempre in funzione dello spostamento di una lastra rispetto l'altra (è necessario misurare anche la distanza tra le piastre, considerando sia l'altezza dei supporti che l'eventuale spessore aggiunto per evitare la scarica).

Meneghini Carlo
Carlini Laura