L’esperienza ha lo scopo di verificare la legge di Boyle e Mariotte, che afferma che a temperatura costante la pressione e il volume di un gas perfetto sono fra di loro inversamente proporzionali. L’obiettivo è raggiungibile utilizzando un campione di aria e degli strumenti di facile reperibilità e di basso costo, quali un manometro e una siringa.
Scheda sintetica delle attività
Si riempie il serbatoio di una siringa con un campione di aria e la si collega a un manometro tramite un tubicino flessibile.
Si posiziona in successione la testa dello stantuffo in corrispondenza di alcune delle tacche presenti sulla scala graduata della siringa e si determinano i corrispondenti valori di pressione ($p$) e di volume ($V$) del gas.
Si analizzano i dati raccolti al fine di verificare che $p$ e $V$ sono legati da una proporzionalità inversa.
Figura 1: la strumentazione necessaria per l'esperimento
Il manometro della foto appartiene ad uno sfigmomanometro (strumento utilizzato per misurare la pressione arteriosa) ed è caratterizzato da una sensibilità di 2 mmHg e una portata di 300 mmHg.
La scala graduata presente sulla siringa ha una sensibilità di 1 cm$^3$ e una portata di 60 cm$^3$.
Risorse necessarie
Siringa
Manometro
Tubicino flessibile
Carta, carta millimetrata e calcolatrice o, in alternativa, un computer dotato di un software tipo foglio elettronico (EXCEL; CALC; ecc.)
Prerequisiti necessari
Conoscere l’enunciato della legge di Boyle e Mariotte.
Conoscere il significato di proporzionalità inversa.
Saper valutare la migliore stima e l’incertezza di una grandezza fisica misurata direttamente.
Saper valutare la migliore stima e l’incertezza di una grandezza fisica misurata in modo indiretto.
Obiettivi di apprendimento
Verificare che a temperatura costante la pressione e il volume di un gas perfetto sono fra di loro inversamente proporzionali.
Saper verificare una legge fisica in cui le due grandezze che descrivono il fenomeno sono fra di loro inversamente proporzionali.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna.
Svolgimento
Introduzione
Dopo aver enunciato la legge di Boyle e Mariotte si conducono gli alunni in una discussione che permette loro di definire il percorso di verifica da adottare e di giustificare alcune ipotesi di lavoro. Questo può essere fatto attraverso opportune domande stimolo come quelle di seguito riportate.
1. Quali possono essere i criteri da seguire per verificare la legge in esame?
Il significato di proporzionalità inversa permette di individuare tre criteri attraverso cui la verifica può essere condotta. Ciò si realizza appurando se i valori di pressione e di volume, rilevati durante una trasformazione isotermica di un gas perfetto, soddisfino una delle seguenti condizioni:
il prodotto tra $p$ e $V$ è costante;
i punti di coordinate $(p,\,V)$ si trovano su un ramo di iperbole;
i punti di coordinate $(p,\, 1/V)$ si trovano su una retta passante per l’origine degli assi.
2. È ragionevole utilizzare dell’aria come se si trattasse di un gas perfetto?
Dal diagramma di Andrews si evince che il comportamento di un gas reale è ben descritto dal modello di gas perfetto per temperature abbastanza alte e pressioni abbastanza basse rispetto ai valori critici di pressione e temperatura per quel gas. L’aria può essere descritta come un gas perfetto in quanto è composta quasi totalmente da azoto e ossigeno, le cui temperature e pressioni critiche soddisfano normalmente la condizione richiesta.
3. Quali accorgimenti è necessario adottare affinché la temperatura del gas rimanga costante durante l’esperienza?
L’energia interna $U$ di un gas perfetto è funzione solo della temperatura del gas e una sua variazione $\Delta U$ è possibile solo attraverso lo scambio di calore $Q$ e/o di lavoro $L$ fra il gas e l'ambiente esterno, secondo quanto stabilito dal primo principio della termodinamica, $ΔU = Q-L \, .$
Quindi durante una trasformazione la temperatura non subisce variazioni se $\Delta U$ è nulla o, in altre parole, se $Q=L$.
Durante la raccolta dei dati il gas subisce un lavoro di compressione e affinché la temperatura rimanga costante vi deve essere una cessione di energia termica verso l’esterno pari al lavoro subito. Questo accade solo se la trasformazione avviene lentamente.
Raccolta dati
Si rilevano la portata e la sensibilità degli strumenti di misura. Si individuano così gli intervalli entro cui i valori delle grandezze fisiche possono variare e le minime variazioni che si possono apprezzare.
Si predispone una tabella in cui riportare i risultati delle misure della pressione ($p_m$) e del volume ($V$) del gas e i corrispondenti errori ($\Delta p_m$ e $\Delta V$). L’errore di ciascuna misura coincide con la sensibilità dello strumento utilizzato se si dimostra che la misura ripetuta della pressione o del volume genera una deviazione standard inferiore alla sensibilità dello strumento.
Si riempie il serbatoio della siringa con un campione di gas posizionando la testa dello stantuffo in corrispondenza di una delle tacche presenti sulla scala graduata della siringa.
Si collega la siringa al manometro utilizzando il tubicino.
Si spinge lentamente lo stantuffo e si posiziona in successione la testa dello stantuffo in corrispondenza di altre tacche presenti sulla scala graduata della siringa e quindi si misurano i corrispondenti valori di pressione $p_m$ e volume $V$.
Elaborazione dati
Si calcola la pressione del gas $p = p_m+p_a$: la pressione del gas $p$, infatti, è uguale alla somma della pressione rilevata tramite il manometro $p_m$ e della pressione atmosferica $p_a$. Quest’ultima può essere misurata in modo diretto o può essere assunta come nota (nell’esempio riportato nel seguito è assunta pari a $p_a = 760\,mmHg \pm 0\,mmHg$).
Si sceglie il percorso di elaborazione che si intende seguire. Quello di seguito proposto consiste nella verifica che il prodotto di $p$ e $V$ è costante. Si sottolinea che, per svolgere questo procedimento, è essenziale conoscere bene il valore della pressione atmosferica in quanto il suo valore influenza il risultato ottenuto.
Si determina il prodotto di ciascuna coppia di valori pressione - volume: $K=p\cdot V$. Si può aggiungere un ulteriore passaggio nella elaborazione dei dati se si vogliono utilizzare le unità di misura del SI. In questo caso la pressione deve essere espressa in Pascal, il volume in metri cubi e quindi il valore di K in Joule.
Si discute criticamente delle eventuali discrepanze ottenute fra i differenti valori di K. La discussione deve condurre gli alunni a ricordare che la discrepanza esistente fra i risultati di due misure della stessa grandezza fisica è accettabile se gli intervalli di indeterminazione risultano parzialmente sovrapponibili.
Si determina l’errore da associare a ciascun valore di K, secondo la regola di propagazione delle incertezze:
$$ \Delta K = K \sqrt{\left(\dfrac{\Delta p}{p}\right)^2+ \left(\dfrac{\Delta V}{V}\right)^2} \, . $$
Esaminando gli intervalli di indeterminazione ($K-\Delta K \leftrightarrow K+\Delta K$) relativi a ciascun valore di $K$, si verifica se esiste un intervallo di sovrapposizione.
Analisi dei dati sperimentali rilevati in una esperienza di laboratorio
La tabella seguente riporta i dati misurati durante una esperienza fatta in laboratorio dagli studenti
Tabella 1: esempio di dati sperimentali.
Tabella 2: risultati delle misure.
Si può concludere che la pressione e il volume del gas in esame sono fra di loro inversamente proporzionali perché i tre intervalli di indeterminazione ottenuti per la costante K presentano un intervallo di valori comuni, tra 44800 mmHg$\cdot$cm$^3$ e 45000 mmHg$\cdot$cm$^3$.
Analisi grafica alternativa
In alternativa, è possibile rappresentare su un grafico le quantità $p$ e $1/V$, per verificare i punti sperimentali descrivono in effetti una relazione di tipo lineare. Questo metodo presenta il vantaggio di non richiedere la conoscenza del valore esatto della pressione atmosferica (qui assunto pari a 760 mmHg); il valore della pressione atmosferica infatti ha il solo effetto di traslare la retta in verticale.
Tabella 3: tabella per la costruzione del grafico $1/V$ vs. $p$.
