Questo esperimento permette di chiarire la relazione tra scambi di calore e variazioni di temperatura e di determinare il tempo caratteristico di una sonda di temperatura.  

Esperimenti di questo tipo aiutano a diventare consapevoli che l’andamento della temperatura di un corpo (o di una sostanza) immerso in un ambiente a temperatura costante è di tipo esponenziale, in quanto le variazioni di temperatura nel tempo sono proporzionali alla differenza istante per istante tra la temperatura del corpo (o sostanza) e l’ambiente. 

Si misura in funzione del tempo la temperatura di un termometro inizialmente in equilibrio con ghiaccio fondente, che viene immerso in un becker con acqua bollente. Si analizzano i dati dell'andamento temporale delle variazioni di temperatura. 

Si pone inizialmente il termometro in equilibrio nel thermos con il ghiaccio fondente. Poi lo si immerge nel becker con acqua bollente e si registrano le variazioni della temperatura misurata $T$ in funzione del tempo $t$. 

Riportando su grafico in scala semilogaritmica i dati raccolti, si osserva che la funzione che meglio approssima le misure è una retta. Ciò suggerisce che l’andamento di $T$ in funzione del tempo segua una legge esponenziale. 

Quantitativamente, può essere opportuno riportare su grafico la quantità adimensionale $$ \dfrac{T_2-T(t)}{T_2-T_1} \, $$
nella quale $T_2$ è la temperatura dell’acqua in ebollizione e $T_1$ quella della miscela di acqua e ghiaccio. In tal modo si ottiene una retta che passa per l’origine, la cui pendenza ha le dimensioni dell'inverso di un tempo. In particolare si ha:
$$ \ln\dfrac{T_2-T(t)}{T_2-T_1} = -\dfrac{t}{\tau} \, , $$

dove $\tau$ è una costante le cui dimensioni sono quelle di un tempo.

Questa espressione esprime il fatto che la temperatura ha un andamento esponenziale in funzione del tempo data da:
 $$ T(t) = T_2 - \left(T_2-T_1\right) \, \textrm{e}^{-t/\tau} $$

La motivazione fisica alla base di questo risultato è la seguente: se una sostanza a temperatura iniziale $T_1$ è posta in un ambiente a temperatura $T_2$, essa assorbe o cede una quantità di calore che dipende dalla sua capacità termica $C$ (prodotto della massa $m$ per il calore specifico a pressione costante $c$) secondo la relazione
$$ \Delta Q = C\cdot \Delta T $$

Per valori molto piccoli di $\Delta T$  la relazione può essere approssimata con  $dQ = C\,dT$. La quantità di calore scambiata nell'intervallo di tempo $dt$ dipende dalla differenza fra le temperature dei due corpi che interagiscono (qui termometro ed acqua), dalla conducibilità della sostanza termometrica e dalle caratteristiche geometriche della superficie attraverso cui avviene lo scambio di calore. L’insieme di questi aspetti è riassunto nella relazione $$ \dfrac{dQ}{dt} = h \left[T_2 - T(t) \right]  $$ dove $h$ è una costante le cui dimensioni sono quelle del calore diviso temperatura per tempo.  Mettendo insieme le due relazioni si ottiene l’equazione differenziale  $$ \dfrac{dT}{dt} = \dfrac{h}{C} \left[ T_2 - T(t) \right] $$ la cui soluzione è: $$ T(t) = T_2 - \left(T_2-T_1\right) \, \textrm{e}^{-t/\tau} $$

La costante $$ \tau = \dfrac{C}{h} $$ ha le dimensioni di un tempo ed è chiamata tempo caratteristico del termometro, o “prontezza”. 
In particolare, per un termometro questo tempo caratteristico è importante perché da esso dipende quanto tempo occorre aspettare per conoscere il valore della temperatura che si sta misurando. Ciò vale anche quando si misura la temperatura corporea con un termometro clinico (al gallio, o con un vecchio termometro a mercurio): per questo in alcuni casi si preferisce usare termometri “pronti”, che danno una lettura rapida.

Essendo l’andamento di $T(t)$ una funzione esponenziale del tempo, esso è tanto più rapido quanto minore è $\tau$, ovvero quanto più “pronto” è il termometro.

Definiamo, come su già indicato, la quantità adimensionale  $$ R \equiv \dfrac{T_2-T(t)}{T_2-T_1} \, .$$
che rappresenta la variazione percentuale della temperatura misurata dal termometro rispetto al valore massimo su tutto l’intervallo misurabile (circa 100 $^\circ C$). Essendo $T_2 > T_1$ e $T(t) < T_2 \, \  \forall t$, $R$ risulta essere una funzione decrescente che varia tra 1 e 0.

L'andamento di $R$ in funzione del tempo è quindi dato da $$ R(t) =  \textrm{e}^{-t/\tau} \, ,$$ ovvero $$\ln R(t) = - \dfrac{t}{\tau} \ \ \ \ [1]$$  Si può procedere, pertanto, analizzando la relazione lineare tra $\ln R$ e $t$. Risulta molto istruttivo, se possibile, realizzare il grafico dei dati in carta semilogaritmica.

I dati raccolti sono riportati in Tabella 1:

 

L'analisi più semplice consiste nel linearizzare la relazione tra $R$ è il tempo, ovvero
$$\ln R = mt+b \, .$$

Utilizzando un programma di analisi dati, sono state ottenute le stime $$ m = \left( -0.38 \pm 0.01 \right) \, s^{-1} \, , $$ $$ b = \left( 0.14 \pm 0.03 \right) \, .$$

In base alla relazione [1], il valore atteso per  $b$ dovrebbe essere compatibile con lo zero; la stima ottenuta invece non lo è.

Una giustificazione plausibile di questo risultato è che all’istante iniziale $t_0 =0\,s$ in cui si fa partire il cronometro, il termometro dovrebbe essere a temperatura di $0.0^\circ C$ e già a contatto con la massa d’acqua a $100^\circ C$. 

Questa condizione, dal punto di vista sperimentale, non è realizzabile perché:    
- nel caso in cui si fa partire il cronometro quando il termometro è ancora a contatto con l’acqua e ghiaccio, vi è un certo intervallo di tempo in cui il termometro è in contatto con l’ambiente (a circa $23^\circ C$)  e non con l’acqua a $100^\circ C$;
 - nel caso in cui si fa partire il cronometro quando il termometro è già a contatto con l’acqua a $100^\circ C$, a $t=0$ il termometro non è a  $0.0^\circ C$ perché certamente esso si scalda nell'intervallo di tempo necessario per spostarlo dal thermos al becker.

Siamo quindi in presenza di errori sistematici. In entrambi i casi si può modellizzare la partenza del cronometro e il transito dal thermos al becker ipotizzando che ci sia un ritardo nel tempo misurato; in tale ipotesi la funzione che meglio approssima i dati è del tipo $$ R(t) = \textrm{e}^{p(t-t_0)} $$ e dunque $$ln R(t) = pt -pt_0 = mt + b$$ Si ha allora $$ t_0 = -\dfrac{b}{m}$$ Con i nostri dati si ottiene $$ t_0 = \left( 0.37 \pm 0.08 \right) \  s.$$
Questo valore numerico sembra ragionevole; esso tiene conto anche dei riflessi dell’operatore nel far partire il cronometro (tra uno e due decimi di secondo) e del ritardo dovuto all’estrazione e immersione del termometro (circa un decimo di secondo).

Con un programma di analisi dati più avanzato, è stato realizzato un fit esponenziale degli stessi dati, ovvero si è studiata la relazione $$R(t) = k\textrm{e}^{pt} \, . $$ I valori per i due parametri risultano essere $$ k = \left( 1.15 \pm 0.03 \right) \, ,$$ $$ p = \left( -0.38 \pm 0.01 \right) \, s^{-1} \, .$$    

Si ricava così:
$$ \tau = -\dfrac{1}{p} = \left( 2.60 \pm 0.07 \right) \, s \, $$

che è un valore plausibile per il tipo di termometro utilizzato e coerente con misure fatte per lungo tempo dall'autore.

In questo caso il valore di $k$ dovrebbe essere compatibile con 1 (il valore di $R$ al tempo $t=0\,s$); anche in questo caso la stima non lo è, per gli stessi motivi citati in precedenza.

         

 

Citiamo, infine, una ulteriore analisi che potrebbe essere condotta, se volessimo cercare la funzione che meglio approssima i dati originali di $T(t)$, ovvero eseguire un fit del tipo $$T(t) = A\left(1-\textrm{e}^{-Ct}\right) + B \, .$$
Le stime dei parametri forniscono:
$$ A = \left(114 \pm 6 \right) \, ^\circ C \, ,$$
$$ C = \left( 0.30 \pm 0.06 \right) \, s^{-1} \, ,$$
$$ B = \left( -5 \pm 5 \right) \, ^\circ C \, .$$

Il significato di questi parametri è diverso da quello dei precedenti. Il termine $$ A+B = \left( 109 \pm 11 \right) \, ^\circ C$$
rappresenta la temperatura raggiunta all’equilibrio (è infatti compatibile con il valore di circa $98 ^\circ C$ dell’acqua bollente). Per questa considerazione, abbiamo tenuto conto del fatto che, quando $t$ è circa $0\, s$, $1-\textrm{e}^{-Ct}$ vale circa zero.

Il termine $B$ invece rappresenta la temperatura iniziale (è infatti compatibile con il valore di circa $0 ^\circ C$).

Il termine C è l’inverso della prontezza del termometro. Da questo fit si ricava $$ \tau = \dfrac{1}{C} = \left( 3.3 \pm 0.7 \right) \, s \, ,$$ valore compatibile con quanto ricavato in precedenza dagli altri due fit.

Si noti che in quest’ultimo fit (esponenziale a plateau) si utilizzano tre parametri: questo comporta una migliore approssimazione dei dati sperimentali, ma una perdita nell’accuratezza dei parametri stessi e quindi delle costanti fisiche da misurare (ad esempio, l’errore percentuale sulla prontezza del termometro con il fit lineare su $\ln R$ o esponenziale su $R$ è del 3%, mentre quello ottenuto con il fit esponenziale sui dati originali è del 20%!). Si ricorda inoltre che aumentare il numero di parametri da utilizzare nella ricerca della curva di best fit al fine di migliorare l’adattamento ai dati sperimentali non è corretto dal punto di vista fisico, in quanto si introducono in maniera arbitraria delle relazioni aggiuntive tra i dati.

L'esperimento è stato proposto durante gli incontri del Progetto “Nuove idee per la didattica laboratoriale nei licei scientifici” presso il Dipartimento di Scienze fisiche "E. Pancini" dell’Università “Federico II” di Napoli.

Asprino Filomena
Testa Italo