Moto di una bolla d’aria in un tubo d’acqua

Viene studiata la dinamica del moto di una bolla d’aria che risale lungo un tubo di vetro riempito d’acqua, mantenuto ad inclinazione costante. 

Misurare la velocità  v di una bolla d’aria lungo un tubo di vetro riempito d’acqua, inclinato di un angolo $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ rispetto al piano orizzontale.  Si effettuano misurazioni per  diversi valori dell'angolo variando l’altezza h dell’estremo superiore del tubo di vetro rispetto al piano orizzontale, su cui appoggia l’estremità inferiore del tubo stesso. Si osserva che la bolla raggiunge una velocità limite che varia con l'angolo di inclinazione. Si confronta l'andamento con l'angolo dei valori misurati con l'andamento atteso, avanzando una ipotesi per giustificare perché l'andamento sperimentale è in disaccordo con quello atteso. 

Nessuna.

L'apparato sperimentale è mostrato in figura 1. Prima di collegare il tubo riempito d’acqua alla base metallica posizionata su un piano orizzontale, occorre tracciare delle tacche lungo il tubo di vetro in modo da disporre di un regolo geometrico sul tubo stesso. Nell'esperimento qui presentato  le tacche sono state tracciate per  un tratto di lunghezza pari a 60 cm a distanza di 15 cm l’una dall’altra.
 

Si procede poi alla misurazione dei tempi impiegati dalla bolla d’aria a risalire lungo il tubo al variare dell'angolo $\theta$ di inclinazione sull'orizzontale:  allo scopo viene variata l’altezza h dell’estremo superiore del tubo di vetro rispetto al piano orizzontale, su cui appoggia l’estremità inferiore del tubo stesso;  l'angolo $\theta$ è dato dalla relazione $$ \theta = arcsin( \frac{h}{L} ) \ \ \ \ \ \ \ \  [1]$$
I tempi  vengono misurati in corrispondenza del passaggio della bolla sulle tacche; per ogni angolo di inclinazione vengono eseguite più misure per ogni tacca, calcolando poi il valore medio e la deviazione standard delle misure (tabelle 1-3).

Prima di esaminare i dati sperimentali eseguiamo lo studio del moto della bolla, per determinare la dipendenza funzionale della velocità limite della bolla $ v( \theta ) $ dall'angolo di inclinazione $\theta$.
Sulla bolla agiscono la forza peso $F_p$, la spinta di Archimede $F_a$ e la forza di attrito viscoso $F_v$, oltre alle reazioni vincolari contro le pareti del tubo.
Per una data inclinazione $\theta$ del tubo rispetto all’orizzontale, le componenti di queste forze nella direzione del tubo sono:
$$F_{p}' = F_p \sin( \theta ) = V \rho ' g \sin (\theta) \quad [2]$$
$$F_{A}' = F_A \sin( \theta ) = - V \rho '' g \sin ( \theta ) \quad [3]$$
dove V è il volume della bolla, g l’accelerazione di gravità e $\rho '$ e $\rho ''$ sono rispettivamente la densità volumica dell’aria e quella dell’acqua; il segno meno sta a indicare che la forza è diretta verso l'alto.  A regime il moto della bolla risulta essere rettilineo e uniforme da cui otteniamo che l’equazione del moto è:
$$F_{p}' + F_{A}' + F_v = 0$$.
E quindi la forza viscosa risulta essere pari a:
$$ F_v =  - F_{p}' -  F_{A}' = V (\rho '' - \rho ' ) g \sin ( \theta ) \quad [4] $$
Se si ammette che la forza d’attrito viscoso sia proporzionale alla velocità di regime v , cioè  che valga la relazione di Stokes:
$$F = k \eta v $$ dove $\eta$ è il coefficiente di  viscosità del liquido in cui si muove la bolla e k una costante legata alla geometria della bolla, allora uguagliando la [4] alla forza di Stokes, la velocità della bolla si può esprimere secondo la relazione matematica:
$$ v = \frac{V ( \rho '' - \rho ' ) g \sin (\theta)}{k \eta} \quad [5] $$

Dai dati sperimentali misurati  per lo spazio percorso in funzione del tempo s(t) è possibile verificare che il moto della bolla lungo il tubo effettivamente presenta una velocità prossima ad essere costante, per gli angoli misurati.

Dai dati della tabella 1 infatti i valori della velocità media della bolla nei tre differenti tratti $(0-S_1)$ ;  $(0-S_2)$ ;  $(0-S_3)$ per una altezza di h = 45.0 cm risultano essere rispettivamente $(13.5 \pm 0.1) cm/s$ ;  $(13.8 \pm 0.2) cm/s$ ;  $(14.0 \pm 0.1) cm/s$.

Nel caso di $h=30 cm$ (tabella 2) otteniamo nei tre differenti tratti $(14.63 \pm 0.09) cm/s$ ;  $(14.38 \pm 0.14) cm/s$ ;  $(14.12 \pm 0.07) cm/s$.

Infine nel caso $h=25 cm$ otteniamo infine nei tre differenti tratti $(14.85 \pm 0.09) cm/s$ ;  $(14.56 \pm 0.24) cm/s$ ;  $(14.39 \pm 0.14) cm/s$ (tabella 3).
 

I dati mostrano chiaramente che la velocità di regime raggiunta non segue l'andamento atteso dalla relazione [5], in quanto diminuisce all'aumentare dell'angolo $\theta$.
Una possibile spiegazione a tale fenomeno si può ricondurre alla dipendenza della forma e del volume della bolla dall'angolo $\theta$. Infatti la bolla d’aria non ha una simmetria sferica, ma assume forme geometriche  diverse a seconda dell’inclinazione  del tubo (figura 2): per piccoli angoli di inclinazione la bolla tende ad aderire solo in parte alle pareti di vetro del tubo, mentre per  angoli maggiori, l’adesione avviene lungo tutto il diametro massimo della bolla.

L'esperimento è una rifacimento dell'esperimento presentato nell'articolo
Luigi Togliani, “Moto di una bolla d’aria in un tubo d’acqua”, LA FISICA NELLA SCUOLA, Bollettino trimestrale dell’AIF, Anno XXXII, n. 4,  ottobre-dicembre 1999 

 Oltre ai limiti fisici inerenti alla scelta del modello di Stokes utilizzato per dedurre la [5], l’impiego della medesima per determinare l’andamento funzionale di  di $v( \theta )$) è suscettibile di alcune considerazioni. 
E' noto che la  forma geometrica della bolla d’aria muta al variare dell’angolo di inclinazione $\theta$.
E’ plausibile quindi pensare che la costante k relativa alla forma geometrica della bolla, sia di fatto una funzione (non nota) di $\theta$ e, conseguentemente, anche il volume $V( \theta ) $ della bolla sia funzione dell’angolo di inclinazione $ \theta $ (o di h). Sulla base delle considerazioni, di cui sopra, l’espressione [5] necessita  di essere modificata nel modo seguente: 
$$ v(\theta) = \frac{V(\theta) ( \rho '' - \rho' )g}{k(\theta) \eta L} \sin \theta \quad [7] $$. 

Bellonotto Bruno