L'esperimento fornisce una introduzione alla teoria degli errori, al metodo sperimentale e al corretto modo con cui va valutata l'uguaglianza o la differenza tra due grandezze. Si misurano i tempi di reazione di una persona usando una bacchetta e un metro, metodo molto semplice ma in grado di fornire misure molto accurate. Viene utilizzato per misurare e confrontare i tempi di reazione di persone diverse o di una persona stessa persona in funzione di fattori quali stanchezza, rumore ambientale, attività sportiva o l'uso prolungato di videogiochi.
Scheda sintetica delle attività
Per misurare i tempi di reazione di una persona A si procede nel seguente modo:
si attacca al muro, in verticale, un metro (di carta, da sarto, a nastro) orientato verso il basso;
una seconda persona (B) tiene ferma una bacchetta (legno, plastica, righello) allineata con lo 0 del metro;
A si pone davanti alla bacchetta;
all'improvviso B lascia cadere la bacchetta;
A la ferma schiacciandola sul muro;
si misura lo spazio percorso dalla bacchetta;
utilizzando la legge del moto uniformemente accelerato si calcola il tempo durante il quale la bacchetta è caduta, pari al tempo di reazione.
Effettuando diverse misure nelle stesse condizioni si otterranno valori diversi e si può discutere la riproducibilità della misura, gli errori e l'errore della media.
Eseguendo misure su persone diverse o con stessa persona in situazioni diverse, si può discutere il confronto tra dati sperimentali.
Confrontando i tempi di reazione in diverse situazioni (stanza tranquilla o con confusione, mente fresca o dopo ore ai videogiochi, prima o dopo aver fatto una attività sportiva) è possibile comprendere e quantificare gli effetti di parametri ambientali e/o fisiologici sui tempi di reazione.
E' istruttivo sottolineare come il rallentamento dei tempi di reazione (confusione, stanchezza, anche assunzione di alcool) possa influire in situazioni di emergenza, per esempio, durante la guida.
Risorse necessarie
Bacchetta di legno o plastica (es. un righello);
un metro (metro da sarto / metro di carta del tipo che si trova in negozi di mobili / fettuccia / metro a nastro, etc...);
nastro adesivo di carta;
carta e penna;
PC con foglio elettronico per l'analisi dei dati.
Prerequisiti necessari
Saper calcolare la media e la deviazione standard di un insieme di dati;
saper usare un foglio elettronico.
Obiettivi di apprendimento
Saper misurare dati che presentano una variabilità intrinseca molto maggiore dell'errore di lettura;
comprendere l'errore sulla media e la differenza tra singola misura e media;
confrontare i dati utilizzando valori medi ed errori sui valori medi;
riconoscere come alcune situazioni personali o ambientali (stress, rumore, stanchezza, etc... ) possano determinare la riduzione dei tempi di reazione, creando situazioni potenzialmente pericolose quando la prontezza di riflessi è importante (es. alla guida).
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Introduzione
Oltre all'aspetto puramente didattico (trattamento e analisi dei dati sperimentali), misurare i tempi di reazione di un individuo in situazioni e condizioni psicofisiche diverse, può essere istruttivo nella vita pratica. Ad esempio è sicuramente importante avere coscienza del fatto che, alla guida, i propri tempi di reazione possano essere rallentati da stanchezza, confusione, rumori, etc... .
La misura accurata dei tempi di reazione di un individuo non è semplice e sarebbe utile proporre una discussione comune prima di presentare la soluzione descritta nel seguito. E' molto importante valutare le possibili sorgenti di errore dei metodi eventualmente proposti (vedi note 1 e 2).
La misura
Per realizzare le misure bisogna essere in due, di seguito indicate con A e B. Come strumentazione di base si può usare semplicemente un metro di carta, di quelli facilmente reperibili in negozi di mobili, una bacchetta di legno e un cronometro.
Si fissa il metro di carta al muro con nastro adesivo orientato verso il basso e avendo cura di posizionare lo zero all'altezza degli occhi. A tiene la bacchetta di legno in alto, lungo il muro, con il bordo all'altezza dello zero. B si pone di fronte al metro; ad un certo istante A lascia cadere la bacchetta, B la ferma schiacciandola contro il muro. Prende quindi nota della posizione dell'estremo della bacchetta. Lo spazio x percorso dalla bacchetta dall'istante in cui viene lasciata cadere (t=0) all'istante in cui viene fermata ($t_r$ = tempo di reazione) è determinato dalla legge del moto uniformemente accelerato: $$x(t) = \frac{1}{2}gt^2$$.
dove $g=9,81 m/s^2$ è l'accelerazione di gravità. Indicando con $x_r$ la posizione della bacchetta quando B l'ha fermata e invertendo la relazione (1) si ottiene il tempo di reazione di B: $$t_r = \sqrt{\frac{2x_r}{g}}$$
Discussione 1 E' qui possibile sollecitare una prima discussione con e tra gli studenti ponendo loro alcune domande, quali:
Perché ripetendo la misura i valori $x_r$ (e quindi $t_r$) sono diversi? Basta infatti effettuare due o tre misure successive per vedere come i valori non solo non si riproducono, ma che sono anche molto diversi tra di loro.
A cosa sono dovute le differenze? E' possibile così discutere le diverse origini degli errori di misura evidenziando come esse siano intrinseche alla "misura" e riconoscendo la dispersione dei risultati come una conseguenza dell'aleatorietà del fenomeno studiato. Tenendo conto che lo spazio percorso dalla bacchetta in 0.2-0.3 s (tempi tipici di reazione) è di circa 0.20-0.40 m è utile stimare l'ordine di grandezza delle possibili sorgenti di errore e l'effetto che queste hanno sulla determinazione dei tempi di reazione. In questo modo è possibile capire di quali effettivamente preoccuparci e quali invece possono essere trascurati. Tra le possibili sorgenti di errore:
errore sul posizionamento della bacchetta (errore di zero); è dell'ordine del millimetro e comporta un errore minore del 1% sullo spazio realmente percorso dalla bacchetta;
errore di lettura della posizione finale; può essere anche di 0.5 cm dovuto al fatto che la bacchetta non scende perfettamente verticale e che non sempre nella posizione finale è allineata con il metro; questo comporta un errore di circa il 2% sullo spazio percorso dalla bacchetta;
distanza della mano di B dal metro: l'effetto potrebbe essere anche grande (provate per esempio tenendo la mano vicina al metro oppure lungo il fianco) quindi è importante che la posizione di partenza sia sempre la stessa;
E' probabile che la dispersione dei risultati delle prime misura sia molto maggiore degli effetti citati: è sufficiente raccogliere 4-5 misure per osservare diversi cm di differenza tra i valori di $x_r$. A cosa è dovuta questa grande variabilità? E' facile convincersi che questa variabilità è una conseguenza dell'aleatorietà intrinseca del fenomeno in esame, cioè del tempo di reazione, che dipende da diversi fattori difficilmente controllabili e quantificabili legati alla fisiologia della risposta.
E' bene sottolineare anche che altri fattori incidono nel determinare il valore di $t_r$, ma essendo di natura sistematica non determinano una variabilità nei dati misurati; tra questi:
la non verticalità del metro; un errore di solo $6^0$ corrispondenti all'angolo che ruota la lancetta di un orologio in un minuto, implica un errore del 10% sulla distanza di caduta e quindi del 5% sul tempo di reazione misurato;
il valore esatto dell'accelerazione di gravità: il valore $g=9,81 m/s^2$ è comodo per gli esercizi, ma il valore effettivo (vedi wiki) è determinato da molti fattori quali la latitudine, l'altezza sul mare, fenomeni di disomogeneità locale e così via. In ogni caso gli effetti di queste correzioni sono inferiori al 0.3% .
l' accuratezza del metro utilizzato: si dovrebbe riconoscere che l'accuratezza del metro è sicuramente poco influente per la determinazione di $x_r$ comparando i risultati ottenuti con metro di basso costo e quelli ottenuti con un metro più professionale.
Si misurano poi i riflessi di due persone Barbara e Carlo preparando una tabella con i valori misurati di $x_r$ per i due avendo cura di ripetere la misura almeno 4-6 volte ciascuno. I dati misurati in classe sono riportati nella tabella 1:
Tabella 1: serie di valori di $x_r$ misurati e di $t_r$ calcolati per due studenti
Le misure sono riportate anche nella figura 1.
Figura 1: rappresentazione grafica dei dati della tabella 1; a sinistra misure di $x_r$ per i due studenti B e C, a destra i tempi di reazione corrispondenti.
Osservando una singola misura sarebbe difficile stabilire chi è più veloce: in alcuni casi i risultati sono molto simili. Al contrario osservando i grafici ci si può rendere conto delle differenze. In questo caso sembra chiaro che C è mediamente più lento di B.
Discussione 2: E' utile discutere il significato dei dati e la fiducia nelle osservazioni, per comprendere a fondo il significato del termine incertezza, ponendo agli studenti alcune domande.Vista l'aleatorietà dei risultate ottenuti dalla misura di $x_r$:
siamo in grado di confrontare i tempi di reazione dei due individui eseguendo una singola misura?
Come usare in modo efficace tutti i dati? Il concetto di media dovrebbe essere abbastanza chiaro per uno studente di liceo.
Posso stabilire chi è più veloce? Ovvero: vista la variabilità dei risultati, anche se le medie sono diverse, chi mi assicura che continuando a misurare la situazione non si inverte? Cosa vuol dire abbastanza diverse? La discussione dovrebbe portare a riconoscere una situazione incerta, ogni volta che si misura una grandezza fisica. E' utile riflettere sull'incertezza insita in molti di quei dati che spesso vengono riportati come esatti (es. i risultati di un sondaggio elettorale, previsioni del tempo, etc...).
Posso dire che (in questo caso) B è più veloce di C? Quale fiducia abbiamo nel risultato? Quale è il rischio di sbagliare? Questo è un punto importante: l'analisi statistica serve a valutare il rischio che si corre assumendo per buono un risultato (es. B più veloce di C), il rischio si esprime in termini di probabilità. Su chi punteresti 10 cents al prossimo giro? La risposta logica sarebbe B, la probabilità che B sia più veloce di C ad una ulteriore verifica è, dati alla mano, maggiore del 50%
Se, in una situazione analoga, dovessi ripetere una singola misura per valutare i tempi di reazione di un'altra persona D ottenendo, per esempio: $x_{r}(D) = 0.285 cm$, cosa diresti? Puoi dire che è più veloce di C? uoi dire che è veloce come B? La discussione dovrebbe mettere in evidenza come la singola misura sia più incerta del risultato ottenuto usando N misure.
La media e la deviazione standard
Osservando i dati in tabella 1 e figura 1 è evidente che da una singola misura non possiamo stabilire chi tra B e C sia più veloce con una ragionevole sicurezza. Tuttavia osservando l'insieme dei dati è abbastanza evidente che B è in genere più veloce di C. Per questo possiamo utilizzare il valore medio $\bar{x}$ per stabilire chi sia più veloce in media: $$ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$$ Tabella 2 riporta i valori medi delle misure di $x_r$ e di $t_r$, la loro deviazione standard e l'errore che possiamo associare ai valori medi. Tabella 2: media, deviazione standard ed errore sulla media dei dati di tabella 1
I valori medi ci permettono di affermare con una certa sicurezza che B è più veloce di C. Tuttavia dalla Discussione 2 emerge la necessità non solo di stabilire il valore dei riflessi di B e C ma anche di stabilire una grado di fiducia sui valori osservati, solo cosi possiamo confrontare misure diverse e stabilire differenze. Ecco perché il BIPM (Bureau international des poids et mesures) afferma che: nel riportare la misura di una grandezza fisica è obbligatorio riportare l'errore di misura, esso ci fornisce indicazioni riguardo alla qualità della misura. Senza queste informazioni i risultati di una misura non possono essere né confrontati tra loro né confrontati con riferimenti o standard [GUM].
Discussione 3 Possiamo ora porre ai ragazzi la domanda: "di quale misura ti fidi di più?" E' facile rispondere se una delle due serie di misure ha una dispersione più ampia dell'altra. Si può ottenere distraendo il soggetto, facendo una finta o in altro modo. Ma come va valutata correttamente la dispersione dei dati?
C'è la tendenza diffusa a calcolare l'errore come semidispersione, utilizzando i valori minimo e massimo dei dati: $$ \epsilon = \frac{x_{max}-x_{min}}{2}$$ Questa identificazione, anche se semplifica i calcoli è sbagliata. Infatti i valori estremi di una distribuzione sono probabilmente quelli affetti da un errore maggiore (es. maggior distrazione), è chiaro che affidandosi ai dati più sbagliati porta sicuramente ad una sovrastima dell'errore, senza contare il fatto che alcune distribuzioni (es. la Gaussiana) hanno estremi all'infinito, quindi la semidispersione potrebbe, a priori, essere infinita. Gli standard internazionali (ISO) tramite il BIPM (bureau international des poids et mesures) stabiliscono che l'errore di misura è definito come la deviazione standard della distribuzione dei possibili risultati di una misura (vedi anche esperimento 5-Fisica). $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1}(x_i - \bar{x})^2}$$ La $\sigma$ si può calcolare usando la funzione DEV.ST() dei comuni fogli di elettronici come EXCEL o CALC.
Per convincerci del fatto che la semidispersione non è una valutazione corretta dell'incertezza si può introdurre un dato chiaramente sbagliato (ottenuto, ad esempio facendo una finta al momento di lasciar cadere la sbarretta): avendo molti dati a disposizione l'effetto di un singolo dato sbagliato non ha particolare importanza nel valore della deviazione standard, cosa non vera per la semidispersione.
Incertezze, errori di misura, errore della media.
Chiediamo ora agli studenti quale sia l'incertezza sui tempi di reazione di B e C? oppure in quale intervallo di valori cadono i tempi veri di reazione di B e C? La risposta tipicamente è: la deviazione standard.
Per chiarire il significato di deviazione standard e di errore, effettuiamo una nuova misura dei tempi di reazione, questa volta è B a misurare i tempi di reazione di A; l'importante è effettuare una singola misura.
Discussione 4 Chiediamo agli studenti:
quale sia l'errore da associare allo spazio percorso dalla bacchetta? spesso la risposta è l'errore di lettura.
di quale valore si fidano di più, della media ottenuta da 5-6 misure o della misura secca? Chiaramente c'è maggiore fiducia nella media. Portare a ragionare sul fatto che la misura dei tempi di reazione precedente può dare informazioni sulla dispersione dei risultati che ci si aspetta in una nuova misura e quindi concludere che la migliore stima dell'incertezza da associare alla nuova misura è la deviazione standard delle distribuzioni ottenute in precedenza. Volendo si può verificare che le deviazioni standard sono abbastanza riproducibili da un soggetto all'altro, il che suggerisce anche meccanismi simili all'origine della dispersione dei risultati.
Se l'incertezza sul singolo dato è la deviazione standard, perché abbiamo più fiducia nella media che non nel singolo dato?
La risposta è nel teorema del limite centrale, fondamentale per la statistica e l'analisi dei dati sperimentali, che afferma che l'errore della media non è la deviazione standard ma: $$\sigma_\bar{x} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} $$ La dimostrazione del teorema è complessa; nella nota 5 sono indicati alcuni siti che mettono a disposizione applet per illustrare praticamente i risultati del teorema del limite centrale; alternativamente si possono fare esperimenti per dimostrarlo sperimentalmente, esperimenti che però sono di solito abbastanza lunghi e noiosi: si tratta di ripetere M volte esperimenti con N prove in condizioni simili e verificare che:
la deviazione standard si conserva nei vari esperimenti
la deviazione standard delle medie è significativamente più stretta delle deviazioni standard delle singole ripetizioni.
Concludiamo dicendo che il tempo di reazione per i due studenti B e C risulta essere: $$t_B = 0.234 \pm 0.007 s $$ $$t_C = 0.258 \pm 0.005 s $$ Il metodo consente di ottenere un errore di misura sensibilmente inferiore al centesimo di secondo, con un errore relativo di circa 2%.
Chi è più veloce?
Possiamo ora porci la domanda iniziale, chi è più veloce B o C? Il problema del confronto quantitativo di dati sperimentali è un argomento complesso che richiede nozioni di statistica avanzate (test di reiezione delle ipotesi). Tuttavia possiamo portare gli studenti a riconoscere come nel confrontare i dati sia spesso difficile fare affermazioni certe (B è più veloce di C); piuttosto si parla di "probabilità" (la probabilità che B sia più veloce di C è del x%).
Discussione 5 Chiediamo agli studenti:
possiamo dire che B è più veloce di C? siamo sicuri? quanto siamo sicuri? E' chiaro che più i valori medi sono diversi più siamo confidenti nelle differenze osservate. Ma è importante sensibilizzare gli studenti sul fatto che esiste una probabilità che la differenza osservata sia un artefatto.
Quanto devono essere diversi i risultati per essere ragionevolmente sicuri che la differenza non sia un artefatto?
Per confrontare due misure e stabilire in prima approssimazione se le due misure sono diverse o meno, si può confrontare la differenza osservata con gli errori sulle singole misure: se la differenza è maggiore della somma degli errori possiamo assumere che la differenza sia significativa, altrimenti non siamo in grado di affermare se le due misure sono diverse o meno.
In effetti la trattazione è più complessa e richiede l'impiego di metodi statistici al di là di quanto richiesto dai programmi del liceo ed è brevemente descritta nella nota 7. Applichiamo la metodologia nel nostro caso specifico assumendo che la distribuzione sia gaussiana. Essendo il valore $$\epsilon = \frac{t_{C}-t_{B}}{\sqrt{\sigma_{B}^{2}+ \sigma_{C}^{2}}} = 2.7 $$ maggiore di 2, possiamo immediatamente concludere che al livello di confidenza di $2\sigma$ i due valori non sono compatibili e quindi effettivamente C è più veloce di B. L'uso della tabella della probabilità residuale della distribuzione di Gauss consente di essere più precisi; infatti per il valore di $\epsilon = 2.7$ essa fornisce una probabilità di 1.4%. Possiamo cioè affermare che: "la probabilità che la differenza osservata tra i riflessi di B e quelli di C sia dovuta agli errori di misura (e quindi non sia significativa) è del 1.4%". Concludiamo quindi : "la probabilità che C sia più veloce di B è del 98.6%".
Applicazioni
La misura dei tempi di reazione con il metodo descritto è stata usata dai miei studenti per confrontare i riflessi:
di due persone, mostrando che 5-6 misure sono sufficienti per distinguere i tempi di reazione di due persone;
di soggetti prima e dopo aver fatto attività fisica che richiede prontezza e attenzione (circa 1 ora di tennis) osservando un miglioramento dei tempi di reazione;
di soggetti prima e dopo un lungo periodo di lavoro/studio/utilizzo al PC (5 ore) rivelando una riduzione del tempo di reazione del 20-30%;
di una stessa persona in ambiente tranquillo o in una stanza con confusione osservando una riduzione dei tempi di reazione del 20-40%;
di soggetti (maggiorenni) dopo aver assunto bevande alcoliche, evidenziando un rallentamento dei riflessi che aumenta progressivamente in funzione del tempo dopo l'assunzione, fino a circa il 10-15% dopo 45 min.
Conclusioni
Effettuando N misure di una stessa grandezza la migliore stima del valore vero della grandezza è la media calcolate delle N misure: $$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i}^{N}x_i$$ La deviazione standard, definita come: $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i}^{N}(x_i - \bar{x})}$$ fornisce una stima quantitativa della dispersione dei dati sperimentali e permette di calcolare l'errore sul valore medio, dato da: $$\sigma _\bar{x} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$$ Infine, si ricorda che l'errore da assegnare ad una singola misura analoga ripetuta nelle stesse condizioni è la deviazione standard della distribuzione ottenuta in precedenza.
Note e storia
Note:
1) una rapida ricerca sul WEB consente di trovare una ampia varietà di sistemi per la misura dei tempi di reazione di un individuo, semplici e a basso costo. Molti si basano su applet java ma questo articolo (J. Eichstaedt, in Behavior Research Methods, Instruments, & Computers May 2001, Volume 33,179-186 (2001)) spiega in dettaglio che un applet non potrà essere mai più accurato del sistema operativo che lo gestisce e, tipicamente, i sistemi operativi aggiornano lo stato della tastiera o del mouse con periodi che possono raggiungere alcune decine di millisecondi (10-20 ms sono valori tipici), dal momento che i tempi di reazione di un individuo sono nell'ordine di 20 ms, è chiaro che un applet non può essere considerato accurato senza prima effettuare le dovute calibrazioni.
2) L'esperimento proposto è una variante ad un metodo spesso descritto in letteratura (es. qui) in cui il soggetto A deve prendere al volo un righello lasciato cadere dall'operatore B. E' utile discutere con la classe le possibili sorgenti di errore nella misura dello spazio percorso dalla bacchetta e nella lettura della posizione utilizzando questo metodo invece di quello proposto.
3) Pappo di Alessandria cita un trattato sulle medie scritto da Eratostene di Cirene. E' plausibile che Eratostene abbia utilizzato la media di misure ripetute per determinare la posizione del tropico e quindi per misurare la lunghezza del meridiano terrestre. E' interessante leggere a tal proposito le note di L. Russo (L.Russo, La rivoluzione dimenticata. Il pensiero scientifico greco e la scienza moderna, Feltrinelli, Milano 1996) in particolare la critica, ben argomentata e supportata, contro alla convinzione assai diffusa che la precisione con cui Eratostene determinò la lunghezza del meridiano terrestre fosse più un caso fortuito che una misura accurata.
4) Per convincersi che la semidispersione non è un modo corretto di considerare l'errore sui dati abbiamo suggerito di includere nella misura uno o più dati sicuramente sbagliati (es. distraendo gli operatori, finte, etc...). E' chiaro che questi dati andrebbero esclusi dai calcoli, ma dato un seti di misure come fare ad individuare quelli da scartare? Esiste un criterio (criterio di Chauvenet) che viene utilizzato per rigettare dati spuri; esso si si basa sulla deviazione standard.
6) Un confronto statistico permette di distinguere due risultati assegnando un valore alla probabilità che tale differenza sia reale: se questa probabilità è alta la differenza si dice significativa. Tuttavia, se la probabilità è bassa, la differenza non è significativa il che non vuol dire che le misure sono eguali, vuol solo dire che non siamo in grado di riconoscere una differenza. La teoria è complessa (test statistici) e richiede conoscenze al di la di un programma di liceo. Può essere utile però allargare questa discussione nell'ambito della filosofia: da una parte l'uso corretto del sillogismo (Aristotele) dall'altro la teoria di Popper sull'importanza della falsificazione della teoria come strumento fondamentale per il progresso scientifico.
7) L'uso della deviazione standard per quantificare l'errore è particolarmente utile in concomitanza con la diseguaglianza di Cebyšëv che stabilisce che:
il 75% dei valori di una distribuzione di probabilità sono compresi tra µ-2σ e µ+2σ
l' 88% dei valori di una distribuzione di probabilità sono compresi tra µ-3σ e µ+3σ
il 93% dei valori di una distribuzione di probabilità sono compresi tra µ-4σ e µ+4σ
...
dove $\mu$ è il valore medio della distribuzione e $\sigma$ la deviazione standard.
La diseguaglianza può essere utilizzata per quantificare la probabilità che due misure (i riflessi di B e di C nel nostro esempio) sono uguali o meno; se la differenza tra $t_B$ e $t_C$ è uguale a $2\sigma$ possiamo affermare che la probabilità che i due valori siano uguali (diversi) è del 75% (25%); analogamente se la differenza è pari a $3\sigma$ possiamo affermare che la probabilità che essi siano uguali (diversi) è del 88% (12%). La deviazione standard da utilizzare non è la somma delle deviazioni standard della misura di $t_B$ e di quella di $t_C$, bensì la loro somma in quadratura, cioè: $$\sigma = \sqrt{\sigma _A^2 + \sigma_B^2}$$
E' da sottolineare che la diseguaglianza di Cebyšëv vale per una distribuzione di probabilità qualunque e i valori sono sensibilmente più bassi di altre distribuzioni generalmente utilizzate.
Nel caso degli errori di misura, è generalmente valida la distribuzione di Gauss; per questa distribuzione il 68% dei valori sono compresi tra µ-σ e µ+σ e circa il 95% dei valori sono compresi tra µ-2σ e µ+2σ. Ne consegue quindi che nel caso dei riflessi di B e C se la differenza tra $t_B$ e $t_C$ è uguale a $\sigma$ possiamo affermare che la probabilità che i due valori siano uguali (diversi) è del 68% (32%); analogamente se la differenza è pari a $2\sigma$ possiamo affermare che la probabilità che essi siano uguali (diversi) è del 95% (5%). Possiamo limitarci a utilizzare questo risultato per stabilire se la differenza tra due valori misurati è significativa o meno: se la loro differenza $x_A - x_B$ divisa la loro deviazione standard combinata ( $\sigma = \sqrt{\sigma _A^2 + \sigma_B^2}$) è minore di 2 diremo che al livello di confidenza di $2\sigma$ o nel 95% dei casi le due misure sono compatibili (cioè uguali a tutti gli effetti); se viceversa è maggiore di 2 diremo che le due misure al 95% di probabilità sono diversi. Ovviamente il livello di confidenza può essere modificato, in funzione degli obbiettivi specifici che si hanno nel paragonare i due valori. Esistono delle tabelle che per ogni valore della quantità $$ \epsilon = \frac{t_{C}-t_{B}}{\sqrt{\sigma_{B}^{2}+ \sigma_{C}^{2}}} $$ forniscono la probabilità di osservare un valore maggiore di $\epsilon$; utilizzando tali tabelle il livello di confidenza può essere facilmente modificato.
