Molle in serie e in parallelo

In questo esperimento si studiano le costanti elastiche di due molle connesse in serie e in parallelo, per via statica e per via dinamica.

Nel caso statico si collegano le due molle a un corpo rigido, prima singolarmente e poi in serie o in parallelo, misurando nei vari casi l’allungamento complessivo del sistema, attraverso l’abbassamento di quota del corpo rigido. 
Nel caso dinamico, si studiano le stesse configurazioni, lasciando oscillare il sistema 10 volte e ricavando la costante elastica a partire dalla frequenza di oscillazione.

Nessuna

Inizialmente viene misurata la costante elastica delle singole molle  attraverso la legge di Hooke (nell'esperimento sono state utilizzate la molla di un cuscino e la molla di un bigodino); poi le due molle sono state collegate prima in parallelo e infine in serie, come mostrato nelle figure seguenti.

Per la disposizione in parallelo le molle sono sospese a quote differenti in modo che le estremità inferiori siano alla stessa quota; ad esse viene sospeso un corpo rigido (due ferri da maglia attaccati mediante colla a caldo) che verrà poi via via appesantito con i pesetti; occorre controllando che i ferri da maglia restino sempre orizzontali in modo che le due molle abbiano sempre la stessa deformazione, questo può controllarsi spostando i pesetti in orizzontale sui ferri da maglia.

Le misure e l'analisi dei dati nel caso statico e in quello dinamico è riportata nel seguito. 

Caso statico
Tabella 1 e 2 riportano i dati misurati sulle due molle nel caso statico;  l'incertezza sulla misura della x è assunta pari alla sensibilità del metro $\pm 0,001\ m$; per quanto riguarda l'incertezza sull'allungamento della molla $( \Delta x = x - x_0)$, esso è calcolato come somma in quadratura delle incertezze sulle posizioni, ovvero moltiplicando l'incertezza sulla posizione per \( \sqrt{2} \).
Dai singoli valori della costante k è stata determinata la migliore stima della costante elastica k come media pesata dei valori ottenuti e l'errore come l'errore sulla media pesata.
Molla di cuscino

La media pesata dei valori della costante elastica è quindi $k_{cuscino} = 14.3 ± 0.2 N/m$.

Molla di bigodino

La media pesata dei valori è quindi  $k_{bigodino} = 32,3 ± 0.2 N/m$. 

Molle in parallelo

La media pesata dei valori è (45.6 ± 0.5) N/m,  compatibile, entro $2 \sigma$ con il valore atteso pari a $k_{atteso} = 46.6 ± 0.4\  N/m$, dato dalla somma dei valori delle costanti elastiche:
$$k_{atteso} = k_{cuscino} + k_{bigodino}$$
$$\sigma_{k_{atteso}} = \sqrt{ \sigma _{k_{cuscino}}^2  +  \sigma _{k_{bigodino}}^2 }$$

Molle in serie

 
La media pesata dei valori è (9.8 ± 0.2) N/m, ed è compatibile con il valore atteso $k_{atteso} = 9.9 ± 0.2 N/m$,  il cui reciproco è dato dalla somma dei reciproci delle costanti elastiche: 
$$\frac{1}{k_{atteso}} = \frac{1}{k_{cuscino}} + \frac{1}{k_{bigodino}}$$ 

$$\sigma_{k_{atteso}} = k_{atteso} \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{molla}}}{k_{molla}})^2 +  (\frac{\sigma_{k_{bigodino}}}{k_{bigodino}})^2}$$
In conclusione, quindi, i valori ottenuti sono compatibili con quelli attesi sia nel caso in parallelo che in quello in serie. 

Vale la pena osservare che partendo dalla simmetria tra le leggi della costante elastica, della capacità dei condensatori, e della resistenza di un circuito ohmico, si ricavano analogamente le leggi per i sistemi di condensatori e resistenze, ovvero 

per i condensatori: 

per le resistenze:

Caso dinamico
Le misure sono state ottenute prendendo il tempo necessario a che la molla esegua 10 oscillazioni complete; il valore del periodo T è stato ottenuto dividendo il tempo totale per 10. Per calcolare il valore della costante elastica, si è considerata la legge del moto armonico:

                                                                       \( \large{ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}  \)

che sviluppata fornisce:
                                                                        \( \large{ k = \frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}}  \)

Nel caso dinamico le misure sono soggette a una maggiore dispersione.
Di seguito sono riportati i valori ottenuti per le molle singole e i valori ottenuti per i casi di molle in serie e molle in parallelo.

Per la molla di bigodino la media pesata dei valori è (30.0 ± 0.5) N/m, mentre per la molla di cuscino è  (14.8 ± 0.5) N/m.

Nelle configurazioni in serie e in parallelo invece otteniamo:

Per il caso in parallelo la media pesata dei valori è (44.7 ± 0.2) N/m, compatibile con il valore atteso di (44.8 ± 0.7) N/m.
Per il caso in serie la media dei valori è (10.2 ± 0.2) N/m, compatibile con il valore atteso di (9.9 ± 0.4) N/m.

E' senz'altro utile stimolare i ragazzi a verificare se le misure statiche forniscono risultati compatibili con le misure dinamiche o meno.

Pierri Raffaele