La legge di Hooke stabilisce la proporzionalità della deformazione di un corpo elastico allo sforzo ad esso applicato ed è uno dei modelli più utilizzati in tutti i campi della Fisica. Con questa esperienza si vuole mostrare allo studente come tale relazione possa essere impiegata con successo anche al di fuori dal suo campo di naturale applicazione (la deformazione delle molle) costruendo una "molla perfetta" che, come suggerisce il titolo, basa il suo funzionamento sul principio di Archimede.
Scheda sintetica delle attività
Il dispositivo si basa su due cilindri concentrici n2 e n1 di raggi $r_2 < r_1 $ come mostrato nelle figure 1 e 2. Il cilindro n2 più piccolo galleggia nell'acqua (rappresentata in figura dalle linee verdi) contenuta all'interno del cilindro più grande, siamo quindi nella condizione in cui la forza peso del cilindro n2 viene bilanciata dalla forza di Archimede : $$ V_0 \rho g = m g ,$$ dove $\rho$ è la densità dell'acqua.
La linea rossa in figura 1 rappresenta la linea di galleggiamento nella situazione iniziale. Supponiamo ora di spingere il cilindro n2 applicando una forza F dall'alto verso il basso in modo da far penetrare il cilindro n2 di $\Delta x$ all'interno del cilindro n1; così facendo un volume pari a $\pi r_2^2 \cdot \Delta x $ si sposterà al di sotto della linea rossa di galleggiamento iniziale, inoltre questo spostamento provocherà un innalzamento del livello dell'acqua all'interno del cilindro n1 pari a : $$\pi(r_1^2 - r_2^2 ) \Delta l = \pi r_2^2 \Delta x \rightarrow = \Delta l = \frac{r_2^2}{r_1^2 - r_2^2} \Delta x$$
Figura 1: schema di funzionamento della molla di Archimede
Di conseguenza una variazione di quota di $\Delta x $ causa un aumento del volume immerso pari a
$$\Delta V = \pi r_2^2 \cdot ( \Delta x + \Delta l) $$
$$ \Delta V = \pi r_2^2 \left( 1 + \frac{r_2^2}{r_1^2 - r_2^2} \right) \Delta x $$
$$ \Delta V = \frac{S_2 S_1 }{S_1 - S_2} \Delta x $$
Dove $ S_2 = \pi r_2^2 $ e $ S_1 = \pi r_1^2 $
Ciò significa che la forza che spinge il cilindro verso il basso viene compensata da un aumento della forza di Archimede dovuta al maggior volume immerso $$F = \rho g \frac{S_2 S_1 }{S_1 - S_2} \Delta x $$ formalmente coincidente con la legge di Hooke. In conclusione il cilindro n2 può essere visto come l'estremo di una molla di costante elastica $$k = \rho g \frac{S_2 S_1 }{S_1 - S_2} = \rho g \left( \frac{1}{S_2} - \frac{1}{S_1} \right)^{-1} \ \ \ \ \ \ (1)$$ Si noti che la costante k risulta pari a quella di due molle in serie di costante elastica $k_1 = - \rho g S_1$ ; $k_2 = \rho g S_2$
Risorse necessarie
2 barattoli di forma cilindrica (preferibilmente di plastica);
3 turaccioli;
matita e forbici;
righello o metro a nastro, calibro;
pesi campione.
Prerequisiti necessari
Concetto di forza ed equilibrio statico;
legge di Hooke;
statica dei fluidi, forza di Archimede;
saper risolvere le equazioni.
Obiettivi di apprendimento
Consolidare le conoscenze sulla statica dei corpi e dei fluidi;
educare lo studente a saper applicare uno stesso modello matematico in situazioni sperimentali molto diverse.
Dotazioni di sicurezza
nessuna
Svolgimento
Realizzazione dell'apparato sperimentale
Il primo passo consiste nel ricavare un'apertura circolare sul coperchio del cilindro n1, per poter immergere il cilindro n2; il diametro di questa apertura deve coincidere con il diametro del cilindro n2, come mostrato in figura 2.
Figura 2: cilindro n2 con vassoio applicato (sinistra) e cerchio concentrico al coperchio del cilindro n1
Il gioco necessario allo scorrimento dei due cilindri potrebbe far si che il cilindro n2, nel muoversi, segua una direzione significativamente diversa dalla verticale. E' possibile risolvere tale inconveniente allargando la base del cilindro n2, ad esempio posizionando dei turaccioli a 120° l'uno dall'altro, in modo da impedire movimenti laterali (figura 3)
Affinché la situazione sperimentale rispecchi in pieno lo schema in figura 1 è necessario assicurarsi che i turaccioli siano completamente sotto la linea di galleggiamento, in modo tale che, immergendo il cilindro n2 di un tratto $ \Delta x $ la variazione del volume immerso segua la trattazione esposta precedentemente. Nel caso in cui ciò non dovesse verificarsi è possibile appesantire il cilindro n2 versando ad esempio dell'acqua all'interno del cilindro n2 fino a far immergere completamente i turaccioli.
Figura 3: i due cilindri; a sinistra il cilindro n2 con i turaccioli montati
In cima abbiamo incollato un piccolo tappo rovesciato con l'obiettivo di ottenere un vassoio posa oggetti (figura 2).
In fase di montaggio è necessario prendere le misure del diametro interno del barattolo n1 ed esterno del barattolo n2, dalle misure effettuate abbiamo trovato i seguenti valori : $D_1 = (9.5 \pm 0.1) cm $ e $D_2 = (6.2 \pm 0.1) cm $ da cui otteniamo per le superfici $S_1 = (0.0070 \pm 0.0001)m^2 $ e $S_2 = (0.0030 \pm 0.0001) m^2$. Da queste è possibile attraverso la formula (1) ottenere una stima per la costante elastica k : $$k = (51 \pm 4) N/m $$ A questo punto è possibile iniziare le misure. In tabella 1 sono riportati i dati sperimentali ottenuti utilizzando come pesi standard monete da 2 Euro la cui massa nominale è di 8.5 grammi.
Tabella 1: valori sperimentali misurati
Figura 6 riporta il grafico della forza peso in funzione dello spostamento: l'andamento, chiaramente lineare, ha consentito di determinare la retta di regressione lineare, mostrata anch'essa in figura.
Figura 4: grafico dei valori della forza in funzione dello spostamento e retta di regressione lineare
Dal fit dei dati si ottiene il valore per la costante elastica $k = (51.8 \pm 0.7)\ N$, in pieno accordo con il valore atteso previsto dalla trattazione teorica.
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