Lo scopo di questa attività è l’introduzione del concetto teorico di forza attraverso lo studio di un suo effetto: la deformazione di oggetti come molle o elastici. L’attività è rivolta ad una prima classe del liceo e si colloca dopo aver trattato la teoria degli errori e della misura,
Scheda sintetica delle attività
Ci si propone di studiare la relazione esistente tra l’allungamento subito da una molla sospesa verticalmente ad un supporto rigido ed il numero degli oggetti che provocano tale allungamento.
L’attività inizia in classe dove si analizzano alcune esperienze legate al vissuto di ogni alunno e si guida gli alunni a porre alcuni quesiti mirati a focalizzare il fenomeno che si vuole studiare, ad individuare le grandezze in gioco e alla eventuale formulazione di ipotesi. Successivamente si forniranno solo le informazioni indispensabili per la riuscita dell’attività e si darà ampio spazio alla fantasia dell’alunno per la progettazione e la realizzazione del dispositivo sperimentale.
Gli alunni trascrivono i dati ottenuti durante l’esperienza in una tabella, li elaborano e li riportano su un piano cartesiano. Studiano il tipo di relazione matematica esistente tra le due grandezze e, infine, confrontano i risultati ottenuti dai vari gruppi traendone conclusioni.
Risorse necessarie
Metro (sensibilità 0,1 cm);
bilancia;
squadra piccola( sensibilità 0,1 cm);
sostegno rigido (esempio chiodo ad un muro);
molla elicoidale (eventualmente può essere sostituita da un elastico o da altro materiale indeformabile);
alcuni oggetti uguali tra loro (esempio graffette, chiodi, bulloni, monete,..).
Prerequisiti necessari
Conoscere il metodo di misurazione delle grandezze fisiche.
conoscere il significato di errore sistematico, errore di parallasse, errore assoluto, errore relativo e punto sperimentale.
conoscere il significato di grandezze direttamente proporzionali
conoscere il Sistema Internazionale;
saper eseguire una misurazione;
saper rappresentare il punto sperimentale su un piano cartesiano;
saper stabilire se due grandezze sono direttamente proporzionali;
saper quantificare l'errore assoluto di una misura diretta (indiretta);
saper calcolare l'errore relativo;
saper operare con le cifre significative.
Obiettivi di apprendimento
Stabilire il livello di autonomia, conseguito da ogni ragazzo, in una attività sperimentale: progettare-eseguire-elaborare i dati-formulare eventuali leggi;
stabilire la relazione matematica tra l’allungamento subito da una molla e il numero di oggetti appesi;
interpretare tale legge come legame tra l’allungamento e la massa dell’oggetto che lo provoca;
comprendere il concetto di elasticità e di limite di elasticità di una molla;
indurre lo studente a riflettere sulla causa dell'allungamento della molla;
introdurre il concetto di forza come causa della deformazione della molla.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
INTRODUZIONE
Agli alunni viene chiesto di: osservare alcuni fenomeni fisici legati al comportamento delle molle, modellizzare le caratteristiche osservate, discutere sui limiti di validità della legge determinata e sulla causa che provoca la deformazione della molla. Dopo una prima fase laboratoriale si passerà ad una fase teorica dove verrà introdotta la grandezza vettoriale: forza; in particolare si preciseranno i concetti teorici di forza peso, forza elastica (legge di Hooke), massa e condizione di equilibrio.
L’attività è rivolta ad una prima classe del liceo e si colloca dopo aver trattato la teoria degli errori e della misura, le principali relazioni tra grandezze fisiche ed aver effettuato alcune esperienze quantitative in laboratorio. Gli studenti effettuano l’esperimento a casa, da soli o riuniti in gruppi di 2 o 3 persone; essi progettano, eseguono l’attività, interpolano i dati e determinano l’eventuale legge tra le grandezze studiate senza l’intervento del docente. L’attività proposta si presta, infine, a dei collegamenti interdisciplinari: i dati raccolti possono essere utilizzati dal docente di matematica nell’ambito della statistica.
PRIMA FASE
In classe, partendo dall’analisi di alcune esperienze quotidiane, si porta l’alunno a focalizzare il fenomeno che consiste nell’incremento della lunghezza di una molla con l’aumento degli oggetti appesi ad essa. Di conseguenza gli alunni saranno indotti ad ipotizzare la relazione esistente tra il numero degli oggetti appesi e l’allungamento prodotto sulla molla. Questa relazione è esprimibile attraverso una formula matematica? In caso affermativo, essa ha limiti di validità?
Si fa notare, inoltre, che un oggetto, non appena viene agganciato alla molla, dà luogo ad oscillazioni, la lettura della nuova lunghezza della molla dovrà avvenire nel momento in cui il movimento oscillatorio sarà terminato, ossia quando il sistema molla-oggetto è in equilibrio.
Si chiede agli alunni di realizzare l’esperienza utilizzando il materiale facilmente reperibile; l’alunno dovrà:
Individuare un supporto rigido dove appendere la molla (ad esempio un chiodo infisso nel muro);
procurarsi una molla elicoidale che , eventualmente, può essere sostituita da un elastico;
appendere la molla in modo che sia libera di oscillare verticalmente;
posizionare il metro in modo da non influenzare l’allungamento della molla e da facilitare la lettura della nuova lunghezza della molla (eventualmente aiutarsi con una squadretta per l’esecuzione delle misure di lunghezza della molla ponendola con un lato adiacente al metro e l’altro lato, ortogonale al primo, rivolto verso l’esterno finché non raggiunge la molla nel punto in cui l’ultima spira termina nel tratto verticale);
effettuare la lettura della misura posizionandosi in modo da minimizzare l’errore di parallasse e solo dopo che la molla abbia raggiunto la nuova posizione di equilibrio;
ripetere l'operazione di misurazione altre due volte;
appendere alla molla un oggetto, misurare la nuova lunghezza della molla;
togliere l'oggetto dalla molla e assicurarsi che la molla ritorni nella posizione iniziale (ossia che la molla non si sia deformata);
appendere due oggetti e ripetere le due operazioni precedent;
procedere fino ad appendere almeno quattro oggetti;
determinare anche la massa di un oggetto, di due oggetti, ,… riportando le misure ottenute, con le rispettive incertezze, in una tabella;
stabilire il numero massimo di oggetti per il quale si può eseguire l'esperienza. e spiegare che cosa accade in questa situazione.
SECONDA FASE
Gli alunni eseguono l’esperimento a casa. E’ opportuno sottolineare come gli studenti, spesso, riescono a realizzare in modo creativo e funzionale tutta l’attività, infatti, di solito, alcuni posizionano il metro facendo corrispondere lo zero del metro con la parte inferiore della molla a riposo in modo da leggere direttamente il valore dell’allungamento corrispondente e da rendere più snello l’elaborazione dei dati sperimentali. Altri fissano una piccola busta di plastica all’estremità inferiore della molla utilizzandola come contenitore degli oggetti costituiti da bulloni uguali tra loro o da pennarelli o da graffette o da altro.
Acquisizione dei dati
I dati riportati sono stati ottenuti da un alunno che ha studiato l’allungamento della molla utilizzando 4 bulloni uguali tra loro. Il ragazzo effettua una sola misurazione della lunghezza della molla in ciascuna fase di carico e, in tal caso, l'errore assoluto di ogni misura coincide con la sensibilità dello strumento utilizzato. La lunghezza a riposo della molla prima di eseguire l'esperimento è: $$L_0 = \left( 9.7 \pm 0.1 \right) \ 10^{-2}\ m$$ Tabella 1: dati sperimentali
L'errore di misura sulla massa M è pari alla sensibilità della bilancia pari a $\delta M = \left(0,1 \cdot 10^{-2}\right) Kg$; l' errore di misura sulla lunghezza L è pari alla sensibilità del metro utilizzato, pari a $\delta L= \left(0,1 \cdot 10^{-2}\right) m$; l'errore sull'allungamento è dato dalla propagazione degli errori ed è pari a $\delta \left( \Delta L \right) = \left(0,14 \cdot 10^{-2}\right)$.
Al termine delle misure la lunghezza a riposo della molla risulta: $$L_0 = \left( 9.8 \pm 0.1 \right) \ 10^{-2}\ m$$ ossia essa ha subito una deformazione trascurabile.
Elaborazione dei dati
Figura 1 e 2 riportano l'allungamento della molla in funzione del numero di oggetti e della massa ad essa appesa.
Figura 1: allungamento della molla in funzione del numero di oggetti appesi Figura 2: allungamento della molla in funzione del numero della massa totale appesa
Dall'analisi dei grafici si evince che:
l’allungamento subito dalla molla è direttamente proporzionale al numero di oggetti;
l’allungamento subito dalla molla è direttamente proporzionale alla massa.
Si determina il valore della costante di proporzionalità in entrambi i casi; gli errori sono calcolati con le usuali formule di propagazione degli errori.
Primo caso
La tabella 2 riporta i valori del rapporto $\large{\frac{\Delta L}{n}}$ e l'errore corrispondente, calcolato con la propagazione degli errori.
Tabella 2: valori del rapporto $\Delta L/n$
La migliore stima della costante di proporzionalità $k'$ la si ottiene eseguendo la media aritmetica dei 4 valori $x_i = \large{\frac{\Delta L_i}{n}}$: $$ k' = \frac{\sum _{i=1}^4 x_i}{n} = 1,15 \cdot 10^{-2}\ m$$ Si stima l'errore assoluto calcolando prima la deviazione standard: $$\sigma _{x} = \sqrt{\frac{\sum _i \left(x_i - k'\right)^2}{n-1}} = 0,05 \cdot 10^{2}\ m $$ e poi l'errore sulla media: $$\sigma _{k'} = \frac{\sigma _x}{\sqrt{n}} = 0,03 \cdot 10^{-2}\ m$$
L'errore relativo percentuale è dunque pari al 2.6%.
Secondo caso La tabella 3 riporta i valori del rapporto $\large{\frac{\Delta L}{m}}$ e l'errore corrispondente, calcolato con la propagazione degli errori.
Tabella 3: valori del rapporto $\Delta L/m$
Procedendo in modo analogo al caso precedente otteniamo i valori: $$ k' = \frac{\sum _{i=1}^4 x_i}{n} = 0,433 \cdot 10^{-2}\frac{m}{kg}$$ $$\sigma _{x} = \sqrt{\frac{\sum _i \left(x_i - k'\right)^2}{n-1}} = 0,017 \cdot 10^{-2} \frac{m}{kg} $$ $$\sigma _{k'} = \frac{\sigma _x}{\sqrt{n}} = 0,010 \cdot 10^{-2} \frac{m}{kg} $$
L'errore relativo percentuale è dunque pari al 2,3%.
Terza fase
In classe, si confrontano i risultati ottenuti dai singoli gruppi che hanno utilizzato molle con caratteristiche diverse e si arriva a concludere che:
la relazione esistente tra l’allungamento delle varie molle utilizzate ( compreso l’elastico ) e il numero di oggetti (o le rispettive masse ) è di diretta proporzionalità entro certi limiti ( limite di elasticità della molla );
la costante di proporzionalità varia a seconda della sostanza di cui è costituita la molla, della dimensione della singola spira, della sezione della molla, del numero di spire, ossia la costante dipende dalle caratteristiche fisiche e geometriche della molla;
la relazione di diretta proporzionalità, ha dei precisi limiti di validità: per ogni molla esiste un carico massimo al di sopra del quale essa perde la sua elasticità. Se si supera il carico massimo, essa rimane deformata in modo permanente e può anche rompersi.
In questa fase, inoltre, si porta lo studente a riflettere sulla causa della deformazione della molla e sulla relazione tra massa e allungamento. Quindi, si introduce la grandezza fisica “ forza”, in particolare la forza peso. Infine, si ottiene che l'allungamento della molla è direttamente proporzionale alla forza peso agente sugli oggetti per cui si può scrivere $$\Delta L = k' \cdot P $$ dove k' è detto coefficiente di allungamento e P rappresenta la forza peso; si conclude enunciando la legge di Hooke dove la costante elastica k è data dalla relazione: $$ k = \frac{1}{k'}$$ Dopo questa esperienza si può proporre agli alunni di costruire un dinamometro (in questo caso si impara a costruire una curva di taratura dello strumento) oppure si possono usare molle ed elastici per ripetere l'esperienza e trovare la legge che descrive la composizione delle costanti elastiche di due molle collegate in serie o in parallelo.
Note e storia
“Newton osservò che un corpo fermo diventa pesante per l'azione del campo gravitazionale della Terra sulla sua massa. Nel caso della collisione fra corpi in movimento la forza applicata, come diceva Newton, è generata dall'accelerazione o decelerazione delle masse in moto. Questi principi sono validi se dobbiamo calcolare le forze a cui sarà probabilmente soggetta una struttura, ma ci dicono troppo poco sulle forze generate nel materiale di cui è costituita la struttura. Se appendiamo un peso a una fune, come e perché la fune resiste? Il merito di aver risposto a questa domanda piuttosto importante va al fisico inglese Robert Hooke (1635-1703). A differenza di Newton, Hooke aveva un grande interesse per quanto avveniva nelle cucine, negli arsenali, nei cantieri, in breve per tutti gli aspetti meccanici della vita e i suoi problemi pratici. Nel XVII secolo Hooke prese in considerazione una notevole varietà di cavi, molle e travi di legno e le sottopose a carichi via via crescenti, aggiungendo pesi sul piatto di una bilancia. Utilizzando un paio di compassi misurò poi meglio che poté la deformazione elastica provocata dai vari carichi. Ottenne così un grafico della deformazione in funzione della variazione del carico che in tutti i casi era una linea retta. Inoltre quando il carico veniva progressivamente rimosso, anche il ritorno alle condizioni iniziali era lineare e, tenendo conto dei margini d'errore delle sue misure, che naturalmente non erano molto accurate, si poteva dire che tutti gli oggetti presi in considerazione riacquistavano la loro lunghezza originale.
Per proteggere i suoi diritti di priorità, e forse per irritare Newton, Hooke pubblicò nel 1767: A decimate of the centesime of the inventions I intend to publish. Quest'elenco di progetti includeva un capitolo intitolato: The true theory of elasticity or springiness, che era seguito dall'anagramma «ceiiinosssttuu». Hooke rivelò la soluzione di quell'anagramma nel 1769, : la vera teoria dell'elasticità era «ut tensio, sic vis » che significa « la forza è proporzionale all'allungamento»;
Lo studio delle condizioni che si verificano in un arbitrario punto interno a un materiale soggetto a forze meccaniche porta ai concetti di sforzo e di deformazione che rivestono un ruolo importante nella storia dello studio della resistenza e dell'elasticità di materiali e strutture”.
