L'attività sperimentale propone lo studio della dipendenza del periodo del pendolo semplice dai parametri fisici che lo caratterizzano (massa, lunghezza e accelerazione di gravità) andando oltre l'approssimazione armonica ossia facendo oscillare il pendolo a grandi angoli.
Scheda sintetica delle attività
Dopo aver realizzato il pendolo semplice, si studia la dipendenza di T dall’ampiezza dell’oscillazione, dalla massa e dalla lunghezza del pendolo; l'analisi dei dati consente di verificare che i dati sperimentali sono in accordo con gli andamenti previsti teoricamente nei tra casi. Posizionando opportunamente due magneti, si simula un aumento della forza peso agente sul magnete e si misura il periodo del pendolo al variare della lunghezza in questa situazione; si verifica che l'andamento del quadrato del periodo in funzione della lunghezza del pendolo resta lineare.
Risorse necessarie
Asta metallica con treppiede;
filo di nylon lungo circa 3 m (si suggerisce di utilizzare la lenza da pesca);
metro;
oggetti di massa variabile
goniometro;
cronometro analogico o digitale con sensibilità 0.01 s;
tavoletta di legno
nastro adesivo
forbici;
pesetti di ferro;
magneti al neodimio.
Prerequisiti necessari
Conoscere la legge del pendolo;
saper compilare tabelle;
saper utilizzare un foglio elettronico;
saper rappresentare graficamente i dati raccolti .
Obiettivi di apprendimento
Saper analizzare, elaborare e interpretare i dati raccolti;
saper individuare relazioni tra grandezze fisiche a partire dall'analisi e l'elaborazione dei dati raccolti;
saper confrontare dati e i risultati ottenuti di un esperimento.
Dotazioni di sicurezza
nessuna
Svolgimento
Prima parte: Il pendolo semplice
L'apparato sperimentale utilizzato è mostrato in figura 1.
Figura 1: apparato sperimentale per la verifica della legge $T= 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ del pendolo semplice
Per questa prima parte si propone agli studenti la scheda di lavoro "Scheda pendolo semplice" allegata.
Fase 1:Dipendenza del periodo del pendolo dall'ampiezza di oscillazione
Per eseguire le misure procedere nel modo seguente:
agganciare il pendolo di lunghezza fissata (80 cm) all’asta di sospensione;
posizionare di volta in volta il pendolo ad angoli diversi assicurandosi che il piano di oscillazione sia parallelo al piano del goniometro;
effettuare almeno 5 misure del periodo del pendolo per ogni angolo.
I dati misurati sono riportati in tabella 1.
Tabella 1: periodo del pendolo per diverse ampiezze di oscillazione
In tabella 2 sono riportati i valori medi del periodo e l'errore di misura.
Tabella 2: valori medi del periodo del pendolo in funzione dell'ampiezza di oscillazione
I dati sperimentali mostrano chiaramente l'aumento del periodo all'aumentare dell'ampiezza di oscillazione. In figura 2 è riportato il grafico del periodo del pendolo in funzione dell'ampiezza di oscillazione e la curva polinomiale di secondo grado che meglio approssima l'andamento sperimentale.
Figura 2: andamento del periodo del pendolo in funzione dell'ampiezza di oscillazione e curva di fit
Possiamo concludere che il periodo del pendolo aumenta all'aumentare dell’angolo. Dal fit dei punti si può dedurre una dipendenza quadratica tra T e ampiezza delle oscillazioni; nelle note è riportata la relazione esatta che esprime il periodo del pendolo quando l'ampiezza delle oscillazioni non può esser considerata piccola. L’intercetta con l’asse y fornisce il valore T=1,77 s; poiché il valore medio del periodo più vicino a 1,77 s lo si è ottenuto per 10° possiamo concludere che per angoli minori di 10° il periodo possa essere considerato costante.
Fase 2:Dipendenza del periodo del pendolo dalla massa Per eseguire le misure procedere nel modo seguente:
sospendere al filo (di lunghezza prefissata) sferette o piombi di lenza di massa nota (almeno cinque valori diversi della massa);
posizionare di volta in volta il pendolo allo stesso angolo (il più piccolo possibile, per esempio, 10°) e assicurarsi che il piano di oscillazione sia parallelo al piano del goniometro;
effettuare almeno 5 misure del periodo per ogni massa.
I dati raccolti sono riportati in tabella 3.
Tabella 3: misure sperimentali del periodo del pendolo in funzione della massa
Tabella 4 riporta i valori medi e gli errori sperimentali per il periodo misurato per le diverse masse.
Tabella 4: valori medi del periodo del pendolo per le diverse masse
Si osserva che il periodo del pendolo è costante e non dipende quindi dal valore della massa che oscilla; il valore medio $\bar{T} = 1,79\ s$ cade infatti all'interno degli intervalli sperimentali $T \pm \Delta T$ per ogni massa.
Questa caratteristica è confermata anche dalla curva della figura seguente, nella quale si osserva che al variare della massa il periodo oscilla casualmente intorno al valore medio T=1,79 s.
Figura 3: andamento del periodo di oscillazione in funzione della massa del pendolo
Fase 3:Dipendenza del periodo del pendolo dalla lunghezza Per eseguire le misure procedere nel modo seguente:
agganciare all’asta di sospensione pendoli di lunghezza diversa (almeno cinque valori diversi);
posizionare di volta in volta il pendolo allo stesso angolo assicurandosi che il piano di oscillazione sia parallelo al piano del goniometro;
effettuare almeno 5 misure del periodo per ogni pendolo di lunghezza diversa.
Tabella 5 riporta i valori medi del periodo del pendolo ottenuto come media di 5 misurazioni diverse per 5 diversi valori della lunghezza; l'errore sperimentale riportato è l'errore sulla media.
Tabella 5: valori medi del periodo del pendolo per diverse lunghezze; sono riportati anche i valori del quadrato del periodo e del valore dell'accelerazione di gravità calcolata utilizzando la relazione $T = 2 \pi \sqrt{\large{\frac{l}{g}}}$
I valori del periodo possono essere utilizzati per determinare l'accelerazione di gravità g; risulta infatti che: $$ g = \frac{4 \pi ^2 l}{T^2}$$ I valori di g così calcolati sono riportati in tabelle 5; gli errori sperimentali sono stati ottenuti con la propagazione degli errori.
Mediando i valori di $g$ ottenuti pesandoli con le incertezze associate arriviamo alla seguente stima di g $$ g = (9.77 \pm 0.11) m/s^2 $$ Il valore ottenuto è in accordo con il valore atteso che in Italia è pari a $g = 9,80149\ m/s^2$.
Interessante è anche tracciare il grafico del quadrato del periodo del pendolo in funzione della lunghezza (figura 4); essendo infatti: $$T^2 = \frac{4 \pi ^2}{g} \cdot l$$ il grafico presenta un andamento lineare la cui pendenza consente di determinare il valore di g.
Figura 4: andamento del quadrato del periodo in funzione della lunghezza del pendolo e retta di regressione lineare.
Dal valore della pendenza della retta di regressione otteniamo: $$ g = 9,7 \pm 0,5\ m/s^2$$ valore in accordo, entro i limiti dell'errore, sia con la stima precedente sia con il valore atteso.
Parte seconda: Pendolo con...magnete
L'apparato sperimentale per questa seconda parte è mostrato in figura 5. Proporre agli studenti la scheda di lavoro "Scheda pendolo con magnete" allegata.
Figura 5: apparato sperimentale per la verifica della legge $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$ nel pendolo con magnete
Fase 4: Dipendenza di T dall’accelerazione di gravità
In questa parte dell'esperimento si vuole far osservare come aggiungendo una forza alla forza peso del pendolo, il moto abbia delle caratteristiche simili a quella del pendolo semplice. La forza aggiuntiva è una forza magnetica, di intensità $F_M$ non nota ma che assumiamo essere costante e verticale come la forza peso. In questa ipotesi è facile verificare che il moto del pendolo è, per piccole oscillazioni, armonico di periodo $$ T = 2 \pi \sqrt {\frac{l}{g+ F_{M}/m}} = 2 \pi \sqrt {\frac{l}{g}} \cdot \sqrt{\frac {g}{g+F_{M}/m }} \ \ \ \ \ \ \ [1]$$
Il periodo quindi si riduce dello stesso fattore $ \sqrt{ \frac{g}{g+F_{M}/m }} $ per tutte le lunghezze del pendolo.
Per verificare sperimentalmente questo andamento:
utilizzare i pendoli di diversa lunghezza utilizzati nella fase 3 (30 cm, 60 cm, 90 cm, 120 cm, 150 cm, 180 cm);
posizionare sotto la massa oscillante di ciascun pendolo di ferro un magnete al neodimio;
fissare un magnete al neodimio alla tavoletta di legno servendosi del nastro adesivo;
posizionare la tavoletta con il magnete lungo la verticale ad una distanza dall’oggetto sospeso, tale che i due magneti si attraggano ma non si attacchino (circa 5 cm nel caso di un magnete Neodimio, N45, nichelato);
misurare il periodo del pendolo (con i magneti) per varie lunghezze, con la stessa metodologia utilizzata precedentemente.
Tabella 6 riporta i valori medi del periodo del pendolo ottenuto come media di 5 misurazioni diverse per 5 diversi valori della lunghezza; l'errore sperimentale riportato è l'errore sulla media.
Tabella 6: valori medi del periodo del pendolo con magnete e del suo quadrato al variare della lunghezza del pendolo
In figura 6 sono confrontati i valori del periodo del pendolo semplice e con magnete alle diverse lunghezze. Figura 6: grafico del periodo del pendolo semplice e del pendolo con magnete al variare della lunghezza
Dal confronto si deduce che il periodo del pendolo con il magnete, a parità di lunghezza, è minore di quello del pendolo semplice di un fattore che, nei limiti degli errori non dipende dalla lunghezza del pendolo. Infine, rappresentiamo il quadrato del periodo del pendolo con magnete in funzione della sua lunghezza.
Figura 7: grafico del quadrato del periodo del pendolo con magnete in funzione della sua lunghezza
che conferma come, anche in questo caso sia presente una relazione lineare tra il quadrato del periodo e la lunghezza del pendolo, in accordo con la relazione [1].
Note e storia
La soluzione esatta dell’equazione del pendolo fornisce la seguente relazione $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left[ 1+\frac{1}{4}sen^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)+ \frac{1}{24}sen^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right)+ ...\right]$$
dalla quale si deduce che a parità di lunghezza e di g, tra il periodo T e l’ampiezza delle oscillazioni esiste una relazione di tipo non lineare.
Bibliografia
"Il pendolo semplice" - Corso di fisica 1 - Università di Verona (http://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid091331.pdf);
"Ricerca della legge empirica del pendolo"- Zuccher Simone (Esperimento185 LS-OSA lab;
"Errori di misura" - Meneghini Carlo (Esperimento 6-Fisica).
