Pendolo conico

L'obiettivo principale dell'esperienza è lo studio della dinamica del pendolo conico; l'esperienza, che può essere inquadrata nel contesto del laboratorio povero, permette di trovare il legame tra i principali parametri in gioco nell'esperimento (periodo di rotazione del pendolo e inclinazione dello stesso) attraverso un'analisi teorica abbastanza ricca; l'esperimento prevede come prerequisiti la conoscenza del moto circolare uniforme, la scomposizione dei vettori e, più in generale, in generale la conoscenza delle leggi fondamentali della meccanica del punto.

Si assembla il pendolo conico fissando il motorino su un supporto rigido con l'asse di rotazione dello stesso orientato lungo la verticale come illustrato in figura 1. Sullo stesso supporto si avrà cura di posizionare anche un goniometro che permetterà di leggere l'inclinazione del filo che connette il motorino al pendolo. 
Dopo aver alimentato il motorino si inizia la presa dati misurando l'angolo di inclinazione del filo e il periodo di rotazione per diverse masse del pendolo. Dall'analisi dati si ottiene una misura dell'accelerazione gravitazionale.

Approfondire lo studio della dinamica di un moto circolare;
comprendere l'origine delle forze apparenti nei sistemi di riferimento non inerziali.

Nessuna

Si allestisce  l'apparato sperimentale come descritto nella scheda sintetica delle attività e si procede alla raccolta dei dati: si appende una massa al filo, si mette in rotazione il motorino e si aspetta che il sistema si stabilizzi su un’orbita circolare.
Si misura l’angolo che il filo forma con l’orizzontale traguardando il lato del goniometro in modo che quest'ultimo risulti parallelo con il filo del pendolo (figura 2); nelle stesse condizioni si misura il tempo necessario affinché il pendolo compia  10 giri completi. Si ripete l’esperimento con masse diverse.

Poiché la massa si muove di moto circolare uniforme la risultante $\vec{R}$ delle forze che agiscono su di essa deve essere una forza centripeta. Si consideri quindi un sistema di coordinate cartesiane XYZ con il piano XOY che contiene il piano dell'orbita, l'origine coincidente con il centro della stessa e l'asse Z diretto lungo la verticale.  
Sul corpo agiscono 2 forze: la forza $\vec{F}_t$ (la tensione del filo) e la forza peso $\vec{P} = m\vec{g}$ .
La forza  $\vec{F}_t$ si può scomporre in due componenti : la componente  $\vec{F}_{txy}$ che giace sul piano XOY e che si comporta come una forza centrale puntando costantemente verso l'origine e la  componente verticale  $\vec{F}_{tz}$ .  Essendo la coordinata z della massa costante possiamo concludere che: $$F_{tz} =  F_{t}sen\alpha = mg$$ dove $\alpha$ è l'angolo che il filo forma con l'orizzontale.
Essendo: $$F_{txy}  =  F_{t}cos\alpha  = \frac{m v^2}{r}$$ dove $r$  è il raggio dell'orbita circolare e $v$ la velocità della massa, otteniamo che:
$$\tan \alpha = \frac{g r}{v^2} \quad [1] $$
Se il braccetto che collega il filo al motorino è sufficientemente piccolo rispetto alla lunghezza del filo allora possiamo dire che il filo, durante la rotazione, giace sulla superficie laterale di un tronco di cono che può essere approssimato a un cono il cui apotema è la lunghezza del filo stesso $L$; questa è una stima per difetto della lunghezza L. Possiamo ora determinare il raggio dell'orbita circolare $r = L \cos \alpha$. 
Considerando la relazione $v = \frac{2 \pi r}{T}$ (con $T$ periodo di rotazione) riformuliamo la [1] nella seguente forma:
$$\frac{T^2}{\sin \alpha} = \frac{4 \pi^2 L}{g} \quad [2]$$

Grazie a questa relazione, sarà dunque possibile verificare la proporzionalità tra il quadrato del periodo del moto circolare e il seno dell’angolo con l'orizzontale a cui si dispone il filo del pendolo; infatti, in base alla relazione [1]  il motorino, avendo una potenza costante, ruoterà con velocità minore all'aumentare della massa e si posizionerà ad angoli maggiori.

Raccolta dei dati
La tabella 1 riporta i dati ottenuti in un esperimento effettuato in classe, operando come precedentemente descritto.

Analisi dei dati
La tabella 2 riporta per le varie masse i valori del seno dell'angolo $\alpha$ e del quadrato del periodo del moto circolare.

I dati sono mostrati anche in figura 3 assieme alla retta di regressione lineare.

Utilizzando questo risultato è possibile stimare il valore di g. Osserviamo che dalla regressione lineare e dalla relazione [2] risulta : $$ \frac{4 \pi^2 L}{g} = p \pm \Delta p = (1.696 \pm 0.006) s^2$$
dove p è la pendenza della retta di regressione lineare.
Considerando che la lunghezza del filo risulta essere $L=(0.415 \pm 0.005)m$ si giunge alla seguente stima per l'accelerazione di gravità:
$$g =  \frac{4 \pi^2 L}{p} = 9.66 m/s^2  \  \  \ e \quad \Delta g = g \cdot \sqrt{\left( \frac{\Delta L}{L}\right)^2 +  \left( \frac{\Delta p}{p}\right)^2 }  = 0.12 m/s^2 $$.

Osserviamo che il valore trovato  $ g = (9.66 \pm 0.12)m/s^2 $ è compatibile entro $2\sigma$ con il valore atteso di $9.81 m/s^2$.
Non va dimenticato comunque che tale valore risente di una sottostima della lunghezza del pendolo per aver approssimato la lunghezza del filo con l' apotema del cono.

E' senz'altro utile proporre agli studenti anche l'analisi delle forze e del moto del pendolo nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il pendolo.

Pierri Raffaele