Riassunto / Abstract

L’esperimento prevede la misurazione del periodo di oscillazione di un pendolo a doppio filo facendo uso dell’accelerometro e del giroscopio dello smartphone.

Scheda sintetica delle attività

Allestimento di un pendolo semplice in cui la massa oscillante è costituita da uno smartphone;
misurazione delle caratteristiche del pendolo;
osservazione del moto del pendolo e presa dati;
elaborazione dei dati offline;
calcolo della pulsazione del moto del pendolo;
confronto con la previsione teorica.

Risorse necessarie

Smartphone con app di presa dati (e.g. Sensor Kinetics PRO per iOS e Android, o Physics Toolbox Suite per Android);
foglio elettronico (e.g. MS Excel, Libre Office Calc);
software di elaborazione dati (e.g. GeoGebra);
aste, piedistalli e viti;
filo (di medio spessore, si consiglia in fibra naturale);
nastro adesivo di carta (del tipo “da imbianchino”) e protezione per lo smartphone;
metro a nastro;
catetometro (non indispensabile).

Prerequisiti necessari

Conoscere i concetti di posizione, velocità e accelerazione;
conoscere il moto armonico;
saper usare app di acquisizione dati;
conoscere l'uso di un foglio elettronico (es. un foglio EXCEL).

Obiettivi di apprendimento

Caratteristiche del moto oscillatorio (periodo, frequenza) e legge oraria del moto (per posizione, velocità e accelerazione); legge dell’isocronismo del pendolo;
studiare la dipendenza della frequenza dalla lunghezza del filo e la sua indipendenza dalla massa e dalla ampiezza di oscillazione.

Dotazioni di sicurezza

Nessuna dotazione particolare.

Svolgimento

Setup dell'esperimento

Il pendolo a filo è costituito da un semplice filo a forma di V appeso ad una sbarra orizzontale a cui viene appesa una massa in grado di oscillare attorno alla posizione verticale di equilibrio.

Nel nostro esperimento la massa è costituita dallo smartphone stesso, che riveste sia il ruolo di massa oscillante che di strumento di misurazione.

Lo smartphone viene assicurato al filo con due o più strisce di nastro adesivo posizionate in modo da limitare moti libratori o rotatori indesiderati, così da minimizzare il rumore.

Si predispone l’esperimento come illustrato in figura 1

Misure preliminari

Assumendo che il sensore di accelerazione sdi trovi al centro dello smartphone si misura la distanza verticale fra il centro dello smartphone e la barretta trasversale a cui è appeso il filo, eventualmente utilizzando un catetometro.
$$ l = \left( 0,56 \pm 0,01 \right)\ m$$

La lunghezza dello smartphone, misurata con un comune righello o con un metro, risulta:
$$ L = \left(0,12 \pm 0,01 \right) \ m$$
La massa dello smartphone viene misurata con una bilancia digitale e risulta essere:
$$ M = \left( 126,9 \pm 0,1 \right)\ g$$
Grazie al navigatore satellitare integrato allo smartphone si ricava la posizione geografica del laboratorio. Si riportano le misure effettuate: Latitudine: 44,29 EST Altitudine: 35 m s.l.m.
Tali valori ci permettono di prelevare il valore locale dell'accelerazione di gravità dal sito http://museo.liceofoscarini.it/virtuale/gravita.phtml, che risulta essere:
$$ g = 9,79 m/s^2$$

Previsioni teoriche

Per il calcolo teorico della pulsazione dell’oscillazione (o in modo del tutto equivalente, del suo periodo) si possono prendere in considerazione due modelli.

1. Modello a pendolo semplice (massa puntuale)
Si approssima lo smartphone a oggetto puntiforme con la massa concentrata nel proprio centro. In tal caso la previsione teorica della pulsazione è data dalla formula:
$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{\frac{9,79}{0,56}} rad/s = \left(4,18 \pm 0,04 \right) rad/s \ \ \ \ \ \ [1]$$
L'incertezza relativa su $\omega$ è:
$$\frac{ \sigma_{\omega}}{\omega} = \frac{1}{2}\frac{\sigma_l}{l} \simeq 1\%$$.

2. Modello a pendolo rigido (massa estesa)

Si considera in questo caso lo smartphone come un corpo rigido rettangolare con asse di rotazione parallelo al proprio lato corto e ad una distanza pari a l dal proprio centro.

In questo modello il calcolo risulta più complesso. Il momento di inerzia del pendolo si calcola applicando il teorema di Huygens-Steiner e risulta essere pari a:
$$ I = \frac{1}{12}ML^2 + Ml^2$$
Di conseguenza il valore della pulsazione si determina calcolando:
$$\omega = \sqrt{\frac{Mgl}{I}} = \sqrt{\frac{Mgl}{\frac{1}{12}ML^2 + Ml^2}} = \sqrt{\frac{gl}{\frac{1}{12}L^2 + l^2}}\ \ \ \ \ [2]$$
Da cui si ricava il valore:
$$ \omega = \sqrt{\frac{9,79 \cdot 0,56}{0,0012 + 0,3136}} rad/s = 4,17 rad/s\ \ \ \ \ \ [3]$$

L'incertezza su questo valore è facilmente determinabile e risulta:
$$\frac{\sigma_{\omega}}{\omega} = \frac{1}{2} \frac{\sigma_l}{l} \simeq 1 \%$$
essendo nella relazione [2] trascurabile l'errore su g e trascurabile l'errore su $1/12 L^2$ rispetto a l'errore su $l^2$.
Come si può evincere dai dati i due modelli forniscono previsioni assolutamente compatibili entro questo margine di incertezza.

Presa dei dati

Dopo avere aperto la app Sensor Kinetics Pro (o Physiscs Toolbox o altra app con funzionalità similari), si seleziona l’accelerometro e quando si è pronti per eseguire l’esperimento si avvia la presa dei dati. Una volta avviata la presa dati, si mette in oscillazione il pendolo e si osserva il grafico che l’applicazione traccia.

Si può distinguere che dei tre sensori di accelerazione corrispondenti alle tre direzioni ortogonali, due registrano un andamento oscillatorio mentre il terzo rimane sostanzialmente invariato, registrando valori che possono essere considerati a tutti gli effetti rumore di fondo.

Al termine della presa dati, si ferma la raccolta dei dati e si esportano i dati in un formato leggibile da un software di elaborazione dati. Nel nostro esperimento il file è stato esportato in formato .csv in modo da poter essere letto da un foglio di calcolo come MS Excel o Libre Office Calc.

Analisi dei dati

A questo punto ha inizio la fase di analisi dei dati.
Inizialmente il file viene importato in un foglio di calcolo e se ne traccia un grafico complessivo (del tipo dispersione XY).

Figura 2. Diagramma accelerazione-tempo, dati grezzi prelevati dallo smartphone.

Come si può notare da figura 2, i dati confermano quanto osservato sopra in fase di acquisizione:

Il grafico riportato in arancione rappresenta l’accelerazione lungo l’asse verticale, che mediamente coincide con l’accelerazione di gravità (cfr. formula 4) ma che oscilla in modo regolare registrando l’accelerazione centrifuga dovuta al moto rotatorio dello smartphone attorno al centro di oscillazione.
Il grafico azzurro riporta l’accelerazione lungo l’asse perpendicolare al piano dello smartphone, che pertanto registra l’accelerazione dovuta al moto armonico del pendolo.
Il grafico grigio rappresenta l’accelerazione lungo l’asse orizzontale nel piano dello smartphone; dal momento che lo smartphone non viene accelerato lungo questa direzione, questo grafico ha valore medio nullo e quanto registrato può essere considerato rumore.

Figura 3. Orientamento degli assi dell'accelerometro in uno smartphone

Dal grafico dei dati grezzi estraiamo quelli da elaborare e selezioniamo pertanto l’intervallo di tempo in cui sono stati registrati i dati che più sono confacenti ai nostri obiettivi, cioè quelli che evidenziano le oscillazioni più regolari e abbastanza breve da non evidenziare troppo gli effetti dello smorzamento.

Si seleziona l’intervallo fra 20,0 e 50,0 secondi.

Delle tre serie di dati si seleziona solo quella relativa all’asse z, riportata in azzurro sul grafico.

Si esegue una importazione della serie di dati nel programma adottato per il calcolo del fit sinusoidale. Nell’ottica di privilegiare soluzioni gratuite open source, si farà riferimento al sofware Geogebra.

Se si utilizza la localizzazione italiana del foglio di calcolo, nell’operazione di copiatura dei dati, abbiate cura di assicurarvi che il separatore decimale sia correttamente impostato sul punto, dal momento che è l’unico separatore ammesso da Geogebra. Se il separatore è rappresentato dalla virgola, è necessario modificare il file con un software di elaborazione testuale che sostituisca tutte le virgole con punti.

Una volta che si dispone del file contenente due colonne di dati corrispondenti al tempo e alla accelerazione espressi con il punto decimale, si copiano i dati delle due colonne nel foglio di calcolo di Geogebra (l’operazione di copia-incolla avviene senza problemi fra il foglio di calcolo esterno e quello di GeoGebra). Si selezionano quindi i dati importati.

Una volta selezionati i dati si definisce una lista di punti con l’apposita voce di menu (pulsante Lista à Lista di punti). Una volta definita e dato un nome alla lista (e.g. “pendolo”), i punti verranno riportati sul grafico. Visto l’elevato numero di punti e la loro vicinanza, è opportuno non visualizzare le etichette (selezionare i punti dalla finestra Algebra e deselezionare Mostra Etichette dal menu contestuale).

A questo punto di esegue il fit sinusoidale digitando la funzione predefinita FitSin(nome_lista) nella barra di inserimento (e.g. FitSin(pendolo) ). La funzione goniometrica interpolante migliore viene riportata nella finestra Algebra e il suo grafico viene riportato in sovrapposizione ai punti nella finestra Grafici.

Figura 4. Fit sinusoidale dei dati in un intervallo di tempo in cui l'oscillazione è regolare.

Come si può notare da figura 4 l’adattamento della curva risulta discreto, anche se c’è qualche deviazione dovuta alla eccessiva sensibilità dell’accelerometro e al moto parzialmente casuale dello smartphone in direzioni diverse da quella dell’oscillazione del pendolo.

Nella finestra Algebra si può leggere la espressione analitica della funzione calcolata, che nel nostro caso è:
$$f \left(x \right) = 0,3 + 0,12 sen \left(4,22 t - 1,74 \right) \ \ \ \ \ \ [4]$$
Il coefficiente che moltiplica il tempo t rappresenta il valore misurato della pulsazione ω, che era stato previsto teoricamente con i due modelli (valori calcolati [1] e [3]). La differenza percentuale tra il valore sperimentale ottenuto ( $\omega = 4,22\ rad/s$) e quello atteso in base ai modelli teorici ($\omega = 4,17-4,18\ rad/s$), risulta essere:
$$ \frac{\Delta \omega}{\omega} \simeq 1\%$$
in accordo entro gli errori.

Conclusioni

Il software GeoGebra non dispone di una funzione per calcolare l'accuratezza dell'adattamento, ma si può procedere a tale valutazione con un foglio excel sommando in quadratura le differenze fra i punti sperimentali e quelli ottenuti dalla [3] e dividendo per il numero dei punti:
$$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(y_i - f(x_i)\right)^2$$
Estraendo infine la radice quadrata del totale si ottiene un risultato di:
$$\sigma = \sqrt{\sigma ^2} = 0,0048 $$
che testimonia un buon adattamento della curva ai dati.

Si può concludere pertanto che si riscontra un buon accordo fra la previsione teorica ottenuta con entrambi i modelli presi in considerazione ed il dato sperimentale.

Note e storia

L’esperimento fa parte del progetto “Science Smart Kit”. Tale progetto comprende un kit di “accessori” per smartphone per realizzare attività di laboratorio di fisica, di scienze, chimica e matematica, schede per studenti e docenti, e la disseminazione attraverso iniziative di aggiornamento e formazione docenti.

Il progetto è risultato tra i vincitori del bando del MIUR “Nuove idee per la didattica laboratoriale nei Licei Scientifici”.

Bibliografia

Patrik Vogt and Jochen Kuhn, “Analyzing simple pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor”, Phys. Teach. 50, 439 (2012);
Jochen Kuhn and Patrik Vogt, “Analyzing spring pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor”, Phys. Teach. 50, 504 (2012).

Autori

Seganti Alessio

Studio del moto di un pendolo con l’uso di smartphone