L'esperimento consiste nella misura sperimentale del valore dell'accelerazione di gravità con l'utilizzo di un pendolo semplice.
Questo esperimento è stato proposto nelle classi prime e seconde, proprio perché è semplice da realizzare e consente di ricavare il valore di $g$ con buona approssimazione.
Scheda sintetica delle attività
Dopo aver montato l'apparato sperimentale, si procede alla misura diretta della lunghezza del filo e del periodo di oscillazione del pendolo; si verifica che il periodo non dipende - a parità di altre condizioni - dalla massa e dal diametro della pallina. Si ripete il procedimento per diverse lunghezze del filo, determinando per ogni lunghezza il valore di $g$ e la relativa incertezza di misura; si determina infine la migliore stima di $g$ con la media pesata. Inoltre si riportano i risultati delle misure in un grafico, utilizzando opportune variabili in modo che esso risulti lineare, e determinando il valore di $g$ dalla pendenza della retta che approssima il grafico.
Risorse necessarie
Sostegno a treppiede;
gomitolo di spago sottile;
asta metallica lunga;
asta metallica corta che possa essere fissata alla precedente;
due sfere metalliche di diverso diametro e peso (munite di anello per il fissaggio);
cronometro;
metro o asta millimetrata per misure di lunghezze;
calibro a cursore;
calcolatrice scientifica o foglio di calcolo.
Prerequisiti necessari
Saper effettuare misure;
conoscere e saper applicare la teoria degli errori (misure dirette e indirette, propagazione degli errori, errore sulla media);
saper elaborare dati sperimentali, anche tramite grafico.
Obiettivi di apprendimento
Consolidare le capacità di effettuare misure, di elaborarle e rappresentarle graficamente;
saper utilizzare i dati sperimentali per trarre conclusioni e/o verificare ipotesi.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna.
Svolgimento
Richiami di teoria e preparazione dell'apparato sperimentale
Per un pendolo semplice di lunghezza $\ell$, il periodo è dato da $$T=2\pi \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \, .$$ Risulta conveniente analizzare la relazione lineare tra $T^2$ e $\ell$: $$T^2=\dfrac{4\pi^2}{g}\ell \, .$$
Si propone pertanto di realizzare la misura del periodo per diverse lunghezze del pendolo.
Il periodo, inoltre, non dipende dalla massa o dal diametro della pallina. Si propone di verificare che tale condizione sia effettivamente verificata nella pratica, entro l'accuratezza raggiungibile con la dotazione sperimentale proposta.
Innanzitutto si monta un supporto stabile, si taglia un pezzo di spago, si fa passare il filo nell’anello della sfera e lo si fissa l’altra estremità dello spago al gancio predisposto.
Si consiglia di utilizzare tre diverse lunghezze del filo.
Realizzazione delle misure
Misurazione della lunghezza $\ell$
Per misurare la lunghezza del pendolo si dovrebbe misurare la distanza tra il punto di sospensione e il centro della sfera. Nel nostro esempio, la lunghezza del filo $L$ è stata misurata con il metro (sensibilità $\Delta L=1\,mm$), mentre il raggio $R$ della sferetta si ricava misurandone il diametro con il calibro a cursore (sensibilità $\Delta R=0.05\,mm$). L'incertezza sulla lunghezza del pendolo $\ell$ è data da $$ \Delta \ell =\ell \sqrt{\left(\dfrac{\Delta L}{L}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta R}{R} \right)^2} \, .$$ Si ottiene quindi per le tre lunghezze scelte: $$ \ell_1 = \left( 180.2 \pm 0.5 \right) \, cm; \hspace{1,5 cm} \ell_2 = \left( 140.0 \pm 0.4 \right) \, cm; \hspace{1,5 cm} \ell_3 = \left( 100.1 \pm 0.3 \right) \, cm \, $$
Misurazione del periodo $T$ (numero di oscillazioni $n\geq 10$)
Si procede quindi con le misure del periodo: queste vengono effettuate su dieci (o più) oscillazioni complete, in modo da minimizzare l’errore dovuto ai tempi di reazione, aumentando allo stesso tempo la sensibilità della misura.
L'errore di reazione interviene quando si avvia/si arresta il cronometro, e richiederebbe una procedura dedicata alla sua valutazione: valori tipici sono dell'ordine di qualche decimo di secondo. L'accorgimento di misurare il tempo necessario a svolgere un numero $n$ di oscillazioni complete riduce l'incidenza di questo errore sulla misura. Nel nostro esempio abbiamo ottenuto:
Tabella 1: misure del periodo per le varie lunghezze. Il periodo viene misurato prendendo il tempo di $n=10$ oscillazioni complete, in modo di ridurre l'incertezza sulla misura del tempo necesseraio a una singola oscillazione.
A questo punto è istruttivo verificare che, ripetendo l’esperimento con una sferetta di massa maggiore oppure variando l’ampiezza dell’angolo di oscillazione, il periodo di oscillazione del pendolo rimane costante nei limiti degli errori sperimentali.
Misura indiretta dell'accelerazione di gravità $g$
Utilizzando i diversi valori di lunghezza e le corrispondenti misure di periodo, è possibile calcolare il valore di $g$. $$g=\dfrac{4\pi^2\ell}{T^2} \, . $$ L'incertezza su tale valore si ottiene da
$$\Delta g = g \sqrt{\left(\dfrac{\Delta \ell}{\ell}\right)^2+4\left(\dfrac{\Delta T}{T}\right)^2} \, .$$
Tabella 2: valore dell'accelerazione di gravità, ricavato a partire dalle misure di $\ell$ e $T^2$, per le tre lunghezze utilizzate.
Eseguendo una media pesati dei valori trovati, si ha che il valore dell’accelerazione di gravità locale risulta
$$g = \left( 973 \pm 10 \right) \, cm/s^2 \, ,$$
in buon accordo col valore noto che in Italia è mediamente pari a $980.149\,cm/s^2$ (o $9.80149\,m/s^2$).
L’esperimento potrebbe essere ripetuto effettuando un numero maggiore di misure per ridurre il peso degli errori e migliorare l'incertezza sulla misura.
Analisi grafica
Un'altra via per ottenere il valore di $g$ a partire dai nostri dati è quello di realizzare il grafico di $T^2$ in fuzione di $\ell$, ricavando $g$ dalla pendenza della retta, come mostrato in Fig. 1.
Figura 1: grafico di $T^2$ in funzione di $\ell$ e retta di regressione lineare
Poiché, come ricordato, $$ T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\ell \Rightarrow T^2 = a\ell + b\, ,$$ dal fit lineare dei nostri dati si ottiene: $$ a = \left( 0.040 \pm 0.001 \right) \, s^2/cm \, ,$$ $$ b= \left( 0.13 \pm 0.18 \right) \, s^2 \, .$$ Il valore dell'intercetta è compatibile con lo zero come atteso, mentre la pendenza ci permette di ricavare la stima di $g$; dalla relazione $g=\large{\frac{4\pi ^2}{a}}$ otteniamo: $$ g = \left( 987 \pm 25 \right) \, cm/s^2 \, .$$ Il valore ottenuto anche in questo caso è in accordo con quello atteso, anche se l'incertezza sulla stima è più grande (di due volte e mezzo) di quella ottenuta in precedenza.
Possiamo quindi concludere che l’evidenza sperimentale conferma la previsione teorica.
