Lo scopo dell'attività è far apprezzare agli studenti il significato di “legge empirica”, locuzione che essi sentiranno più volte ma che potrebbe non essere chiara se non se ne fa esperienza. L’attività può essere proposta al primo o al secondo anno, dopo che gli studenti hanno imparato le principali relazioni tra grandezze (diversi tipi di proporzionalità). Si è pensato alla legge del pendolo perché non è una relazione lineare, non è facilmente prevedibile (solitamente gli studenti che ne sanno già qualcosa si limitano a constatare che “se il filo si accorcia il periodo diminuisce”) ma è semplice dal punto di vista costruttivo. Gli studenti possono operare suddivisi in gruppi di tre persone in modo che tutti partecipino all'esperienza.
Scheda sintetica delle attività
L'attività inizia con un momento di progettazione che coinvolge tutta la classe. Il docente avrà cura di spiegare lo scopo dell'esperimento e le varie fasi del lavoro, lasciando ai gruppi la scelta delle grandezze da sottoporre a indagine. Dovrà inoltre essere chiarito cosa si intende per periodo del pendolo e discusso il metodo di misura migliore (ossia quello che minimizza l'errore nella misura del periodo). Successivamente, gli studenti suddivisi in gruppi dovranno:
individuare le grandezze che ritengono possano influenzare il periodo del pendolo e che possono essere "praticamente" indagate;
progettare la sequenza delle operazioni di misura, decidendo quali grandezze mantenere costanti e quale grandezza far variare di volta in volta;
eseguire le misure ordinatamente, raccogliere i dati in tabelle;
analizzare i dati, dopo averli opportunamente elaborati, e riportarli in grafici al fine di capire quali siano le grandezze che influenzano sensibilmente il periodo del pendolo;
"estrarre" una legge empirica che leghi il periodo alle grandezze da cui si è ipotizzato possa dipendere;
verificare i risultati ottenuti con quelli degli altri gruppi.
Risorse necessarie
Metro;
cronometro;
bilancia;
goniometro;
supporto
filo;
masse diverse, meglio se aventi la stessa forma.
Prerequisiti necessari
Saper utilizzare un cronometro (eventuale addestramento alla misura del periodo);
saper riportare su diagramma cartesiano una serie di punti sperimentali (coppie di valori corrispondenti);
conoscere le principali relazioni tra grandezze (proporzionalità diretta, inversa, diretta quadratica e inversa quadratica).
Obiettivi di apprendimento
Saper formulare ipotesi sulle grandezze fisiche che possono influenzare significativamente il periodo del pendolo;
saper progettare un esperimento che metta in luce la relazione tra il periodo del pendolo e le grandezze dalle quali dipende;
saper effettuare misure nel modo più conveniente, con consapevolezza delle grandezze misurate e delle incertezze che le accompagnano;
saper costruire una tabella di dati significativi facendo variare una grandezza alla volta;
saper rappresentare dati sperimentali in un grafico scegliendo opportunamente cosa riportare sugli assi cartesiani;
saper individuare un qualche tipo di proporzionalità e ricavarne la costante;
saper scrivere e applicare la relazione cercata.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Discussione iniziale e progettazione delle misure.
Il docente guida la discussione portando gli studenti a comprendere il concetto di periodo del pendolo. Quindi si fanno ragionare gli studenti per individuare le grandezze che possono influenzare il periodo del pendolo: in generale le risposte sono la massa appesa, la lunghezza del filo, l'altezza iniziale da cui si rilascia la massa (o, alternativamente, l'angolo iniziale del filo rispetto alla verticale), le caratteristiche geometriche della massa appesa (forma oppure dimensioni) ed il fatto di essere sulla Terra piuttosto che su un altro pianeta. Quindi si individuano le grandezze fisiche effettivamente misurabili (non si può cambiare pianeta) e si progetta la sequenza di casi che si vogliono analizzare scegliendo quale grandezza variare per ogni esperimento. Solitamente gli studenti vorrebbero cambiare la massa, la lunghezza del filo e l'angolo iniziale senza procedere in modo rigoroso, per cui il compito dell'insegnante è di guidarli a ragionare sul fatto che conviene variare una sola grandezza alla volta in modo da mettere in risalto l'eventuale dipendenza del periodo da essa. Ad esempio in un primo esperimento, che chiamiamo "esperimento base", si usa una certa massa, una certa lunghezza ed un certo angolo iniziale. Nel secondo esperimento si cambia solo l'angolo iniziale e si mantengono costanti gli altri parametri, in un terzo esperimento si cambia, rispetto all'esperimento base, unicamente la massa e così via. Nella discussione iniziale si dovrebbe individuare anche un metodo per misurare il periodo: per esempio si può misurare il tempo impiegato per una sola oscillazione completa, oppure per 3 oscillazioni complete e poi dividere per 3. Alcuni ragazzi preferiranno far partire il cronometro quando la massa si trova nella posizione più alta, altri quando si trova nella posizione più bassa in quanto, in questo caso, c'è come riferimento l'asta verticale del supporto su cui è fissato il filo.
Allestimento dell'esperimento.
Dipendentemente dal tempo a disposizione (o dal tempo che il docente vuole dedicare all'attività), sarebbe opportuno far costruire agli studenti il pendolo mettendo a loro disposizione un'asta con supporto (eventualmente ancorato al banco), un filo ed una massa (solitamente delle sferette con un gancio). Gli studenti di liceo mancano spesso di manualità e l'allestimento del pendolo può rivelarsi altamente istruttivo per loro. Dal momento che un periodo più lungo porta a misure più precise, si consiglia, se possibile, di realizzare pendoli lunghi fino a 1,5-2,0 metri. E' auspicabile un po’ di creatività nel realizzare pendoli di varie lunghezze in modo da esplorare un ampio campo di valori.
Raccolta preliminare dei dati e loro elaborazione.
In base alla sequenza di esperimenti inizialmente progettati, gli studenti costruiscono una tabella con i dati raccolti. Questa prima raccolta dati serve per capire quali siano le grandezze che influenzano sensibilmente il periodo del pendolo. La tabella 1 è stata ottenuta da un gruppo di ragazzi che hanno scelto di misurare 3 oscillazioni complete e di ripetere ogni esperimento 5 volte ottenendo quindi 5 misure del periodo sulle quali mediare durante la fase di elaborazione dei dati.
Tabella 1: dati raccolti in una serie di esperimenti preliminari finalizzati a capire da quali grandezze può dipendere il periodo del pendolo.
Se l'esperimento viene eseguito già nelle prime settimane di scuola nella classe prima, non serve insistere tanto sugli errori e sulla loro propagazione. Alternativamente questa esperienza può essere utilizzata anche per prendere dimestichezza con il calcolo delle incertezze sperimentali. Qui proponiamo la versione più semplice considerando che agli studenti siano noti solo i vari tipi di proporzionalità. Tuttavia, riportare in un grafico i dati della tabella 1 (riferiti a 3 oscillazioni) può aiutare a capire "visivamente" quali grandezze influenzano il periodo del pendolo. La figura 1 riporta proprio questi dati per gli esperimenti dall'uno al quattro.
Figura 1: dipendenza dei dati (riportati in tabella 1) da lunghezza, angolo iniziale e massa.
Come si può notare, esiste una dipendenza sensibile dalla lunghezza del filo, mentre massa e angolo iniziale sembrano non avere effetti significativi.
Il calcolo del valore medio del periodo si ottiene mediando sui 5 risultati di ogni esperimento e dividendo poi per 3 in quanto i dati si riferiscono a 3 oscillazioni complete (tabella 2)
Tabella 2: valori medi del periodo calcolati utilizzando le misure riportate in tabella 1.
Dai dati in tabella 2 e dalla figura 1 si evince che il periodo del pendolo dipende sensibilmente dalla lunghezza del filo, in particolare al diminuire della lunghezza diminuisce anche il periodo. Al contrario, la dipendenza dall'angolo iniziale è molto debole (la differenza tra il caso 2 ed il caso base 1 è del 3.8%), così come la dipendenza dalla massa. In realtà le distribuzioni dei valori nei singoli esperimenti dimostra una certa variabilità (vedi figura 1), che potrebbe non convincere gli studenti, per cui il docente avrà cura di far ragionare i ragazzi sull'origine di tale variabilità (errori di misura). Nel caso rimanga, negli studenti, la forte convinzione che anche la massa influenzi il periodo, si dovrà dedicare tempo (non sarà tempo sprecato) ad una “campagna” di misure più estesa sulla dipendenza del periodo dalla massa. L'apparente indipendenza dalla massa è fortemente contro-intuitiva, in quanto nella discussione iniziale i ragazzi solitamente dimostrano una profonda convinzione che la massa influenzi necessariamente il periodo. L'esperimento è molto istruttivo da questo punto di vista perché ribalta completamente una assunzione di "buon senso". Al termine di questa analisi preliminare dei dati, gli studenti dovrebbero aver concluso che il periodo dipende unicamente dalla lunghezza del filo. In particolare, al crescere dell'una cresce anche l'altro. Seguirà ora una raccolta dati più estesa per ricavare da essi la legge empirica.
Deduzione della legge empirica sulla base di una maggior quantità di dati.
Una volta capito che l'unica grandezza che influenza il periodo del pendolo è la sua lunghezza, si procede nella raccolta di ulteriori dati sperimentali nel range di lunghezze più ampio possibile (si possono allestire pendoli anche nelle trombe delle scale). L'obiettivo è quello di ricavare una relazione quantitativa tra periodo e lunghezza del pendolo. Gli studenti conoscono pochi tipi di relazioni, tipicamente esse sono le proporzionalità diretta o diretta quadratica, inversa o inversa quadratica (agli studenti la dipendenza dalla radice è pressoché ignota). Il modo più semplice per determinare il tipo di proporzionalità che lega due grandezze $x$ e $y$, nel caso ci sia questa proporzionalità, è quello di vedere se il loro rapporto o il loro prodotto è costante, o se è costante il rapporto o il prodotto tra l'una ed il quadrato dell'altra: $$\frac{y}{x} =k, \hspace{1cm} \frac{y^2}{x}=k, \hspace{1cm} xy=k, \hspace{1cm} xy^2$$ Per ottenere la legge empirica che lega il periodo alla lunghezza del filo conviene ripetere varie prove mantenendo sempre la stessa massa e lo stesso angolo iniziale in modo da raccogliere un numero di dati sufficiente a ottenere una legge convincente. Così facendo gli studenti compilano una tabella come la seguente ottenuta durante una prova in classe (tabella 3):
Tabella 3: dati ottenuti variando unicamente la lunghezza del pendolo, mantenendo costanti angolo iniziale e massa. Nelle varie colonne sono riportati anche i quadrati della lunghezza e del periodo ed alcuni dei loro possibili rapporti al fine di individuare una eventuale proporzionalità.
In tabella 3, oltre alle lunghezze ed al periodo T sono riportati anche i loro quadrati ed i possibili rapporti tra queste due grandezze al fine di cercare una possibile proporzionalità. Ovviamente sarebbero da aggiungere anche tutti i possibili prodotti tra le grandezze o i loro quadrati che abbiamo omesso per non confondere troppo le idee. Osservando i dati è evidente che la colonna in cui un rapporto rimane costante è quella del rapporto $T^2/L$ tra il quadrato del periodo e la lunghezza. I valori non sono né crescenti né decrescenti: oscillano in modo imprevedibile, mantenendosi entro una certa distanza da un loro valore medio che nel caso proposto è $4,01 s^2/m$. In altre parole, esiste una proporzionalità diretta tra il quadrato del periodo (espresso in secondi) e la lunghezza del filo (espressa in metri).
Con i dati a disposizione, i ragazzi eseguono un grafico come quello in figura 2 che riporta sulle ascisse la lunghezza in metri e sulle ordinate il quadrato del periodo. La retta passante per l'origine e più o meno dai punti sperimentali conferma la proporzionalità diretta tra le due grandezze.
Figura 2: quadrato del periodo in funzione della lunghezza del filo (quarta colonna della tabella 3 in funzione della prima colonna): esiste una conferma sperimentale della proporzionalità diretta tra le due grandezze.
Non è necessario, per ora, che gli studenti eseguano il grafico con uno strumento informatico, anzi è bene che prima capiscano che cosa va rappresentato su un diagramma provando a farlo a mano.
A seguito di questa analisi dettagliata si può ragionevolmente concludere che la legge che lega il quadrato del periodo del pendolo (in secondi) alla lunghezza del filo (in metri) è: $$T^2 = 4L$$ Estraendo la radice quadrata a destra e a sinistra (tutte le quantità sono positive), si ottiene la legge empirica che dà direttamente il periodo in funzione della lunghezza del filo: $$T = 2\sqrt{L}$$
Verifica della legge.
In una discussione finale di sintesi, i gruppi confrontano i rispettivi risultati. Un aspetto che stupisce molto gli studenti è la conferma della validità della legge anche per i dati raccolti da altri gruppi quando si confronta il valore sperimentale del periodo con quello previsto dalla "legge empirica" ottenuto sostituendo in essa la lunghezza del filo misurata. Volendo si può anche eseguire una ulteriore verifica sperimentale utilizzando una lunghezza non contemplata da nessun gruppo. Va sottolineato che il valore “empirico” della legge risiede nel fatto che non è stata fatta nessuna ipotesi sui motivi per cui il pendolo si comporta così ma si è semplicemente registrato un dato di fatto. Solitamente la legge è verificata abbastanza bene anche in presenza di errori di misura del periodo, quindi l'esperienza risulta piuttosto efficace.
Una applicazione della legge.
Come conclusione dell'esperienza è interessante far notare ai ragazzi che se vogliono costruire un orologio che scandisca il secondo, basta prendere un pendolo di lunghezza 1 m. In questo modo il periodo di una oscillazione completa è 2 s, pertanto il tempo impiegato dalla massa per andare da un estremo all'altro è di 1 s.
Note e storia
NOTA.
Riguardo all’isocronia del pendolo, molti studenti pensano che il periodo diminuisca, ossia che il pendolo rallenti mano a mano che il tempo passa. L’argomento è importante, ma non rientra negli obiettivi dell’attività qui proposta. Sarà il docente a verificare se si tratti di una semplice confusione tra termini (ad esempio “periodo” anziché “ampiezza”) o se gli studenti siano effettivamente convinti di questo. Eventualmente si può decidere di dedicare un’attività sperimentale mirata a chiarire la nozione di isocronia dell’oscillazione e indagarne i limiti di validità. Per un'attività sull'isocronia è necessario utilizzare un pendolo in cui non si vari nessuna caratteristica.
