Questo esperimento indaga la relazione tra energia assorbita ed energia emessa come fotoni in materiali semiconduttori, determinando il valore della costante di Plank. L'esperienza permette anche di ricavare la caratteristica voltamperometrica di un LED e quindi determinarne la resistenza dinamica.
Scheda sintetica delle attività
Si misura la corrente che attraversa alcuni LED di colori diversi, polarizzati direttamente in funzione della differenza di potenziale applicata. Il comportamento non ohmico del diodo permette di individuare per ciascun colore una diversa tensione di soglia associata all'accensione del LED. Lo studio delle tensioni di soglia in funzione della lunghezza d'onda della luce emessa dai vari LED consente di ottenere una misura della costante di Planck.
Risorse necessarie
LED di diverse lunghezze d'onda;
generatore di tensione continua;
multimetri analogici;
cavi di connessione;
basetta elettrica;
resistenza dal valore nominale di 220 Ω (tolleranza 5%).
Prerequisiti necessari
Conoscere i meccanismi di conduzione elettrica;
saper effettuare misure di intensità di corrente e di tensione elettrica;
saper leggere la scala di un amperometro;
saper utilizzare le corrette unità di misura di corrente e differenza di potenziale;
conoscere il principio di conservazione dell’energia;
conoscere la relazione di Einstein della energia di un fotone.
Obiettivi di apprendimento
Indagare la relazione tra energia assorbita ed energia emessa in materiali semiconduttori;
indagare la relazione tra l’energia emessa e la frequenza dei fotoni emessi dal materiale.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
L'esperienza è divisibile in due parti. In una prima parte ci proponiamo di misurare le tensioni di soglia $V_s$ di un certo numero di diodi-LED. Nella seconda parte invece si stima la costante di Planck sulla base delle misure prese precedentemente.
Parte I: Misura della tensione di soglia
Per alimentare i LED, si utilizza lo schema circuitale di figura 1, in cui i diodi sono polarizzati in modo diretto.
Figura 1: schema circuitale utilizzato
Per polarizzare direttamente un diodo occorre collegare la giunzione p all’elettrodo positivo del generatore e quella n a quello negativo (figura 2).
Figura 2: schema dei collegamenti di un diodo polarizzato direttamente a sinistra e di uno polarizzato inversamente a destra.
Per individuare i due elettrodi del diodo, ricordiamo che per un LED il catodo corrisponde alla struttura più corta e l'anodo a quella più lunga (figura 3).
Figura 3: anodo e catodo di un LED
La misura consiste nel misurare la differenza di potenziale ai capi del diodo $\Delta V_{led}$ e la corrente che circola nel circuito, variando la tensione in ingresso $\Delta V_{ingr}$. Di seguito presentiamo i dati ottenuti per LED di colori diversi; le lunghezze d'onda indicate sono quelle riportate sui data-sheet dei led.
LED 1: Giallo : $ \lambda = (600 \pm 22) nm $
Tabella 1: misure eseguite sul LED di colore giallo
Figura 4: caratteristica (I-V) per il LED di colore giallo
Dal grafico si nota che la corrente nel diodo è molto piccola per valori $V_{led}$ minori di circa 1.80 V, mentre cresce rapidamente per valori maggiori. Il valore 1.8 V è appunto il “ginocchio” o “soglia” di potenziale del diodo, che indichiamo con $V_s$.
Con un software di analisi dati si possono approssimare i dati con una funzione esponenziale dai cui parametri si può ricavare $V_s$. Noi però abbiamo scelto di stimare $V_s$ tramite un fit lineare, più semplice da presentare agli studenti, approssimando i dati per valori di $V_{led}$ maggiori del “ginocchio” con l'andamento lineare: $$ I = m V_{led} + b$$. La tensione di soglia $V_s$ la si ottiene per I = 0 e quindi è data dalla relazione: $ V_s = \large{\frac{-b}{m}}$. Per il diodo di colore giallo la regressione lineare ha fornito i valori: $$ m = ( 67 \pm 6)\ mA/V \quad b=(-123 \pm 14)\ mA $$ La tensione di soglia $V_s$ e il suo errore risultano quindi: $$\quad V_s = -b/m \rightarrow V_s = (1.8 \pm 0.2)\ V $$
Si procede in modo analogo per gli altri LED.
LED 2: Verde $ \lambda = (577 \pm 16) nm$
Tabella 2: misure eseguite sul LED di colore verde
Figura 5: caratteristica (I-V) per il LED di colore verde
La retta di regressione lineare trovata è: $$m = (73 \pm 4) mA/V ; \quad b = (-143 \pm 9) mA $$ La tensione di soglia $V_s$ e il suo errore sono: $$ I=0 ; \quad V_s = -b/m \rightarrow V_s = (2.0 \pm 0.2) V $$
LED 3: Infrarosso $\lambda = (963 \pm 55) nm $
Tabella 3: misure eseguite sul LED infrarosso
Figura 6: caratteristica (I-V) per il LED infrarosso
La retta di regressione lineare trovata è: $$ m = (192 \pm 35) mA/V ; \quad b= (-231 \pm 47) mA $$ La tensione di soglia Vs e il suo errore: $$I=0 ; \quad V_s = -b/m \rightarrow V_s = (1.2 \pm 0.4) V $$
Tabella 4: misure eseguite sul LED di colore celeste-violetto
Figura 7: caratteristica (I-V) per il LED di colore celeste-violetto
La retta di regressione lineare trovata è: $$ m= (28 \pm 9) mA/V ; \quad b = (-90 \pm 33)mA $$ La tensione di soglia Vs e il suo errore: $$I=0; \quad V_s = -b/m \rightarrow V_s = (3.2 \pm 1.4) V $$ I risultati ottenuti sono riepilogati in tabella 5.
Tabella 5: riepilogo dei valore delle lunghezze d'onda e delle tensioni di soglia per i diodi utilizzati
Parte II: Stima della Costante di Planck
Secondo l'ipotesi di Planck gli scambi di energia tra la radiazione e la materia avvengono in modo quantizzato. Einstein aggiunse che la radiazione stessa è composta da quanti (i fotoni) di energia proporzionale alla frequenza ν, secondo la relazione:
$$E = hv \ \ \ \ \ \ \ \ [1]$$
dove h è la costante di Planck. In un LED alla soglia l'energia acquistata da ogni portatore di carica nell'attraversare il diodo (pari alla differenza di potenziale ai capi del led moltiplicato per la carica elementare) si trasforma tutta in un fotone secondo la relazione [1]. Possiamo quindi attenderci una relazione di proporzionalità diretta tra la tensione di soglia e la frequenza dei fotoni emessi data dalla relazione: $\nu = c/\lambda$: $$ e V_s = h \nu \quad [2]$$ con $e = 1.6 \cdot 10^{-19} C $
In tabella 6 sono riportati i dati della frequenza e dell'energia alla soglia per i diodi studiati:
Tabella 6: valori della frequenza e dell'energia di soglia per i diodi misurati.
Eseguendo una regressione lineare sui dati di tabella 6, secondo la relazione [2] si ricava il seguente grafico:
Figura 8: energia in funzione della frequenza per i fotoni emessi dai diversi diodi
Il coefficiente angolare della retta rappresenta fisicamente la costante di Planck. Dai valori forniti dalla regressione lineare ottenuta fissando l'intercetta a zero, otteniamo il valore $ h = (6.6 \pm 0.4 ) 10^{-34} J \cdot s $, in accordo con il valore atteso di $h = 6,626\ 10^{-34}\ J \cdot s $.
Note e storia
L'esperimento è stato messo a punto nel corso di Preparazione di Esperienze Didattiche presso l'Università Federico II di Napoli
