Quando una corda fissata ad un estremo viene messa in vibrazione per il suo estremo libero, a certe frequenze di vibrazione la corda entra in risonanza, mettendo in evidenza i modi normali di oscillazione. Nella esperienza:
vengono evidenziati i modi normali, mostrando che le onde che si generano sono stazionarie;
viene verificata la relazione fra la lunghezza d’onda dei modi normali e la lunghezza della corda;
viene misurata la velocità di propagazione, verificando che essa è legata alla tensione e alla densità della corda.
Scheda sintetica delle attività
Un estremo di una corda viene fatto passare attraverso una carrucola (fissata su un supporto) e agganciata a dei pesi; l’altro estremo è messo in vibrazione mediante un motorino con frequenza variabile. Variando la frequenza si visualizzano i modi normali. Nell'esperienza si misurano le frequenze di risonanza al variare della massa dei pesi, della lunghezza e della densità della corda.
Risorse necessarie
Corde di diverso materiale;
carrucola, pesi, supporto;
motorino in grado di produrre oscillazioni armoniche di diversa frequenza;
software per l’analisi dei dati.
Prerequisiti necessari
Caratteristiche dei fenomeni ondulatori: frequenza, lunghezza d’onda, velocità di propagazione.
Obiettivi di apprendimento
Caratterizzare il fenomeno della risonanza;
riconoscere che la risonanza permette di evidenziare i modi propri di vibrazione del mezzo;
riconoscere le onde stazionarie;
verificare che i dati sperimentali sono in accordo con il modello teorico di una corda fissa agli estremi.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Figura 1: l'apparato sperimentale.
L'apparato sperimentale è mostrato in figura 1; un estremo di una corda di lunghezza $L$ viene fatto passare attraverso una carrucola, fissata su un supporto, e agganciato a dei pesi; l’altro estremo è messo in vibrazione mediante un motorino con frequenza variabile (il motorino dell’ondoscopio).
Variando la frequenza del motorino, è possibile visualizzare i modi normali. Questi si riconoscono perché, quando la frequenza di oscillazione del motore coincide con una delle frequenze normali di oscillazione, l'ampiezza delle onde aumenta e si formano delle onde stazionarie ben visibili. Il numero di modi che si possono evidenziare dipende dalla potenza del motorino, dalla lunghezza e dal materiale della corda.
Le onde stazionarie che si formano presentano un numero di "nodi" (punti della corda, a parte gli estremi, la cui ampiezza di oscillazione è nulla, ovvero punti della corda che rimangono stazionari durante l'oscillazione) pari a $N=n-1$: il primo modo normale non ha nodi, il secondo ne ha uno e così via. Le frequenze dei modi normali sono date da: $$ f_n = \dfrac{v}{2L}n \, \qquad \textrm{con} \, n= 1,\,2\,3\, \ldots \qquad , $$ dove $v$ è la velocità delle onde nella corda. L’attività consiste nel misurare le frequenze di risonanza della corda al variare della lunghezza e della densità della corda, e della massa dei pesi.
Nell' esempio qui mostrato, è stata utilizzata una corda di lunghezza $L$ variabile: $1.00\, m;\, 1.20\, m;\, 1.60\, m$.
La densità lineare della corda è stata stimata pesando una matassa di 5 m, avente massa $m_C= \left(3.0 \pm 0.1\right)\, 10^{-3} Kg$, ottenendo $d=\left(0.60\pm0.02\right)\, 10^{-3} kg/m$.
La tensione della corda è stata fissata a $F_T = \left(0.459 \pm 0.001\right)\, N$, ottenuta appendendo a un estremo della corda dei bulloni di massa complessiva $m_B = \left(46.8\pm0.01\right)\, 10^{-3} kg$.
I risultati ottenuti sono riportati nelle tabelle seguenti, corrispondenti ai diversi valori di $L$. In ciascuna tabella, viene riportato l'ordine $n$ del modo, la frequenza, il numero $N$ di nodi dell'onda stazionaria (pari a $n-1$), la velocità (ricavata dalla relazione $v=\dfrac{2Lf_n}{n}$) e la lunghezza d'onda del modo normale (determinata a partire dalla relazione $\lambda_n = \dfrac{v}{f_n}=\dfrac{2L}{n}$).
Per $L=1.00\,m$:
Tabella 1: risultati sperimentali per $L=1.00\,m$.
Per $L=1.20\,m$:
Tabella 2: risultati sperimentali per $L=1.20\,m$.
Per $L=1.60\,m$:
Tabella 3: risultati sperimentali per $L=1.60\,m$.
Dai dati sperimentali è possibile notare che la velocità di propagazione delle onde $v$ è, entro gli errori, sempre la stessa; eseguendo una media pesata dei valori ottenuti, si ricava come stima della velocità di propagazione: $$ v= \left(28.4 \pm 0.2 \right) \, m/s \, $$
Queto valore è in accordo con quanto previsto teoricamente; infatti la velocità di propagazione dipende dal densità d e dalla tensione $F_T$ della corda secondo la relazione $$ v = \sqrt{\dfrac{F_T}{d}} \, $$ Nelle condizioni dell'esperimento e tenendo conto che $$ \Delta v = \dfrac{1}{2}v \sqrt{\left(\dfrac{\Delta F_T}{F_T}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta d}{d}\right)^2} \, , $$ il valore atteso di $v$ risulta $$ v = \left( 27.7 \pm 0.5 \right)\,m/s \, .$$
Le due stime ottenute per $v$ sono quindi compatibile tra loro, sicuramente entro due deviazioni standard.
Note e storia
L'attività fa parte di una collezione di esperienze preparate nell'ambito del progetto "Nuove idee per la didattica laboratoriale nei licei scientifici" finanziato dal MIUR.
