Quando due onde di frequenza simile si sovrappongono (interferiscono) danno origine al fenomeno dei battimenti in cui c'è un’onda portante di frequenza pari alla media delle due frequenze la cui ampiezza è modulata da un’onda con frequenza pari alla metà del valore assoluto delle differenze fra le due frequenze.
Più in generale, quando una sorgente emette N onde equispaziate in frequenza in un definito intervallo di frequenze $\Delta f = f_2 - f_1$, l’onda risultante, data dalla sovrapposizione delle N onde, presenta anch'essa una portante e una modulante. L'esperimento studia in dettaglio le caratteristiche di questa sovrapposizione, mostrando come al crescere di N la forma dell'onda risultante somigli sempre più a un pacchetto d'onda.

Per costruire un pacchetto d’onde sonore dobbiamo, fissata una frequenza $f_1$, produrre un numero sufficiente di onde di frequenza vicina fra loro; questo può essere fatto utilizzando il software gratuito disponibile in rete all’indirizzo http://www.wavtones.com/functiongenerator.php, che permette di generare onde sonore sinusoidali di frequenza e ampiezza arbitraria ma durata limitata a 5 s.
Le onde generate sono scaricabili in file e possono essere sovrapposte attraverso il software open source Audacity.
Nella sovrapposizione bisogna prestare attenzione ad evitare il fenomeno di clipping che taglia l’ampiezza dell’onda sonora generata digitalmente quando supera un certo valore.
L’onda risultante può essere salvata in formato mp3 o simile e analizzata mediante il software open source Sonic Visualizer.
Variando l’intervallo di frequenze o il numero di onde sovrapposte è possibile analizzare la forma dell'onda risultante e verificare il principio di indeterminazione per i pacchetti d’onda.

Nessuna

Immaginiamo di avere una sorgente che emetta N onde di uguale ampiezza $\frac{A_0}{N}$ in un  intervallo di frequenze compreso fra  $f_1$ e $f_2$, equidistanziate tra di loro in frequenza della quantità   $$\delta f = \frac{f_2 - f_1}{N} $$
L’onda risultante è quindi data dalle sovrapposizione:
$$A(x,t) = \sum_{i=1}^N \frac{A_0}{N} \cos(k_i - \omega_i t) \quad ; \quad \omega_i = 2 \pi (f_1 + i \delta f) \quad ; \quad k_i = \frac{\omega_i}{v}$$
Al crescere di N possiamo approssimare la precedente espressione con quella che si otterrebbe dal passaggio al limite $N \rightarrow \infty$ :
$$A(x,t) = \sum_{i=1}^N \frac{A_0}{N} \cos(k_i - \omega_i t) \approx \frac{1}{\omega_1 - \omega_2} \int_{\omega_1}^{\omega_2} A_0 \cos( \frac{\omega}{v} x - \omega t) d \omega$$
pertanto :

$$A(x,t) = \frac{A_0 v}{(x - vt) ( \omega_2 - \omega_1)} \left( \sin(\frac{\omega_2}{v}x -\omega_2 t) - \sin(\frac{\omega_1}{v} x - \omega_1 t ) \right)$$
Usando le formule di prostaferesi l'espressione precedente si può scrivere come:
$$A(x,t) = \frac{2 A_0 v}{(x - vt) ( \omega_2 - \omega_1)} \sin(\frac{\Delta k}{2} x - \frac{\Delta \omega}{2} t) \cos( \overline{k} x - \overline{\omega} t) $$
dove 
$$\Delta k = k_2 - k_1 \quad ; \quad \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \quad ; \quad \overline{k} = \frac{k_2 + k_1}{2} \quad ; \quad \overline{\omega} = \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} $$

Anche in questo caso l'onda risultante è formata da un'onda portante e una onda modulante
$$
\begin{cases}
A_{port}(x,t) = A_0 \cos( \overline{k} - \overline{\omega} t ) \\
A_{mod}(x,t) = \frac{\sin \left( \frac{\Delta k}{2}x - \frac{\Delta \omega}{2} t \right)}{ \frac{\Delta k}{2}x - \frac{\Delta \omega}{2} t }
\end{cases}
\rightarrow A(x,t) =  A_{port}(x,t)  \cdot  A_{mod}(x,t) $$ 

Risulta quindi che l'onda risultante è concentrata principalmente in un intervallo compreso fra i primi due zeri della funzione modulante (figura 1).
Assumiamo $t=0$; i primi due zeri dell'onda modulante si trovano a:   $\frac{\Delta k}{2} x_{1} = - \pi$   e  $\frac{\Delta k}{2} x_{1} = +\pi $; la distanza $\Delta x$ tra di essi è quindi  $\Delta x = \frac{2 \pi - (-2 \pi)}{\Delta k} = \frac{4 \pi}{\Delta k}$.

Ritroviamo così il principio di indeterminazione per i pacchetti d'onda: l'onda è tanto più concentrata nello spazio quando più ampia è la sua larghezza (indeterminazione) nel vettore d'onda k. 
$$ \Delta x \Delta k = 4 \pi $$  Analogamente per le frequenze e i tempi risulta:
$$
\Delta \omega \Delta t = 4 \pi
$$   

Utilizzando il software on line, si generano una serie di onde che abbiano una differenza di frequenza $\delta f$ ad esempio di 0.1 Hz, in modo da poterle combinare opportunamente.

Mediante il software Audacity si sovrappongono le onde in modo da costruire i pacchetti.
 
Nel seguito si riportano i dati per alcuni pacchetti d’onda generati:

Per analizzare i pacchetti generati si può usare il software Sonic Visualizer (figura 2).
Alternativamente, se lo si ritiene opportuno per motivi didattici, si può utilizzare il pacchetto generato per alimentare un microfono e acquisire con una cassa in segnale prodotto; in tal caso bisogna tener conto delle distorsioni prodotte nei vari passaggi.

A causa della procedura discreta con cui vengono generati i pacchetti d’onda essi si ripetono nel tempo con un periodo variabile con la differenza di frequenze e il numero di onde utilizzate. E’ necessario quindi fare in modo, quando si progetta il pacchetto, che il suo periodo non sia superiore a 5 secondi (limite imposto dal generatore di onde).

Direttamente sul grafico si misura la durata del pacchetto.

I dati ottenuti per le onde generate sono riportati in tabella 2.

L’errore sulla frequenza è stato assunto ragionevolmente pari a un centesimo di Hz. Da questi valori possiamo calcolare i valori di $\Delta x = v \Delta t$ e di  $\Delta k = 2\pi \large{\frac{\Delta f}{c}}$. Se assumiamo che la velocità del suono in aria è: v=340 m/s si ottiene:

Il valore medio del prodotto $\Delta x\Delta k = 12.40 \pm 0.13 $ è vicino al valore di $4\pi = 12.57$, ma non è in accordo con esso entro $1\sigma$; 
Si sottolinea qui, comunque, che il valore $4\pi$ è il valore atteso solo per $N \rightarrow \infty$; il numero finito di onde sommate giustifica quindi il non perfetto accordo trovato.

Si può anche eseguire il grafico di $\Delta x$ in funzione di $1/\Delta k$, che mostra un andamento lineare (figura 3); la pendenza attesa p della retta è sempre $4\pi$ ( sempre nei limiti dati dal numero finito di onde componenti utilizzate)

Dal pendenza della retta di regressione lineare otteniamo:
$$ p = \Delta x\Delta k = 12.35 \pm 0.08$$valore per il quale valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza.

In conclusione  analizzando alcuni casi concreti  abbiamo verificato che per avere un pacchetto d’onda concentrato spazialmente occorre incrementare la differenza di frequenza delle onde che compongono il pacchetto e quindi perdere in risoluzione sulla frequenza. Viceversa per avere una migliore risoluzione in frequenza occorre "allargare" il pacchetto e quindi perdere in risoluzione spaziale.

Osservazione:
Il grafico che si ottiene quadrando l’ampiezza del pacchetto in funzione della posizione è simile a una figura di diffrazione:

L'attività  fa parte di una collezione di esperienze preparate nell'ambito del progetto "Nuove idee per la didattica laboratoriale nei licei scientifici" finanziato dal MIUR

Ciardiello Eduardo
Diener Paola