L’interferenza è una caratteristica dei fenomeni ondulatori, che si manifesta quando i segnali provenienti da due sorgenti coerenti si sovrappongono. Utilizzando due casse acustiche, un generatore di onde sonore (reperibile sulla rete o mediante App sullo smartphone), un microfono e un sonar connessi a un sistema di acquisizione dati viene studiata l’interferenza "alla Young" per le onde sonore.
Lo schema dell’apparato sperimentale viene mostrato in figura 1:
Figura 1: schema dell'apparato sperimentale.
Gli studenti sono coinvolti anche nella fase di progettazione dell’esperimento, in quanto viene chiesto loro di scegliere distanze e frequenze opportune in base agli spazi a disposizione in modo da poter effettuare delle misure.
Muovendo il microfono lungo la linea retta parallela all'asse $S_1 S_2$, si acquisiscono il grafico di pressione sonora vs posizione per diversi valori dei parametri (frequenza, distanza dalle sorgenti e distanza fra le sorgenti).
Si ricava la relazione fra i massimi e minimi di interferenza e i parametri su indicati.
Si confrontano i dati sperimentali con il modello teorico e si valuta la validità dell’approssimazione utilizzata nel modello.
Risorse necessarie
Casse acustiche;
generatore di frequenze (applicazione scaricabile da internet con lo smartphone o col pc);
microfono;
sistema di acquisizione dati on line;
software di analisi dati o foglio di calcolo;
sonar (opzionale, l'esperimento può essere svolto anche in sua assenza, a scapito della precisione).
Figura 2: l'apparato sperimentale.
Prerequisiti necessari
Fenomeni ondulatori;
interferenza costruttiva/distruttiva e condizioni sotto le quali si realizzano;
relazione fra fase di un’onda e cammino geometrico;
nozioni di goniometria e trigonometria;
utilizzo del software geogebra.
Obiettivi di apprendimento
Riconoscere l’interferenza come elemento distintivo dei fenomeni ondulatori;
prevedere mediante il modello teorico i risultati sperimentali;
riconoscere i limiti di validità dei modelli semplificati di interferenza (approssimazione di Fraunhofer, diminuzione dell’intensità sonora con la distanza);
ricavare sperimentalmente le relazioni fondamentali fra le grandezze in gioco.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Agli studenti viene fornita una simulazione realizzata dagli Autori (vedi allegato) con il software Geogebra, nella quale viene mostrato il risultato della sovrapposizione di onde coerenti provenienti da due sorgenti di lunghezza d'onda $\lambda$, poste a distanza $d$ fra loro, rilevata su un piano a distanza $D$ dalle sorgenti; un esempio di simulazione è mostrato in figura 3, per valori specifici dei tre parametri.
Figura 3: esempio di sovrapposizione di onde ottenuta tramite la simulazione con Geogebra.
Il grafico mostra la curva dell’intensità risultante senza attenuazione (curva in nero) e con attenuazione (profilo dell'area in rosso). La simulazione consente di variare sia la lunghezza d’onda sia i parametri geometrici, cioè la distanza fra le sorgenti e la distanza dello schermo dalle sorgenti. Con questa simulazione gli studenti possono scegliere e simulare autonomamente l’apparato sperimentale.
Sperimentalmente è possibile studiare come varia la posizione dei minimi di interferenza al variare dei parametri $D$, $d$ e $\lambda$: in base al tempo che l'insegnante vuole dedicare all'attività è possibile scegliere quali parametri far variare.
Posizione dei minimi vs distanza dalle sorgenti
Acquisire le posizioni dei minimi fissata la distanza fra le sorgenti, al variare della distanza $D$ da esse.
Come esempio si riportano i dati ottenuti per sorgenti di frequenza $f = 3400 \, Hz$ ($\lambda = 0.1 \, m$) , $d= 0.35 \, m$, per diverse distanze dalla sorgenti ($D = 0.80 \,m;\, 1.00 \, m;\, 1.20 \, m;\, 1.40 m$). I dati sono stati registrati in modalità di acquisizione continua, con frequenza di campionamento di 20 campionamenti al secondo.
Figura 4: intensità misurate in funzione della posizione per $d=0.35\,m$ e $D=0.80\, m$.
Dai grafici sono state desunte le posizioni dei minimi di intensità, riportati nelle tabelle seguenti:
Tabella 1: dati relativi ai minimi con $n= \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3$, per $D=0.80 \, m$.
Tabella 2: dati relativi ai minimi con $n= \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3$, per $D=1.00 \, m$.
Tabella 3: dati relativi ai minimi con $n= \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3$, per $D=1.20 \, m$.
Tabella 4: dati relativi ai minimi con $n= \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3$, per $D=1.40 \, m$.
Relazione tra il numero d'ordine dei minimi e la differenza di cammino geometrico
Interessante è la verifica della relazione che lega la differenza di cammino geometrico con la lunghezza d'onda in funzione del numero d’ordine dei minimi, data da: $$ r_2-r_1 = \left(n \pm \dfrac{1}{2}\right)\lambda \, , $$ nella quale il segno $+$ vale per $n= -1,\, -2,\, -3,\, \cdots$, mentre il segno $-$ vale per $n= 1,\, 2,\, 3,\, \cdots$. Infatti si ha interferenza distruttiva (e quindi intensità minima) quando le due onde arrivano al ricevitore con una differenza di fase pari a un numero semi-intero di lunghezze d'onda ($\pm \lambda/2, \, \pm 3\lambda/2, \, \cdots$). Poiché le onde vengono prodotte in fase (l'app ne produce una, che noi inviamo alle due distinte casse), tale differenza di fase è dovuta alla differente distanza dal microfono delle due casse ("cammino geometrico").
I cammini geometrici sono indicati nello schema in figura 5.
Figura 5: i cammini geometrici dalle sorgenti al microfono. La loro differenza è legata in modo lineare alla lunghezza d'onda
I valori di $r_1$ ed $r_2$ sono dati dalle espressioni: $$r_1 =\sqrt{(Y_n - \frac{d}{2})^2 + D^2}$$ $$r_2 = \sqrt{(Y_n + \frac{d}{2})^2 + D^2}$$ con $Y_n = (x-x_0)$ relativo al minimo $m_n$ di ordine $n$ che stiamo considerando.
Dal fit lineare della relazione tra differenza di cammino geometrico e ordine dei minimi possiamo ricavare due stime della lunghezza d'onda: si ha infatti (ad esempio nel caso dei minimi con $n$ positivo), $$ r_2 - r_1 = n\lambda -\dfrac{\lambda}{2} \, . $$
Possiamo confrontare i valori ottenuti per $\lambda$ con il valore impostato sull'app di produzione del suono.
Si può ovviamente svolgere lo stesso procedimento per i minimi con $n$ negativo.
Nel nostro caso, i risultati delle misure di differenza di cammino geometrico sono riportati in tabella 5, mentre il fit lineare (nel caso di minimi di ordine positivo) è mostrato in figura 6.
Tabella 5: differenza di cammino geometrico in funzione dell'ordine del minimo, per $D=0.80 \, m$. Per l'analisi utilizziamo separatamente i minimi con $n>0$ e quelli con $n<0$.
Figura 6: differenza di cammino geometrico in funzione dell'ordine del minimo. Per l'analisi abbiamo utilizzato i minimi di ordine positivo.
Il risultato del fit fornisce: $$m= \left( 0.101 \pm 0.004 \right) \, m \, ,$$ $$q= \left( -0.052 \pm 0.009 \right) \, m \, .$$ Da questi valori, otteniamo le due stime di $\lambda$: $$ \lambda = m = \left( 0.101 \pm 0.004 \right) \, m \, ,$$ $$ \lambda = -2q = \left( 0.104 \pm 0.18 \right) \, m \, .$$ Le due stime sono in accordo tra loro e con il valore di lunghezza d'onda ($\lambda = 0.1 \, m$) utilizzato nella generazione del segnale sonoro.
La stessa analisi può essere eseguita per i valori negativi dei minimi e per tutti gli altri valori della distanza $D$. La tabella 6 riporta i valori di $\lambda$ ottenuti in tutti i casi, utilizzando la pendenza delle rette, che, come abbiamo visto nel caso suesposto, forniscono una stima con margine di incertezza minore.
Tabella 6: valori della lunghezza d'onda ottenuti per i diversi valori di $D$, sia per i minimi con $n>0$ sia per quelli con $n<0$.
Dai valori della tabella eseguendo la media pesata otteniamo come stima della lunghezza d'onda il valore $$ \lambda = \left(0.100 \pm 0.001\right)\, m \, ,$$ in perfetto accordo con il valore utilizzato nella generazione delle onde sonore.
Note e storia
L'esperimento fa parte di una collezione di esperienze di laboratorio elaborate nell'ambito del progetto “Nuove idee per la didattica laboratoriale nei Licei Scientifici” finanziato dal MIUR
