Quando un’onda sonora di una determinata frequenza si propaga in un tubo chiuso a un estremo, può entrare in risonanza con i modi normali di oscillazione della colonna di aria nel tubo. L'esperienza:
evidenzia tali modi normali, mostrando che le onde che si generano sono stazionarie;
determina la relazione fra la lunghezza d’onda dei modi normali e la lunghezza del tubo;
misura la velocità di propagazione del suono, utilizzando il legame fra frequenza e lunghezza d’onda.
Scheda sintetica delle attività
Un estremo del tubo di lunghezza $L$ è lasciato aperto. All’estremo aperto è posizionata una piccola cassa acustica collegata a un generatore di onde armoniche con frequenza variabile. All’interno del tubo, in posizione arbitraria, è posizionato un microfono collegato a un sistema di acquisizione dati. Variando la frequenza del segnale acustico, si misura l'intensità del suono registrato dal microfono, visualizzando i primi modi normali.
Risorse necessarie
Tubo di plastica di lunghezza $L = \left(1.49 \pm 0.01\right)\,m$;
cassa acustica;
microfono;
sistema di acquisizione dati;
generatore di onde sinusoidali di diversa frequenza;
software per l’analisi dei dati.
Figura 1: l'apparato sperimentale.
Prerequisiti necessari
Caratteristiche dei fenomeni ondulatori: frequenza, lunghezza d’onda, velocità di propagazione;
onde stazionarie in tubo aperto a un estremo: relazione tra le frequenze dei modi normali e la lunghezza del tubo.
Obiettivi di apprendimento
Caratterizzare il fenomeno della risonanza;
riconoscere che la risonanza permette di evidenziare i modi propri di vibrazione del mezzo;
riconoscere le onde stazionarie;
verificare che i dati sperimentali sono in accordo con il modello teorico.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna.
Svolgimento
La teoria delle onde stazionarie in un tubo chiuso a una estremità dà come condizione di risonanza $$ L = \left(2n-1\right) \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{\lambda}{2}n - \dfrac{\lambda}{4} \, , \quad n \in N $$ All’estremo libero del tubo si presenta sempre un massimo di intensità, come mostrato in figura 2.
Figura 2: primi modi normali in un tubo chiuso a una estremità. Si noti che si presenta sempre un massimo di intensità all'estremo libero del tubo.
Per scansionare le varie frequenze abbiamo utilizzato un generatore di onde presente sulla rete (http://www.claredot.net/it/sez_Audio/generatore-di-segnali-audio.php), che genera onde sinusoidali con una frequenza che può crescere nel tempo con continuità. Il range di frequenza e il tempo di scansione in cui avviene la variazione può essere fissato dall’utente: da $20$ a $20000\, Hz$ e da $20$ a $100\, s$. A partire da $50\, Hz$ si sono scelti degli intervalli di frequenza di ampiezza non superiori a $100\, Hz$, facendo in modo che ad ogni secondo corrispondesse un aumento di frequenza di $1\, Hz$.
Il tempo di acquisizione del sistema è stato fissato a $120\, s$, mentre quello di campionamento al valore più basso possibile. Azzerato il microfono, si fa partire l’acquisizione e dopo circa due secondi il generatore di suono. Al termine si individua dal grafico la frequenza del massimo di intensità (come detto, ogni secondo dalla partenza del generatore, visibile dal grafico in figura 3, corrisponde ad un incremento della frequenza di $1\, Hz$).
Figura 3: un esempio di dati raccolti. In questo caso il tempo iniziale corrisponde a una frequenza di $143\, Hz$, e il massimo dell'intensità è stato registrato dopo $25 \, s$, corrispondenti quindi a una frequenza di $168\, Hz$, corrispondente a $n=2$ per il tubo utilizzato.
La misura del tempo intercorso fra l’accensione del generatore e il verificarsi del massimo di intensità è $25 \,s$; con la scelta fatta in precedenza questo corrisponde ad un incremento di $25 \, Hz$, quindi la frequenza di risonanza è $f_{MAX}= \left(143 + 25\right)\, Hz =168 Hz$.
In questo modo si ottengono i dati riportati in tabella 1 e graficati nella figura 4:
Tabella 1: frequenze dei modi normali per $2<n<11$.
Figura 4: andamento della frequenza in funzione del numero d'ordine della risonanza e fit lineare per determinare il valore della velocità del suono.
Il fit lineare di $$ f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{v}{\frac{4L}{2n-1}} = \dfrac{v}{2L}\,n - \dfrac{v}{4L}\, ,$$ fornisce un valore per il coefficiente angolare $a=\dfrac{v}{2L} = \left(114 \pm 1 \right) \, Hz$, che corrisponde alla velocità per il suono $$ v = 2La = \left( 340 \pm 4 \right) \, m/s \, ,$$ L'errore $\Delta v$ è stato determinato dalla relazione: $$ \Delta v = v \sqrt{\left(\dfrac{\Delta L}{L}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta a}{a}\right)^2} \, ,$$ e risulta circa del 1%.
Il risultato ottenuto è in ottimo accordo con il valore atteso per la velocità del suono nell'aria.
Anche il valore del termine noto della regressione lineare consente di determinare il valore della velocità del suono, ma con minore precisione. Dalla regressione lineare risulta infatti: $ - \frac{v}{4L} =\left(-58 \pm 7 \right) \, s^{-1}$, da cui $ v = \left( 346 \pm 42 \right) \, m/s$, con un errore pari a circa il 12%, derivante dall'errore sul termine noto (Fig. 4).
Note e storia
L'attività fa parte di una collezione di esperienze preparate nell'ambito del progetto "Nuove idee per la didattica laboratoriale nei licei scientifici" finanziato dal MIUR.
