Soffiando in una cannuccia o in un tubicino è possibile - con l’ausilio di uno smartphone (o tablet) - registrare lo spettro di frequenza del suono emesso, ottenere le frequenze delle prime armoniche delle onde stazionarie e calcolare poi la velocità del suono dai dati ottenuti.
Scheda sintetica delle attività
Nei giorni precedenti è necessario scaricare l’app in ciascun cellulare (o tablet) che verrà utilizzato.
In classe, prima di eseguire l’esperimento, si richiama la teoria sulle onde stazionarie e in particolare quella sulle onde stazionarie in tubo aperto a entrambi gli estremi.
Si imposta sullo smartphone l’app per la misura della frequenza e se ne mostra il funzionamento alla classe.
Si lancia l’app e tenendo il tubo verticale con una delle due imboccature davanti al microfono dello smartphone, si soffia sopra all’altra estremità perpendicolarmente all’apertura a una distanza di circa un centimetro.
Mentre si sta soffiando, sul display dello smartphone appare il grafico della frequenza in funzione del tempo (spettrogramma) del suono prodotto dall’aria dentro la cannuccia. Si distinguono - per intensità maggiore da altri suoni - delle righe orizzontali equidistanti l’una dalla successiva: sono le frequenze di risonanza dell’aria del tubicino.
Si leggono nello spettrogramma i valori delle frequenze.
Si misura la lunghezza della cannuccia. Con le dovute correzioni per effetti ai bordi sulla lunghezza della cannuccia, si calcola il valore della velocità del suono. Si confronta il valore ottenuto con quello calcolato misurando la temperatura ambiente e si discutono i risultati.
Si può ripetere l’esperimento con una cannuccia aperta ad una sola estremità.
Risorse necessarie
Cannuccia per bibite o tubicino
Smartphone con app per misurare frequenze sonore.
Un righello o un calibro.
Un termometro per misurare la temperatura ambiente.
Prerequisiti necessari
Conoscenza del fenomeno delle onde stazionarie in una colonna d’aria vibrante.
Conoscenza della relazione tra velocità del suono e frequenza e di quella tra velocità del suono e temperatura.
Obiettivi di apprendimento
Verifica sperimentale del fenomeno delle onde stazionarie entro una colonna d’aria vibrante.
Capacità di leggere uno spettrogramma.
Consapevolezza che i nostri smartphone, con le opportune app, possono essere usati come valida strumentazione scientifica.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna.
Svolgimento
Nei giorni precedenti bisogna scaricare nello smartphone (o tablet), un’app adatta a fornire, tramite l’utilizzo del microfono e di un algoritmo di calcolo, le frequenze emesse da un suono. Le app scelte - AndroSpectro Lite per smartphone Android e SpectrumView per smartphone iOS - sono particolarmente adatte al nostro esperimento perché forniscono in tempo reale il grafico dello spettrogramma delle frequenze registrate in funzione del tempo. In questo articolo useremo in particolare SpectrumView, poiché i dispositivi utilizzati lavorano in ambiente iOS. Lo spettrogramma utilizza i colori per fornire l’informazione sull’intensità del segnale, secondo la scala riportata nell’app. Per Spectrum View i suoni più intensi sono di colore rosso, quelli meno intensi di colore blu.
Invece di utilizzare toni puri, si preferisce avere uno spettro continuo di suoni: soffiando si possono ottenere contemporaneamente tutte le armoniche più basse fino anche alla settima. Si soffia sopra all’imboccatura di una estremità della cannuccia, perpendicolarmente a questa, mentre l’altra estremità è posizionata vicina al microfono dello smartphone. Le righe orizzontali ed equidistanti che si distinguono per una intensità maggiore corrispondono alle varie frequenze di risonanza dell’aria nel tubicino. La riga più in basso corrisponde alla frequenza fondamentale, le altre alle armoniche via via superiori. Di seguito (Figura 1) è riportato lo spettro dove sono poste in evidenza le righe corrispondenti alle armoniche. Le righe sono intermezzate da linee verticali di colore blu: esse corrispondono al momento in cui si riprende fiato.
Figura 1: spettrogramma ottenuto soffiando vicino ad una estremità di una cannuccia.
Toccando con un dito un punto dello spettrogramma viene visualizzato sullo schermo il valore della frequenza corrispondente. Le linee di frequenza tuttavia non sono sottili, ma hanno una certa ampiezza, per cui l’individuazione del valore letto è soggetto a una incertezza di qualche decina di Hertz. La versione a pagamento dell’app SpectrumView permette uno zoom del grafico, per cui l’incertezza può essere ridotta ragionevolmente a ±10Hz (Figura 2).
Nell’app SpectrumView si possono impostare sia la frequenza di campionamento sia il numero di punti su cui lavora l’algoritmo che esegue la Fast Fourier Transform (trasformata veloce di Fourier) o anche la media dei fotogrammi FFT (in secondi) analizzati. Mantenendo i valori di default abbiamo utilizzato 16 kHz come frequenza di campionamento. La disposizione FFT è impostata a 11 (l’equivalente di $2^{11}\,=\,2048$ campioni), che permette di condurre l’esperimento con una risoluzione di frequenza di 16 kHz / 2048 ≈ 8Hz, incertezza inferiore a quella di lettura del grafico.
Figura 2: ingrandimento di una parte dello spettrogramma per un più preciso rilevamento delle armoniche (in questo caso delle prime tre armoniche), che però si può ottenere solo con la versione a pagamento del software.
In Tabella 1 sono riportate, per ciascuna delle prime sette armoniche, la frequenza, il rapporto tra la frequenza e quella dell’armonica fondamentale e la velocità del suono ottenuta dalla relazione: $$ v = \dfrac{2}{1}\,f_1 L\,; \quad v= \dfrac{2}{2}\,f_2 L\,; \quad v=\dfrac{2}{3}\, f_3 L\,; \ldots v = \dfrac{2}{n}\, f_n L \, ,$$ dove $n$ è il numero dell'armonica e $L$ la lunghezza della cannuccia. Nel nostro caso $$ L = \left(0.200 \pm 0.001\right)\, \textrm{m} \, . $$
Tabella 1: dati senza correzioni per gli effetti di bordo.
L’incertezza sui valori di velocità è stata calcolata con la propagazione delle incertezze: $$ \Delta v = v \sqrt{\left(\dfrac{\Delta L}{L}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta f}{f}\right)^2} \, .$$
La velocità del suono viene calcolata tramite una media pesata (i pesi sono gli inversi delle incertezze), ottenendo $$ v_{media} = \left( 333 \pm 1 \right) \, \textrm{m/s} \, . $$
Il valore teorico della velocità del suono a temperatura ambiente in aria secca (T= 293 K) è data dalla formula $$ v = 20.055 \cdot \sqrt{T} = 343 \, \textrm{m/s} \, ,$$
che risulta esseresuperiore a tutti i valori trovati anche considerando gli intervalli di incertezza.
La discrepanza osservata non è dovuta alle condizioni ambientali in cui è stato eseguito l'esperimento (in particolare la temperatura e l'umidità hanno influenza sul valore della velocità del suono), ma ad un errore sistematico dovuto agli effetti di bordo che modificano la lunghezza effettiva della cannuccia. Di seguito riportiamo una discussione su questo effetto che spiega la discrepanza tra il valore ottenuto e quello previsto.
Approfondimento: correzioni dovute agli effetto di bordo
La discrepanza è dovuta a una sottostima della lunghezza effettiva della colonna d'aria vibrante, che, per la lunghezza finita della cannuccia e per la sua simmetrica cilindrica, non è uguale alla lunghezza geometrica della cannuccia stessa, bensì maggiore. Per calcolarla bisogna tenere conto di un “effetto di bordo”, dovuto alle dimensioni del tubo, per cui i nodi di pressione dell’onda non si formano esattamente alle estremità del tubo, ma leggermente fuori. La lunghezza del tubo risulta, quindi, un po’ più grande della lunghezza $L$ misurata. Se indichiamo con $L’$ è la lunghezza effettiva della colonna d’aria vibrante, con una buona approssimazione, per le dimensioni della nostra cannuccia che ha lunghezza $L= \left(0.200 \pm 0.001\right)$ m e raggio $R=\left(0.00375 \pm 0.00005\right)$ m, risulta:
- per un tubo aperto da entrambi i lati ([11], [12], [13], [14])
$$ L' = L + 2xD \, ,$$
con $D$ diametro della cannuccia e $x$ una costante di correzione;
- per un tubo aperto ad una sola estremità
$$ L' = L + xD \, .$$
Herbert Anderson e Floyd Østensen [14] hanno calcolato un valore di $x$ pari a 0.3, mentre recenti articoli propongono una costante di correzione maggiore ([11], [12], [13]). Con $x$=0.3 si ha $L'=\left(0.205 \pm 0.001 \right)$ m e si ottengono i dati corretti riportati in Tabella 2.
Tabella 2: dati con le correzioni dovute agli effetti di bordo.
Si ottiene in questo caso $v_{media} = \left( 340 \pm 1 \right)$ m/s, valore vicino a quello previsto nel caso di temperatura ambiente e aria secca, ma ancora non in perfetto accordo con esso.
Per completare l'attività si può determinare il valore di $x$ nelle condizioni dell'esperimento, ricavando il valore della lunghezza effettiva della colonna d'aria vibrante $L'$ per ciascuna armonica e utilizzando il valore teorico della velocità ($v=343$ m/s); da questi due dati, si calcola quello di $x$, utilizzando la formula del tubo aperto. I dati corrispondenti sono riportati in Tabella 3.
Tabella 3: dati per il calcolo di $L'$, fissando $v=343$ m/s.
Si ottiene in questo modo $$ L'_{medio} = \left( 0.2063 \pm 0.0002 \right)\,\textrm{m} \, ,$$
corrispondente a un fattore correttivo $x$=0.42.
Possiamo concludere che nelle condizioni sperimentali dell'esperimento occorre utilizzare un fattore di correzione $x$ maggiore di quello riportato nelle pubblicazioni scientifiche dello scorso secolo suindicate, giustificabile da condizioni ambientali di temperatura e umidità o anche da una geometria non perfettamente cilindrica della cannuccia.
Note e storia
In un articolo pubblicato nel 1928 sulla rivista Physical Review, Herbert Anderson e Floyd Østensen [14] presentano il loro lavoro fatto sullo studio della correzione al bordo secondo cui il valore di $x$ è 0.3, se il tubo ha due estremità aperte e un alto valore del rapporto $L/D$. Questo è stato per lungo tempo il fattore di correzione usato negli esperimenti. Tuttavia questo valore non è sempre coerente con i risultati sperimentali. Wertheim ha ottenuto $x$ = 0.332, mentre la conclusione di Bosanquet è stata che $x$ = 0.318 per $L/D$ = 6 e $x$ = 0.272 per $L/D$ = 15. Più recentemente Taylor e Hoffmann [13] ottengono una costante $x$=0.33 per tubi il cui rapporto $L/D$ è inferiore a quello della nostra cannuccia (circa 53), mentre Iqbal e Majeedun [12] un valore $x$=0.486.
Nell'articolo di Galante e Lombardi, “Acustica con una Bic e uno smartphone” [2], il valore di $x$ utilizzato usando una cannuccia di una penna Bic, è stato 0.3 e i risultati sono stati frequenze misurate sottostimate rispetto a quelle teoriche previste. Gli autori spiegavano così la discrepanza: "L’errore sperimentale, che va oltre quello dovuto ai fenomeni al bordo e che [...] prevede una apposita correzione, è a nostro parere da imputarsi in buona parte all’imboccatura della biro, che ha una forma conica e non perfettamente cilindrica". Sicuramente l'imboccatura è un fattore da tenere presente, tuttavia anche nel nostro caso, dove la cannuccia è perfettamente cilindrica, usando il fattore 0.3 si ottengono velocità con valore efficace tutte inferiori a quella teorica e alcune velocità non compatibili nemmeno entro l'intervallo delle incertezze (tabella 2) . Ciò mi fa ritenere che il fattore $x$ di correzione, sia nel nostro caso che in quello della penna Bic (che ha un rapporto lunghezza d'onda/ diametro simile ), sia maggiore.
Una volta trovate le armoniche di risonanza di un tubo sufficientemente largo da contenere all’interno uno smartphone, è possibile selezionarne una, ripetere l’esperimento di Kundt e registrare le posizioni dei nodi e degli antinodi [7, 8].
L’esperimento fa parte del progetto “Science Smart Kit”. Tale progetto comprende un kit di “accessori” per smartphone per realizzare attività di laboratorio di fisica, di scienze, chimica e matematica, schede per studenti e docenti, e la disseminazione attraverso iniziative di aggiornamento e formazione docenti.
Il progetto è risultato tra i vincitori del bando del MIUR “Nuove idee per la didattica laboratoriale nei Licei Scientifici” ed è stato selezionato per far parte della delegazione italiana al Festival Europeo Science On Stage 2017.
Bibliografia
Testo scolastico: Ugo Amaldi, “Dalla mela di Newton al Bosone di Higgs “, Zanichelli,Volume 4 Esperimenti con lo smartphone (di Giovanni Pezzi) pagg. 928-929
Galante, A.M. Lombardi, “Acustica con una Bic e uno smartphone”, La Fisica nella Scuola, XLVI, 2, 2013
Kasper, P.Vogt, C. Strohmeyer, “Stationary waves in tubes and the speed of sound”, The Physics Teacher, vol 53, gennaio 2015
Hirth, J. Kuhn, A. Müller, “Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology”, The Physics Teacher, vol. 53, febbraio 2015
Yavuz, “Measuring the speed of sound in air using smartphone applications”, Physics Education, vol. 50, 3, 2015
J. Ruiz, “Boomwhackers and End-Pipe Corrections”, The Physics Teacher, vol. 52, febbraio 2014
Sara Orsola Parolin, Giovanni Pezzi, “Kundt’s tube experiment using smartphones”, Physics Education, 50 (4) 2015
Syed Rashad Iqbal, Hudhaifa Mazin Abdull Majeed "End Correction of a Resonant Standing Wave in Open Pipes of Different Diameters " , Journal of Natural Sciences Research www.iiste.org ISSN 2224-3186 (Paper) ISSN 2225-0921 (Online) Vol.3, No.4, 2013 http://www.iiste.org/Journals/index.php/JNSR/article/viewFile/4896/4974
Taylor Boelkes and Ingrid Hoffmann,ISB Journal of Physics, Vol. 5, Iss. 1 January 2011 "Pipe Diameter and End Correction of a Resonant Standing Wave"
