L'attività si inserisce in un percorso da svolgersi all'inizio del primo anno di liceo durante il quale si cerca di definire cosa significa misurare delle lunghezze, delle masse e degli intervalli di tempo. Il lavoro che viene presentato cerca di proporre, attraverso lo studio di alcuni fenomeni periodici, come sia possibile definire in modo operativo l'unità di misura del tempo, il secondo. Infatti le ultime definizioni di secondo (successive al 1967) basate su orologi atomici sono spesso difficili da capire da parte di uno studente che non ha conoscenze di fisica quantistica.
Scheda sintetica delle attività
Agli studenti viene chiesto di osservare e fare delle misure relative ad alcuni fenomeni periodici. In particolare dovranno utilizzare tali fenomeni come "orologi" per misurare la durata di un particolare fenomeno fisico, ovvero dovranno determinare il numero di oscillazioni-cicli compiuti da ogni fenomeno periodico contenuti nell'intervallo di tempo in cui si verifica il fenomeno fisico. Quindi dovranno capire quale degli "orologi" è più preciso e chiedersi se e quanto sia riproducibile da parte di altre persone esterne alla scuola, in modo che possano capire quanto vale un secondo attraverso l'utilizzo dello stesso "orologio".
L'analisi statistica dei dati ci permetterà di capire atraverso il calcolo dell'errore relativo sul valore medio del numero delle oscllazioni quale sarà l"orologio" più preciso e quindi più affidabile. Questa parte è da intendersi come un approfondimento del calcolo della teoria degli errori. I fenomeni studiati introdurranno inevitabilmente argomenti quali il moto armonico, le onde,....che protranno essere affrontati solo nel corso del terzo e quarto anno.
I fenomeni da studiare saranno:
battito cardiaco
oscillazioni di un pendolo
oscillatore armonico (massa + molla)
simulazione moto periodico sul computer
oscillazione di un diapason
oscillazione di un bicchiere di cristallo.
Il fenomeno fisico di cui misurare la durata attraverso i nostri "orologi" è "la fuoriuscita dell'acqua contenuta in una bottiglietta di plastica da mezzo litro capovolta, appesa ad un sostegno fisso in cui è stato praticato un foro nel tappo." Conviene regolare la quantità di acqua in modo che il tempo non sia superiore ai 10-15 s per poter contare il numero di oscillazioni del pendolo e della molla con facilità.
I primi quattro esperimenti possono essere fatti da gruppi diversi i quali misureranno contemporaneamente il numero di oscillazioni del proprio "orologio" mentre l'acqua scende. Per gli esperimenti 5-6 non è possibile un confronto diretto, quindi due gruppi registrano il suono emesso dal diapson e dal bicchiere e la durata della fuoriuscita dell'acqua in secondi con un cronometro e nel laboratorio di informatica con il software Audacity potranno contare (anche se non direttamente) il numero di oscillazioni dei due fenomeni periodici nel tempo misurato della fuoriuscita dell'acqua dalla bottiglia.
Risorse necessarie
Cronometro digitale con una sensibilità di 0,01 s;
uno spago lungo almeno un metro, un metro ad asta e un paio di forbici;
una o più molle con diversa costante elastica;
sostegni a cui attaccare lo spago e le molle;
alcuni pesetti da 25-50 g e un portapesi (massa 25 g);
un diapason;
un bicchiere di cristallo con all'interno un po' di acqua;
un microfono;
un calcolatore con installato il software gratuito Geogebra;
un calcolatore su cui sia installato il software gratuito Audacity e un foglio di calcolo (tipo Calc di Libre Office o Open Office).
Prerequisiti necessari
sapere cosa significa misurare;
sapere cosa significa definizione operativa di un'unità di misura;
sapere che l'unità di misura deve essere il più possibile accurata e riproducibile anche a distanza;
sapere usare un cronometro digitale e saperne leggere la sensibilità e la portata;
saper usare un foglio di calcolo ;
conoscere le basi dell'analisi dei dati: calcolo valor medio, errore assoluto e relativo di misure dirette e indirette.
Obiettivi di apprendimento
Tra le competenze acquisibili ci sono anche le competenze necessarie del punto precedente, in quanto non è detto che gli esperimenti precedenti in cui si è analizzato cosa significa fare misure di lunghezza e di massa siano state sufficienti per acquisirle. Quindi quest'attività laboratoriale, come anche altre sono un'occasione per potenziare le competenze precedenti e precisamente:
imparare cosa significa definire in modo operativo un'unità di misura;
imparare che l'unità di misura deve essere il più possibile accurata e riproducibile a distanza;
imparare a fare delle misure di intervalli di tempo con un cronometro digitale;
imparare ad usare un foglio di calcolo per la creazione di tabelle e utilizzo di formule matematiche;
imparare ad applicare l'analisi a dati sperimentali e capire la natura degli errori commessi durante le misure;
imparare ad usare il software Audacity sia per registrare il suono del diapson/bicchiere che per analizzarne la forma d'onda;
imparare a leggere un grafico ampiezza-tempo e leggere il periodo del fenomeno periodico.
imparare a calcolare la frequenza di un fenomeno periodico noto il periodo.
Dotazioni di sicurezza
Nessuna
Svolgimento
Premessa
L'analisi dei dati viene eseguita utilizzando le seguenti formule: valor medio $\bar x$ delle oscillazioni $x_i$ di un fenomeno periodico è dato dall'espressione: $$ \bar x = \frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}\ x_i$$ L'incertezza della singola misura è data dalla deviazione standard: $$ \sigma = \sqrt {\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\ \left(x_i - \bar{x}\right)^2}$$ L' errore sul valor medio è dato da: $$\sigma _{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$$
Questo esperimento è anche una buona occasione per riprendere o introdurre i vari tipi di errori (statistici e non) come ricordato dall'articolo 5-Fisica.
Negli allegati è presente un file Excel in cui caricare i dati dei vari fenomeni periodici, calcolare valore medio, deviazione standard, errore relativo percentuale e altri valori necessari negli ultimi due esperimenti.
I fenomeni periodici che seguono verranno usati come "orologi" per determinare la durata del fenomeno periodico relativo alla fuoriuscita dell'acqua da una bottiglietta di plastica. Stabilito quale sarà l' "orologio" più preciso potremo definire il secondo come un multiplo del suo periodo di oscillazione attraverso la frequenza del fenomeno periodico su cui si basa il nostro orologio.
1. BATTITO CARDIACO
Il primo fenomeno periodico che si può proporre come "orologio" è quello del battito cardiaco. Nelle Note e Storia riporto un aneddoto, probabilmente falso, in cui Galileo Galilei usò il battito cardiaco per verificare l'isocronismo delle oscillazioni del lampadario nella Cattedrale di Pisa.
Tale fenomeno periodico è chiaramente soggettivo e cambia a seconda delle condizioni fisiche della persona, però può essere un primo passo per definire cos'è un "orologio" con cui misurare il nostro fenomeno periodico. Propongo, qui a titolo d'esempio 5 valori dell' "orologio battito cardiaco" di un ragazzo a) in condizioni di riposo, cioè seduto; b) in piedi; c) in piedi dopo 10 flessioni; d) dopo una camminata di alcuni minuti; e) dopo aver fatto le scale di corsa.
I valori sperimentali sono riportati in tabella 1, assieme al valore medio $\bar{x}$, alla deviazione standard $\sigma$, all'errore sul valore medio $\bar{\sigma}$ e all'errore relativo percentuale $\epsilon$.
Tabella 1: battito cardiaco allievo a riposo (a), in piedi (b) in piedi dopo 10 flessioni (c), dopo una camminata (d) dopo aver fatto le scale di corsa (e).
Si osservi il valore elevato dell'errore relativo (10,7%) il quale sta a indicare, come era da aspettarsi, una scarsa affidabilità dell' "orologio battito cardiaco" in quanto le condizioni dell'allievo non sono stabili. Si potrebbero ripetere le misure con più allievi per valutarne la variazione della misura (valor medio) al variare del battito cardiaco scelto.
Una situazione più stabile è quella in cui la durata del fenomeno è misurata con il battito cardiaco di 10 allievi seduti (tabella 2). Tra gli allievi avendo la stessa età e condizioni fisiche simili non ci sono grosse variazioni nella frequenza cardiaca e questo porta ad ottenere una maggior precisione rispetto a prima (3,3% di errore relativo).
Tabella 2: battito cardiaco di 10 allievi
Osservazioni: E' chiaro che resta il grosso e insuperabile limite dell'impossibilità di mantenere costante la frequenza sia per la singola persona in ogni momento della giornata e a maggior ragione tale frequenza sarà diversa da persona a persona rendendo quindi impossibile esportare tale definizione di unità di tempo attraverso l'orologio "battito a cardiaco".
2. IL PENDOLO
Il pendolo semplice lo possiamo realizzare usando uno spago collegato a una estremità al sostegno e all'altra a un portapesi su cui mettiamo un paio di pesi da 50 g affinché la corda sia tesa (figura 1).
Figura 1: il pendolo semplice utilizzato
Il pendolo semplice è tale se la massa della corda è trascurabile rispetto alla massa che oscilla ad una delle sue estremità e se essa è inestensibile. Il moto del pendolo, il cui studio teorico verrà fatto nel corso della classe terza, è sicuramente un fenomeno periodico di grande interesse sia per l'importanza storica che ha avuto nella costruzione dei primi orologi (orologio a pendolo), sia per la sua semplicità nel farci capire cos'è e come può essere usato il suo moto periodico per poter definire il secondo.
Agli allievi si dovrà ricordare che il pendolo dovrà muoversi mantenendosi nello stesso piano (oscillazioni complanari) e con piccole oscillazioni (<10°); la teoria ci permette di calcolare il periodo $T$ di un pendolo di lunghezza $l$ data, nota l'accelerazione di gravità $g$, con la formula: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$
L'isocronismo del pendolo diventa una condizione necessaria per poter misurare la durata del nostro fenomeno attraverso il numero di oscillazioni del pendolo, mentre non è necessario che gli allievi sappiano che la massa non è rilevante nella determinazione del periodo di oscillazione, anche se non si esclude che gruppi con pendoli della stessa lunghezza possano aver appeso masse diverse e ottenuto contrariamente a quanto potrebbero pensare gli stessi allievi risultati compatibili delle misure della durata del fenomeno periodico (vedi 30-Fisica per un approfondimento).
Riportiamo a titolo di esempio in tabella 3 le misure fatte con un pendolo la cui lunghezza è di 0,900 m. Le masse appese hanno una massa totale di 125 g. Tabella 3: valori sperimentali ottenuti eseguendo la misura con un pendolo semplice
Osservazioni: Questo "orologio a pendolo" risulta essere più preciso del precedente essendoci un errore di circa 1,5 % e quindi è anche più affidabile, inoltre può essere riprodotto con buona precisione in ogni luogo della Terra, pur sapendo che la gravità g non è costante, ma non influirà in modo significativo sulla nostra definizione di secondo. La misura della lunghezza non è un problema se è già stato definito il metro, all'inizio del percorso sulle grandezze fondamentali del S.I.
3. OSCILLATORE ARMONICO.
Possiamo costruire un oscillatore armonico appendendo al nostro sostegno una molla alla cui estremità opposta agganciamo alcuni pesetti (figura 2)
Figura 2: l'oscillatore armonico utilizzato
La teoria ci permette di determinare il periodo T che è funzione sia della massa m del sistema oscillante, sia della costante elastica k della molla responsabile della forza di richiamo: $$T = \sqrt{ \frac{m}{k}}.$$ La massa della molla deve essere trascurabile rispetto alla massa agganciata ad essa. Nel nostro esempio la massa dei pesetti è di 200 g; In tabella 4 sono riportati i valori della durata del fenomeno periodico ottenuti utilizzando l'oscillatore armonico di figura 2. Tabella 4: valori sperimentali ottenuti eseguendo la misura con un oscillatore armonico
Osservazioni: Anche qui si nota un minore errore relativo (0,9%) nella determinazione della durata del fenomeno periodico misurato con l' "orologio oscillatore -armonico". A differenza del pendolo questo fenomeno è però difficilmente ripetibile se non possiamo essere sicuri di usare la stessa molla, almeno che il costruttore non ci dia delle specifiche (costante elastica) precise.
4. SIMULAZIONE MOTO PERIODICO SULCOMPUTER.
Il quarto moto periodico è una simulazione fatta con Geogebra di un moto periodico di un punto lungo un asse verticale. Negli allegati è inserito il file da scaricare e aprire ed eseguire solo con Geogebra.
Figura 3: moto periodico di un punto simulato con Geogebra
Questo fenomeno periodico, la cui durata può anche essere regolata tramite il software, permette di visualizzare un oggetto che oscilla di moto periodico (figura 3); l'inconveniente è che se il computer su cui viene eseguito cambia potrebbe cambiare il periodo, se è così non può essere usato per definire il secondo. Ha il vantaggio di avere una scala sullo sfondo che consente di leggere l'ordinata del punto fino al centesimo di unità (quadretto). Tabella 5 riporta 5 misure della durata del fenomeno prendendo come unità di misura le unità quadretto del punto blu lungo l'asse delle y. Una oscillazione completa sono 20 quadretti.
Tabella 5: valori sperimentali ottenuti eseguendo la misura con un moto armonico simulato con Geogebra
Osservazioni: In questo caso l'errore relativo (0,7%) risulta essere ancora minore rispetto alle misure fatte con gli "orologi" precedenti ed è quindi più affidabile per la definizione del secondo.
5. OSCILLAZIONI DI UN DIAPASON
Consideriamo adesso il fenomeno periodico relativo all'onda sonora emessa da un comune diapason (figura 4).
Figura 4: diapason utilizzato per le misure
Per poter confrontare la precisione di tale "orologio" con i precedenti ci troviamo nell'impossibilità di poter contare direttamente le oscillazioni del diapason nell'intervallo di tempo del fenomeno preso come riferimento. Possiamo però procedere nel seguente modo: 1. misuriamo con un cronometro digitale la durata del fenomeno di riferimento in secondi (tabella 6);
Tabella 6: Misura della durata del fenomeno eseguita con un cronometro digitale
2. per contare il numero di oscillazioni dell'onda sonora in 10,28 s trasformiamo con un microfono le onde di pressione in segnali elettrici; utilizzando un software tipo Audacity analizziamo il segnale elettrico visualizzandolo sullo schermo come indicato nelle foto (figura 5). Sull'asse orizzontale si possono leggere i tempi dell'oscillazione in secondi con una sensibilità di $10^{-4}$ s; l'ampiezza dell'oscillazione è normalizzata a 1 e -1 come valori massimi e minimi.
Figura 5: visualizzazione del segnale elettrico prodotto dal microfono (origine diapason)
3. Contiamo il numero di oscillazioni che avvengono in un tempo pari a 10,28 s (durata del fenomeno). Non potendolo fare direttamente calcoliamo il numero di oscillazioni in un tempo più ristretto, ripetuto in diversi intervalli ed estrapolando poi il numero al valore corrispondente a 10,28 s (tabella 7).
Tabella 7: numero di oscillazioni del diapason misurate in diversi intervalli di tempo
Dai dati è possibile ricavare il numero di oscillazioni nei 10,28 s di durata del fenomeno con una proporzione: $$ n_{oscillazioni} = \frac{10,28}{0,130}\cdot 57 = 4507,4 \pm 0,5$$. L'errore è stato determinato con la propagazione degli errori considerando che l'incertezza sul tempo è pari a $10^{-4}\ s$. Qui la precisione è notevolmente migliore essendo l'errore relativo pari allo 0,01%.
E ' esportabile tale definizione di unità di misura (pari al periodo del nostro diapason)? Se vengono fornite indicazioni sul materiale usato le dimensioni e lo spessore dei rebbi non dovrebbero esserci problemi a riprodurlo.
7. OSCILLAZIONI DI UN BICCHIERE DI CRISTALLO.
Consideriamo il suono emesso da un bicchiere di cristallo con all'interno un po' di acqua quando esercitiamo una leggera pressione sul bordo (figura 6).In tabella 8 sono mostrati i valori sperimentali determinati analizzando i dati Il confronto con l'intervallo di tempo può avvenire in modo analogo a quello usato per il diapason.
Figura 6: il bicchiere di cristallo durante la produzione del suono
Il suono inviato al computer tramite microfono e analizzato dal software Audacity è mostrato in figura 7.
Figura 7: visualizzazione del segnale elettrico prodotto dal microfono (origine bicchiere di cristallo)
In tabella 8 sono mostrati i dati sperimentali ottenuti Tabella 8: numero di oscillazioni del suono prodotto dal bicchiere misurate in diversi intervalli di tempo
Da questi dati ricaviamo che il nostro fenomeno (che ha una durata di 10,28 s) ha una durata in periodi del bicchiere $$ n_{oscillazioni} = \frac{10,28}{0,0145} \cdot 20 = 14179,3 \pm 0,5$$ con un errore relativo percentuale pari allo 0,004%.
La precisione dell' "orologio a cristallo" è ancora aumentata essendoci un'errore relativo di soli 0,004%.; l'aumento nella precisione è dovuto all'aumento della frequenza del suono generato dal bicchiere rispetto al suono generato dal diapason. Possiamo quindi pensare di usare questo orologio per definire l'unità di misura "il secondo". Sapendo che infatti occorrono circa 14.179,3 oscillazioni per un fenomeno la cui durata è di 10,28 s, possiamo ricavare che occorreranno 1379 oscillazioni per definire un secondo, valore che corrisponde alla frequenza del fenomeno periodico su cui si basa l' "orologio a cristallo".
Quest'ultimo esperimento permette di introdurre il principio di funzionamento degli orologi al quarzo, i quali usano delle oscillazioni a frequenze ancora più alte (30-50 kHz) per misurare il passare del tempo (orologio al quarzo) e questo ne aumenta la precisione.
A questo punto è possibile parlare di orologi atomici al Cesio, senza entrare nel merito, ma semplicemente facendo osservare che la loro frequenza di oscillazione è ancora più alta e quindi la definizione di secondo è ancora più accurata: la loro frequenza infatti è di 9.192.631.770 Hz .
Note e storia
Vincenzo Viviani nella biografia di Galileo descrive l'aneddoto: "Aveva diciassette anni, e ascoltare la Messa che si stava celebrando nel Duomo di Pisa lo annoiava. Cercando qualcosa cui posare l'attenzione, il giovane studente di medicina (Galileo) cominciò a concentrarsi su un alto lampadario che, sospeso da una lunga e sottile catena, dondolava dolcemente avanti e indietro, sospinto dalla brezza primaverile. Si chiese quanto tempo impiegassero le oscillazioni a ripetersi, misurandole con l'aiuto del proprio polso. Con suo grande stupore scoprì che, per completare un'oscillazione, il lampadario impiegava lo stesso numero di battiti quando si muoveva appena e quando invece il vento lo faceva ondeggiare cospicuamente."
Ancora più interessante è che Santoro Santorio(1561-1636) medico collega e amico di Galileo, inventò il pulsilogio proprio per misurare le frequenza del battito cardiaco usando un pendolo (in pratica misurava la lunghezza del pendolo necessaria ad ottenere oscillazioni isocrone con il battito cardiaco del paziente), e correlandolo così allo stato di salute del paziente.
L'intervallo di tempo è la grandezza che si misura con gli orologi. Qualunque fenomeno che si ripete periodicamente può essere utilizzato come orologio.
La natura ci mette a disposizione un orologio abbastanza accurato: il moto di rotazione della Terra. Fino al 1967, l'unità di misura dell'intervallo di tempo, il secondo, era definita come $$ \frac{1}{86400}} del giorno solare medio. Tuttavia, poiché la rotazione della Terra non è perfettamente regolare, si impose la necessità di una nuova definizione di secondo. Al giorno d'oggi i più accurati misuratori di tempo conosciuti sono gli orologi atomici, il cui funzionamento è basato sulle oscillazioni della radiazione elettromagnetica emessa da certi atomi. L'orologio atomico usato per definire il secondo opera con atomi al cesio 133: il secondo è definito come 9.192.631.770 periodi della radiazione di energia corrispondente alla transizione tra due livelli energetici iperfini dello stato fondamentale degli atomi di cesio-133.
Nel seguente sito viene spiegato perché si usano gli atomi di cesio e non altri:
In ogni nazione esiste un orologio atomico di riferimento per la misura del tempo e delle frequenze standard. Il riferimento internazionale è fornito dall'orologio atomico al cesio che si trova presso il National Institute of Standards and Technology (NIST) di Boulder, in Colorado. Questo orologio atomico, chiamato NIST-F1, produce una "fontana" di atomi di cesio che vengono proiettati verso l'alto nel vuoto, a un'altezza di circa un metro; gli atomi impiegano circa 1 secondo per salire e ricadere e durante questo intervallo di tempo relativamente lungo la frequenza delle loro oscillazioni può essere misurata con grande precisione. L'accuratezza raggiunta è di circa un secondo ogni 60 milioni di anni. L'orologio standard italiano si trova presso l'Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica(INRIM) di Torino. Recentemente, nuovi prototipi di orologi atomici, basati sulle oscillazioni di singoli ioni di mercurio e di alluminio in campi elettromagnetici, hanno raggiunto un'accuratezza di un secondo ogni 2-3 miliardi di anni. Questi nuovi orologi sono chiamati "ottici" perché sfruttano la luce, invece delle microonde, per sondare le transazioni atomiche.
