Si propone la costruzione e l'uso di uno strumento telemetrico tipo sestante (Sestante di Troughton & Simms) la cui descrizione funzionale è disponibile in rete Internet. Si può usare insieme ad altri telemetri per confronto: ad esempio il sensore a ultrasuoni della rotaia a cuscino d'aria, o le app disponibili per tablets e smartphones.
Scheda sintetica delle attività
Gli studenti costruiscono una versione semplice del sestante assemblando due specchietti su di un asse (telemetrico) di legno (o altro materiale idoneo) come descritto nello svolgimento. I ragazzi devono poi procurarsi un oggetto-bersaglio e misurarne la distanza dallo strumento. Per perfezionare la misura possono tarare lo strumento mirando ad un oggetto sufficientemente lontano.
Risorse necessarie
Un'asta di legno o metallo che funga da base telemetrica (lunga al massimo 1m);
un goniometro circolare;
due specchietti uguali (di circa 10cm X 15cm);
due elementi metallici di supporto (non più alti di 15cm) per mantenere vincolati gli specchietti sospesi sulla base telemetrica. I supporti devono essere liberi di ruotare intorno all'asse di sostegno tramite vite senza fine (facilmente reperibili tra gli accessori da bagno, o comunque in negozi di bricolage);
un oggetto-bersaglio da osservare;
gomma adesiva.
Prerequisiti necessari
Legge di riflessione ottica;
definizione di seno, coseno e tangente di un angolo e trigonometria di base;
abilità manuali e creatività per poter montare il sestante usando materiali semplici da reperire.
Obiettivi di apprendimento
Comprendere il termine "telemetria";
comprendere il principio fisico (la legge di riflessione) alla base del funzionamento dello specifico telemetro;
utilizzare formule goniometriche in ambito fisico.
Dotazioni di sicurezza
nessuna
Svolgimento
Costruzione del Sestante
Si costruisce il telemetro, composto da un'asta telemetrica a cui vengono fissati due specchi, uno fisso (specchio B in figura1) e uno rotabile (specchio A in figura1) e il goniometro. L'asta qui proposta è in legno ed è lunga circa un metro; si potrebbe realizzare in altro materiale meno soggetto a deformazioni, o di dimensione inferiore. E' utile discutere come dalla lunghezza L dipenda anche la sensibilità dello strumento.
I ragazzi, una volta procurata l’asta telemetrica, devono definire i punti all'estremità della base telemetrica su cui fissare i due supporti per gli specchietti e poi misurarne la distanza con un metro (lunghezza telemetrica L). E' necessario prestare attenzione, anche attraverso una opportuna scelta dei supporti, che gli specchi abbiano l'asse di rotazione verticale e la normale allineata con l'asta telemetrica, come mostrato in figura 1.
Figura1: schema delle caratteristiche geometriche del telemetro, per la misura della distanza incognita OB
Lo specchio A deve essere montato su un goniometro fisso e deve essere libero di ruotare (figura 2) attorno ad un asse verticale coincidente con l'asse del goniometro. E' comodo montare il goniometro in modo che lo 0° corrisponda all'asse della base telemetrica e fissare un indicatore per poter osservare l'angolo di rotazione sul goniometro.
Come supporti degli specchi si possono utilizzare supporti ad "L" facilmente reperibili nei ferramenta. Come specchietti si possono utilizzare specchietti di plastica (di solito usati per riparare i retrovisori delle auto: possono essere ritagliati a misura o forati. Si possono incollare con nastro biadesivo, colla o altro).
Lo specchio B deve essere montato con la normale che forma un angolo di 45° con l'asse telemetrico e la superficie riflettente che guarda lo specchio A (figura 1). Se si usa uno specchio di plastica, questo può essere forato di modo che l'osservatore possa vedere in modo diretto l'oggetto bersaglio attraverso il foro (telemetri sofisticati usano specchi semi-riflettenti). Lo specchietto B dovrà rimanere fisso durante la misura.
Figura 2: Immagine dell'asta e dei due specchi del telemetro in fase di montaggio e particolare dello specchietto mobile (A) con goniometro sottostante, le asticelle facilitano la lettura dell'angolo di rotazione.
Per effettuare una misura di distanza di un bersaglio dal telemetro è necessario porre il bersaglio scelto come illustrato in figura 3. Per essere sicuri che l'asta del telemetro sia perpendicolare alla direzione oggetto-osservatore è opportuno montare una fenditura (F) che funga da "mirino" allineata con il forellino nello specchio B come mostrato in figura 3.
Figura 3: schema geometrico per il posizionamento del bersaglio
Misura della distanza
Con riferimento alla figura 3, indicando con $ \gamma$ l'angolo formato dal raggio incidente e raggio riflesso si ha: $$d= \overline{OB} = \frac{L}{\tan \alpha} = L \cdot \tan \gamma \quad [1]$$
e indicando con $ \beta $ l'angolo di rotazione dello specchietto A (figura 4) si ha: $$ \gamma = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) \quad [2]$$ In alternativa si può fissare un riferimento perpendicolare alla superficie dello specchio e misurare direttamente l'angolo $ \frac{\gamma}{2}.$
Per eseguire la misura occorre:
porsi come osservatore sul retro dello strumento e guardare attraverso lo specchietto fisso B l’oggetto-bersaglio (rosso e giallo) che è sistemato davanti al telemetro a distanza incognita (alcuni metri) in linea con la retta BF (figura 4);
ruotare lo specchietto mobile A fin quando non si riesce a distinguere l'immagine dell'oggetto bersaglio attraverso lo specchio fisso B; occorre allineare l'immagine proveniente da A con l'immagine dell'oggetto osservato direttamente attraverso la fenditura F e il forellino in B;
prendere nota dell’angolo $\beta$ formato dallo specchietto B con la base telemetrica;
ricavare la distanza incognita usando le [1] e [2].
In figura 4 si vede, centrato in posizione, l'oggetto bersaglio attraverso i due specchi :
Figura 4: Oggetto bersaglio visto attraverso i due specchi
Taratura dello strumento.
Per la taratura del telemetro utilizzare un oggetto lontano (es. la luna) come mostrato in figura 5: se l'oggetto è abbastanza lontano l'angolo $\beta$ deve essere 45°; eventuali deviazioni possono essere utilizzate per correggere la lettura ottenuta.
Figura 5: taratura del telemetro
Quanto deve essere lontano l'oggetto perché la distanza possa essere considerata infinita ? Se stimiamo di non poter apprezzare variazioni minori di 0.5° allora il valore minimo per $\alpha$ sarà anch'esso di $\alpha = 0.5°$ e quindi $\gamma = 89,5°$; da cui la distanza massima $d$ che il nostro strumento, che ha un'asta telemetrica di circa un metro, può misurare risulta $d_{max} \approx 100m$.
Nell'immagine seguente, infine, è riportato un esempio di telemetro costruito dagli studenti privo dell'elemento $ \overline{BF} $ necessario per allineare opportunamente l'asta del telemetro.
Figura 6: esempio di telemetro costruito dagli studenti
Alcune Considerazioni sugli errori di misura: Le maggiori sorgenti di errori sono la misura dell'angolo $\beta$ (la cui incertezza possiamo considerare di $0.5°$ e di conseguenza $1°$ su l'incertezza di $\gamma $) e la lunghezza dell'asta telemetrica $L$. Considerata la [1] possiamo quindi ipotizzare un errore assoluto sul valore di $ \tan \gamma $ di $\Delta \tan \gamma = \tan ( \gamma +1°) - \tan (\gamma - 1°) $ da cui un'incertezza sulla distanza pari a: $$ \Delta d = d \sqrt{\left( \frac{\Delta L}{L}\right)^2 + \left( \frac{\Delta \tan \gamma}{\tan \gamma}\right)^2 }$$
E' possibile confrontare i risultati ottenuti con altri sistemi di misura come app dedicate o utilizzando la sorgente ad ultrasuoni che di solito correda la rotaia a cuscino d'aria abbastanza comune nei laboratori didattici degli istituti di istruzione secondaria.
Note e storia
Bibliografia
L'esperimento proposto è ispirato da: Elena Gabbiani "Dagli esperimenti alle leggi della fisica" Zanichelli;
